托勒密定理复习

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

思路：托勒密定理在平面几何中赫赫有名，其难点在于：把一条对角线分割成两条线段DE和BE。第一步证明一对旋转的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB；只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。

证明：以AB为边，作一个角等于已知角：即∠BAE=∠DAC；

在ΔABE和ΔACD中，

∵∠BAE=∠DAC；

∠ABE=∠ACD；

∴△ABE∽△ACD；

∴AB·DC=BE·AC①

∵∠BAE=∠DAC；

∴∠DAE=∠CAB；

在ΔADE和ΔACB中，

∵∠ADE=∠ACB；

∠DAE=∠CAB；

∴△ADE∽△ACB；

∴AD·BC=DE·AC②

∴①+②得：

AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=（BE+DE）·AC=BD·AC。

结论：该命题对于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的，叫做托勒密定理。“当你遇到AB·DC+AD·BC=AC·BD这样的等积式时，如果等式左边可以合二为一，则考虑证一对三角形相似，否则，在AC、BD的其中一条线段上找到一个分点，构造两个三角形相似。”

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

平面几何证明方法提示：
作一个直径AB为一的标准圆，与之相交的弦CD，作直径CF，连接线段，则ADB和ACB、CFD为直角。设DAB为A，BAC为B，那么sinA=BD，cosA=AD，sinB=BC，cosB=AC。sin（A+B）=sinCFD=CD.根据托勒密定理，AB*CD=BD*AC+BC*AD，代入即可。