分形绘图简介（5）分形火焰算法简介（一）

上一篇介绍了怎样用Apophysis从头创作一幅分形图。步骤虽然很简单，但估计一般人（例如我自己）看了都一头雾水，为什么这样设几个数字就画出来一幅画呢？这些无厘头的操作和最终结果有什么逻辑关系呢？要搞清楚其中的关联，就不得不去研究一下Apophysis所依赖的算法：The Fractal Flame Algorithm。也不知道中文有没有对应的专有译名，我把它叫作“分形火焰算法”（或者“分形燃烧算法”？）

这个算法不是什么高深的秘密，安装了Apophysis后就能在help里找到pdf文档的链接。也可以直接在这里下载。

不过老实说，我辛辛苦苦看完算法之后，才发现看懂了算法其实对绘画没有半点帮助……因此如果你没兴趣知道这些分形图的原理，应该可以不看算法直接开画，或者只看到三角变换的原理即可。只不过作为一个搞开发的人，不去刨根问底一下实在有点心虚。因此，本文的定位是，简单介绍算法原理，让我们在作画时对各种的操作的运作原理有个简单的印象。我尽量不去直译算法文档中的数学语言，用自己的话去描述。其实原文也不算复杂，想了解如算法和实现细节的话完全可以看原文。

那么下面就开始来看这个算法。

IFS系统
前面已经说过，分形图其实是把一个平面进行一系列函数映射所得到的结果。那么，这究竟是什么样的函数映射呢？这种映射名叫“迭代函数系统”（Iterated Function Systems，简称IFS）。一个在二维平面上的IFS方程是这样的：


* 这里的Fi是点集到点集的映射。用编程的语言来说：参数类型和返回类型都是点集。

换言之，有n个函数，我们希望在平面上找到一组点集S，使得S在经过这些函数分别变换后再取并集，得到的还是S本身（数学上这样的解称为函数的不动点）。而我们所看到的分形图，本质上，就是这个点集S。当然，要令这个S能实际存在，这些函数不能是完全随意的，它们必须能保证整个系统是收敛的。也就是说，把这个系统函数应用到整个平面，得到的结果再继续应用到这个系统中，若干次后，结果会越来越接近实际的不动点集。

实际求解算法
呃，似乎很抽象，不过不要紧，这个定义对我们作画一点用处也没有。实际上，要求解这个方程是很麻烦的。所以在分形火焰算法中，使用了下面这种近似的求解步骤：


* 这里的Fi是由点到点的映射。用编程的语言来说：参数类型和返回类型都是点。
* bi-unit square是指x和y都在[-1,1]之间的那个点集，也就是左上角坐标是(-1,1)，右下角坐标是(1,-1)的边长为2的正方形内的所有点。

它的意思是，在bi-unit squre这个正方形点集里随机选取一个点（x，y），然后重复以下步骤：
1. 在n个函数中随机选一个Fi；
2. 用这个函数变换（x，y），得到新的点（x，y）；
不停重复以上两步，并且在第20次迭代之后，把后续每次迭代的结果点画出来。

这种方式之所以可行，是因为根据前面的方程，如果（x，y）属于S，那么Fi（x，y）也肯定属于S。而既然整个系统是收敛的，以线性函数的平均收敛速度0.5为例，20次迭代之后，求得的点与实际的不动点的误差大约是10的-6次方，已经大大超出了作画时一个像素的精度。当然，实际使用的未必是线性函数，因此收敛速度也有所不同。好在我们现在不是考试，而是作画，具体的迭代的次数可以由用户去选定，如果次数不够，结果不够精确，图像也就不那么好看而已，而不会导致你高考落榜。

Variation
以上是整个系统的运作原理，为了便于在实际操作中描述这些变换函数，我们引入Variation的概念。在实际操作中，一个变换函数可以被描述为：



可以看出，这个Fi函数接受了一个点（x,y)作为参数后，先对其做了一个线性变换：
x' = ax + by + c
y' = dx + ey + f
如果我们高中解析几何还没全忘掉的话，应该记得对一个形状（点集）进行这种变换包括了缩放，旋转，拉伸和平移等操作。

然后，把这个变换后的点传入一个Vj函数中再作变换。而这个Vj函数，就是我们之前看到在Apophysis的Variation标签页中列出的那些变换函数（当然，这些函数必须能保证IFS的收敛性）。分形火焰算法中列举了49个基本的Variation函数，在Apophysis中，还可以通过安装plugin的方式增加新的Variation。

这些Variation函数被设计为能对一个形状的点集进行某种有特定含义的变换。例如线性变换（linear），球面变换（spherical)，漩涡变换（swirl）等等，并且根据其含义起了名称，方便我们选用。在算法文档中列出了49个基本Variation的方程，在这里选几个例子看看：







可以看到，linear是最简单的变换（就是变成原来的样子）。不过由于Fi函数在把参数传进Vj之前就作了一次线性变换，所以实际上对于整个Fi来说，就是普通的线性变换。

另外，我们在上面的JuliaN变换中看到，这个方程除了使用x，y和一些常量之外，还使用了juliaN.power和juliaN.dist两个额外的参数（除了这两个参数之外，式子中的其他符号都是常量或者随机数），这些额外的参数就称为Variables（变量）。如果搞过函数式编程，应该对“自由变量”这种说法不会陌生。这些额外的参数就是自由变量，对于没玩过函数式编程的朋友，只要知道可以在Apophysis的Variable面板指定这些额外的参数的值就行了。

变换三角
有了这些背景知识，现在我们可以来看看Apophysis里的变换三角究竟是什么一回事。其实很简单，上面说到，每个Fi都先对传入的点进行了一次线性变换，而这个线性变换涉及到6个参数：a，b，c，d，e，f。所谓变换三角，就是这6个参数的形象描述。

准确来说：
1. 坐标原点到变换三角的O顶点的矢量代表了c和f。也就是线性变换的平移量。
2. 变换三角的O顶点到X顶点的矢量代表了a与b。
3. 变换三角的O顶点到Y顶点的矢量代表了d与e。
其中a代表了在X方向上的缩放量，e代表了在Y方向上的缩放量。而当b，c不为0时，形状出现拉伸和旋转。

也就是说，Transform面板上的输入数值，分别代表了：



例如上面的原始变换三角，如果Variation取linear（线性变换）时，该变换无位移（O顶点为（0,0）），无缩放（X1即a为1，Y2即e为1），无旋转和拉伸等（X2和Y1即b，c均为0）

由于Variation中的linear的默认值是1，默认使用此变换。此时Apophysis的主窗口预览中显示一个由噪点组成的正方形。这些噪点就是前面的求解算法中所提到的随机选取的点。（对于这个原始变换，这些点本身就是解）

现在我们把变换三角稍微缩小一点。把Transform参数设为：
X：0.999 ，0
Y：0 ，0.999
O：0，0

图像就变成了：



这是什么回事，为什么不是一个小一点的正方形，而是这样的放射线呢。对照前面的算法就明白了，对任意一个随机点，将反复应用这个变换（x和y分别乘以0.999），使得这个点不停向原点靠拢。其实对于这个变换，原点才是真正的不动点。但由于收敛速度太慢，超过了20次迭代后还没有靠近原点，因此每个点收敛的轨迹被画出来了，变成了放射线。

如果我们把三角变换缩小得再稍微多一点，例如把0.999设为0.9，就能看到这个图形都不见了，变成了原点上的一个点。

同样，假如我们在某个方向上缩小。例如设为：
X：0.9 ，0
Y：0 ，1
O：0，0
可以看到，图像变成了Y方向上的一条直线。

从这里可以看出一个规律：如果映射之后的图像比原来的图像在某个方向上缩小了（就是在某个方向上不能达到原来图像的边界），那么在这个方向上的图像就会最终缩小成一点。这个规律对理解下面的示例比较重要。

作图实例1，塞宾斯基三角
明白了这些基础知识后，我们不妨通过一个实例来看看这个迭代系统是怎么起作用的。

先来一个最简单的例子，画一个赛宾斯基三角形。这个三角形的特点是，先作一个大三角形，然后取各边中点连成一个小三角形，挖去这个小三角形。然后在剩下的三个小三角形里重复这个步骤。然后再在剩下的三角形里重复这个步骤……最后就得到了：



那么在Apophysis怎么去画呢？当然，如果我们是数学家的话，直接写一堆方程解出所需的abcdef就行了。但我们现在是画家，能不能用点直观的方式去想出来呢？

用惯photoshop的人通常的思路是：Ok，第一步首先要想办法画出一个三角形来。不过，在分形里可不是这样玩的。虽然现在我们手上有一个正方形（原始变换），但它的形状其实不重要，因为无论它最初的形状是怎样的，迭代变换之后的不动点都是一致的。是我们选用的迭代函数决定了最终的图像，而跟初始形状没有关系。那么我们就应该只关注整体与局部的关系。

仔细来看看这个赛宾斯基三角形，可以发现它整体与局部的关系是：整体在高度和宽度都缩小一半之后，复制了三份，两分并排列在下面，一份叠在上面。从前面的收敛规律来看，这样的变换排列方式保证了下方最宽的地方与原图像宽度一致，而高度也与原图像一致。但上方由于只有一份，在横向上宽度比原图像缩小了，最终将缩小为一个点。这不就是个三角形吗？看来有戏，现在就开始在Apophysis里试试看。

首先新建一个变换三角。因为Variation默认就是linear，可以不管。把它缩小一半。

在Transform里设置：
X：0.5， 0
Y：0 ， 0.5
O：0， 0

可以看到，此时图像变成了一个小点。然后选中这个变换三角，按Insert键复制一个。把Transform设为：
X：0.5， 0
Y：0， 0.5
O：0.5， 0

也就是原图像缩小一半后，在下方并排两个副本。不出所料，图像变成了一条直线。（现在新变换在横轴方向大小与原图像一致，但在纵轴方向缩小一半，最终收敛到了横轴上）

再选中任意一个三角，按Insert键复制，把它平移到上端：
Transform设为：
X：0.5， 0
Y：0， 0.5
O：0.5， 0.5

立杆见影，结果出来了：



如果你还没有想清楚，我们把这个迭代过程总结一下：

* 这里用三个变换，每个都把原来的图像（不管是啥）缩小一半。

* 通过位移，在原来图像的范围内，下方并排两个，上方叠一个。

* 在这个迭代变换中，每一步原来的图像都先进行这样缩小排列，然后得到新的图像再进行这样的缩小排列。

* 到最后，整个图像收敛成了这个叠出来的三角形的形状，而且其中每一部分也是这样的三角形。

我们不妨把局部放大一下，可以看到细节里也是这样的三角形：



……随便写写就1点多了。看来要分两集了。看了每屏的字，来点干货提提神。昨天试画了一幅，貌似还不错。



代码是：


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评论

2 楼 lliiqiang 2014-05-30  

分形维数以距离增加时个数增加指数为标准，相当于通常所说的测量先定好标准比例:以线为1维.

1 楼 fengda2870 2012-01-06  

我建议你把学习笔记也转到分形艺术网