桶排序（bucket sort）

文章来源：http://hxraid.iteye.com/blog/647759

原文中有基于CPP的实现，本文将CPP代码翻译为Java。原文写得很不错，复制过来做个笔记。

 

全依赖“比较”操作的排序算法时间复杂度的一个下界O(N*logN)。但确实存在更快的算法。这些算法并不是不用“比较”操作，也不是想办法将比较操作的次数减少到 logN。而是利用对待排数据的某些限定性假设 ，来避免绝大多数的“比较”操作。桶排序就是这样的原理。

 

桶排序的基本思想

       假设有一组长度为N的待排关键字序列K[1....n]。首先将这个序列划分成M个的子区间(桶) 。然后基于某种映射函数 ，将待排序列的关键字k映射到第i个桶中(即桶数组B的下标 i) ，那么该关键字k就作为B[i]中的元素(每个桶B[i]都是一组大小为N/M的序列)。接着对每个桶B[i]中的所有元素进行比较排序(可以使用快排)。然后依次枚举输出B[0]....B[M]中的全部内容即是一个有序序列。

 

[桶—关键字]映射函数

      bindex=f(key)   其中，bindex 为桶数组B的下标(即第bindex个桶), k为待排序列的关键字。桶排序之所以能够高效，其关键在于这个映射函数，它必须做到：如果关键字k1<k2，那么f(k1)<=f(k2)。也就是说B(i)中的最小数据都要大于B(i-1)中最大数据。很显然，映射函数的确定与数据本身的特点有很大的关系，我们下面举个例子：

 

假如待排序列K= {49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 }。这些数据全部在1—100之间。因此我们定制10个桶，然后确定映射函数f(k)=k/10。则第一个关键字49将定位到第4个桶中(49/10=4)。依次将所有关键字全部堆入桶中，并在每个非空的桶中进行快速排序后得到如下图所示：

                                                       

对上图只要顺序输出每个B[i]中的数据就可以得到有序序列了。

 

桶排序代价分析

桶排序利用函数的映射关系，减少了几乎所有的比较工作。实际上，桶排序的f(k)值的计算，其作用就相当于快排中划分，已经把大量数据分割成了基本有序的数据块(桶)。然后只需要对桶中的少量数据做先进的比较排序即可。

 

对N个关键字进行桶排序的时间复杂度分为两个部分：

(1) 循环计算每个关键字的桶映射函数，这个时间复杂度是O(N)。

(2) 利用先进的比较排序算法对每个桶内的所有数据进行排序，其时间复杂度为  ∑ O(Ni*logNi) 。其中Ni 为第i个桶的数据量。

 

很显然，第(2)部分是桶排序性能好坏的决定因素。尽量减少桶内数据的数量是提高效率的唯一办法(因为基于比较排序的最好平均时间复杂度只能达到O(N*logN)了)。因此，我们需要尽量做到下面两点：

(1) 映射函数f(k)能够将N个数据平均的分配到M个桶中，这样每个桶就有[N/M]个数据量。

(2) 尽量的增大桶的数量。极限情况下每个桶只能得到一个数据，这样就完全避开了桶内数据的“比较”排序操作。 当然，做到这一点很不容易，数据量巨大的情况下，f(k)函数会使得桶集合的数量巨大，空间浪费严重。这就是一个时间代价和空间代价的权衡问题了。

 

对于N个待排数据，M个桶，平均每个桶[N/M]个数据的桶排序平均时间复杂度为：

             O(N)+O(M*(N/M)*log(N/M))=O(N+N*(logN-logM))=O(N+N*logN-N*logM)

当N=M时，即极限情况下每个桶只有一个数据时。桶排序的最好效率能够达到O(N)。

 

总结： 桶排序的平均时间复杂度为线性的O(N+C)，其中C=N*(logN-logM)。如果相对于同样的N，桶数量M越大，其效率越高，最好的时间复杂度达到O(N)。 当然桶排序的空间复杂度 为O(N+M)，如果输入数据非常庞大，而桶的数量也非常多，则空间代价无疑是昂贵的。此外，桶排序是稳定的。

 

桶排序在海量数据中的应用

 

一年的全国高考考生人数为500 万，分数使用标准分，最低100 ，最高900 ，没有小数，你把这500 万元素的数组排个序。

 

分析：对500W数据排序，如果基于比较的先进排序，平均比较次数为O(5000000*log5000000)≈1.112亿。但是我们发现，这些数据都有特殊的条件：  100=<score<=900。那么我们就可以考虑桶排序这样一个“投机取巧”的办法、让其在毫秒级别就完成500万排序。

 

方法：创建801(900-100)个桶。将每个考生的分数丢进f(score)=score-100的桶中。这个过程从头到尾遍历一遍数据只需要500W次。然后根据桶号大小依次将桶中数值输出，即可以得到一个有序的序列。而且可以很容易的得到100分有***人，501分有***人。

 

实际上，桶排序对数据的条件有特殊要求，如果上面的分数不是从100-900，而是从0-2亿，那么分配2亿个桶显然是不可能的。所以桶排序有其局限性，适合元素值集合并不大的情况。

import java.util.Random;

public class BucketSort {

    public static void main(String... args) {
        //int raw[]={49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49};
        if (args.length < 1) {
            System.out.println("usage: java BucketSort number");
            return;
        }
        Random rand = new Random();
        int count = Integer.parseInt(args[0]);
        int[] raw = new int[count];
        for (int i = 0; i < count; i++) {
            raw[i] = rand.nextInt(100);
        }

        BucketSort bs = new BucketSort();
        bs.bucketSort(raw, raw.length, 10);
    }

    public void bucketSort(int[] keys, int size, int bucketSize) {
        Node[] bucketTable = new Node[bucketSize];
        for (int i = 0; i < bucketSize; i++) {
            bucketTable[i] = new Node(0, null);
        }

        for (int j = 0; j < size; j++) {
            Node node = new Node(keys[j], null);
            // mapping function
            int index = keys[j] / 10;
            Node n = bucketTable[index];

            if (n.getKey() == 0) {
                bucketTable[index].setNext(node);
                bucketTable[index].setKey(bucketTable[index].getKey() + 1);
            } else {
                while (n.getNext() != null && n.getNext().getKey() <= node.getKey()) {
                    n = n.getNext();
                }
                node.setNext(n.getNext());
                n.setNext(node);
                bucketTable[index].setKey(bucketTable[index].getKey() + 1);
            }
        }

        for (int b = 0; b < bucketSize; b++) {
            for (Node n = bucketTable[b].getNext(); n != null; n = n.getNext()) {
                System.out.print(n.toString());
            }
        }
        System.out.println();
    }
}

class Node {
    private int key;
    private Node next;

    public Node(int key, Node next) {
        this.key = key;
        this.next = next;
    }

    public int getKey() {
        return this.key;
    }

    public void setKey(int key) {
        this.key = key;
    }

    public Node getNext() {
        return this.next;
    }

    public void setNext(Node next) {
        this.next = next;
    }

    public String toString() {
        return this.key + "\t";
    }
}

 

end.