数学建模（5）---煤矸石堆积问题

煤矸石堆积问题<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

摘 要

我们对煤矸石的堆积储存问题进行了研究。根据煤矸石的堆积要求，建设一段与地面角度约为β=25°的直线型上升轨道（角度过大，运矸车无法装满），用在轨道上行使的运矸车将矸石运到轨道的顶端后向两侧倾倒，待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图1所示的一座矸石山来。

首先，对堆积煤矸石最终所形成的规则的几何体分析，所形成的几何题是数学中较常见的几何体，因此可以根据几何关系找出这几个体中的相关因数。在整个运输煤矸石的工程中，随着对放煤矸石山的坡面长度的增加，整个运输煤矸石的费用也会相应的增加。整个费用包括土地征用费用和运输煤矸石的费用。土地征地费用与堆积的煤矸石所占地面积有关，而占地面积又与煤矸山坡面长度的增加而增加；同时，运输煤矸石所用的电费也是随着坡面长度的增加而增加的。将费用问题转化成为研究煤矸石山坡面长度，而整个坡面长度是时间的函数，于是总费用又与煤矸石的开采时间建立了联系，最终我们通过给定使用时间，得出坡面长度，确定处理矸石的总经费，在处理征地费时，由于地价的年涨幅大于了银行的贷款利息，所以我们用开始由银行贷款购足使用年限内所需的所有土地者正方式，结果表明这种操作后，设计中的年处理经费除部分用来缴纳电费外，其余全部偿还银行的贷款，按处理经费为100万元/年，适用年限为20年出矸率为10%计算，该设计经费是过用的且有结余。而且可以在第14年时还清银行贷款，在20年后，可以盈利4203637.83元。

关键词

使用年限 坡面长度 机械能 几何体体积 处理总费用 地价涨幅 贷款利率

一、 问题的提出

煤矿采矿时，会产出废料美感使在平原地区，煤矿只得征用土地堆放煤矸石。堆放煤矸石时，需架设一端与地面角度为一定值β的轨道（角度过大煤车无法装满），矸石的自然安息角а也为定值，运送煤矸石的矸石车机械效率也随轨道的增加而下降，土地的征用费存在年涨幅，在众多因素的影响下，我们需解决如下问题：

1. 判断设计处理经费是否够用；

2. 根据有关数据制定合理征地计划；

3. 对不同出矸率预测处理矸石的最低费用；

二、 问题分析

根据题意，煤矸石堆的几何形状是一定的（如图1），我们要解决的就是建立煤矸石堆积总费用与几何形状的体积的关系，由于地价存在年涨幅，征用土地需向银行贷款，又由于地价涨幅和银行贷款利率有所不同，还需考虑贷款方案，根据煤矿使用数年后的矸石体积，计算出坡面长度x确定占地面得出处理总费用，列出在不同出矸率时的最小费用。

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图1

三、 模型假设

1. 电费在当年付清、不拖欠；

2. 银行存、贷款利率和地价涨幅都固定不同；

3. 运矸所消耗的电能出机械损失外，全部转化成煤矸石的重力势能（运矸车匀速运动，且矸石车与坡面轨道见摩擦不计）；

4. 征地为每年年初至征地一次；

5. 每年的处理经费按年拨对，且除交付当年电费外，其余全部用来征地或偿还贷款，严格做到专款专用，

四、 名词及符号约定

1. x ——煤矸石山坡面长度；

2. ρ ——容重；

3. а ——矸石自然堆放安息角；

4. k₁ ——用矸车所需的电费；

5. η₀ ——运矸车机械效率初始值；

6. a ——轨道每延长<?xml:namespace prefix = st1 ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" /><chmetcnv w:st="on" tcsc="0" numbertype="1" negative="False" hasspace="False" sourcevalue="10" unitname="米"><span lang="EN-US">10</span>米</chmetcnv>，机械效率在原有的基础上下降的百分数；

7. k₂ ——土地征用费的现值；

8. b ——地价年涨幅；

9. c₁ ——银行的存款利率；

10. c₂ ——银行的贷款利率；

11. M ——煤矿设计的原煤年产量；

12. N ——煤矿的设计寿命；

13. d ——煤矿的出矿率；

14. S(x) ——坡面长度为x时，矸石堆实际占地面积；

15. V(x) ——坡面长度为x时，矸石堆的实际体积；

16. η(x) ——坡面长度为x时，运矸车的机械效率；

17. w(x) ——坡面长度为x时，运矸车所要消耗的电能；

18. G(n) ——煤矿开采n年时，矸石的总体积；

19. H(n) ——煤矿开采n年时，所用的总的电费；

20. S(x(N)) ——在使用年限范围内，所用的土地总面积；

五、 模型的建立

1) 对几何体的分析

由图1知，A-SBOD为一个棱锥部分，A-DCOB为圆锥部分，SB与圆锥地面相切，图1中各个关系如下：

AO=sin(β)·x CO=sin(β)·cot(а) ·x SO=cos(β)·x

∠BOS=arc cos(tan(β)·cot(а))

2) 矸石山的底面积S(x)

S(x)=S_{四边形SDOB}+S_扇形BODC

S_{四边形SDOB}=x²·cos(β)·sin(β)·cot(а)·sin[arc cos(tan(β)·cot(а))]

S_扇形BODC= x²·[pi-arc cos(tan(β)·cot(а))]·sin²(β)·cot²(а)

S(x)= x²·{cos(β)·sin(β)·cot(а)·sin[arc cos(tan(β)·cot(а))]+[pi-arc cos(tan(β)·cot(а))]·sin²(β)·cot²(а)}=K(а, β) ·x²

（其中：K(а, β)= cos(β)·sin(β)·cot(а)·sin[arc cos(tan(β)·cot(а))]+[pi-arc cos(tan(β)·cot(а))]·sin²(β)·cot²(а)

3) 矸石山体积V(x)

V(x)=1/3·S(x) ·AO=1/3·K(а, β)·sin(β)·x³

4) 机械效率

由题意知，在轨道每延长<chmetcnv w:st="on" tcsc="0" numbertype="1" negative="False" hasspace="False" sourcevalue="10" unitname="米"><span lang="EN-US">10</span>米</chmetcnv>，效率在原有基础上下降2%，所以η(x)=30%·(1-2%)^x/10

5) 机械能在坡面长度为x时，对微元增量dx存在体积微增量dv(x)

dw(x)=dv(x) ·ρ·g·x·sin(β)/ η(x)= K(а, β) ·sin²(β) · ρ·g·x³·dx/(30%·(1-2%)^x/10)

w(x)=∫₀^x (K(а, β) ·sin²(β) · ρ·g·x³ /(30%·(1-2%)^x/10))dx

6) 开采n年时出矸石的总体积；

G(n)=n·M·d/ρ=V(x(n))

X(n)=(3·n·M·d/ρ·K(а, β) ·sin(β))^1/3

7) n年所用总电费

H(n)=w(x(n)) ·0.5/(3.6·10⁶)

第n年需交电费为H(n)-H(n-1)

8) 使用年限N内，所用土地总面积S(x(N))= K(а, β) ·x²(N)

附录一：

1．

function [rst]=t1(nYear)

if nargin~=1

error('Error input arguments!');

else

b=25/180*pi;a=55/180*pi;

p=2000;g=9.8;

sinb=sin(b);

cosb=cos(b);

cota=cot(a);

arccos=acos(tan(b)*cot(a));

kab1=cosb*sinb*cota*sin(arccos);

kab2=(pi-arccos)*sinb^2*cota^2;

kab=kab1+kab2;

xf=(4500000*nYear*0.1/(kab*sinb))^(1/3);

kw=kab*sinb^2*p*g/0.3;

sym x;

wIntegral=int('x^3/(0.98^(x/10))','x',0,xf);

W=kw*wIntegral;

monW=0.5/(3.6*10^6);

Area=kab*xf^2;

monA=1.1*80000/666.6667;

AllMoney=W*monW+Area*monA;

% disp('The total area is (Unit:MU);');disp(Area/666.6667);

% disp('Area money (Unit:RMB):');disp(Area*monA);

% disp('Eletricty money (Unit:RMB) ');disp(W*monW);

% disp('Need money (Unit:RMB):');disp(AllMoney);

rst=W*monW;

% rst=AllMoney;

end;

2．

function t2()

for iCount=1:19

rstW(iCount,1)=t1(iCount+1)-t1(iCount);

end;

abc=7595900*1.05-(1000000-73391);

for nCount=1:19

disp('The year is; ');disp(nCount+1);

% disp('All money have returned.');break;

% else

abc=abc*1.05-(1000000-rstW(nCount,1))

% end;

end;