二维树状数组学习之一：彻底理解

    当要频繁的对数组元素进行修改,同时又要频繁的查询数组内任一区间元素之和的时候,可以考虑使用树状数组.

  通常对一维数组最直接的算法可以在O(1)时间内完成一次修改,但是需要O(n)时间来进行一次查询.而树状数组的修改和查询均可在O(log(n))的时间内完成.

一、回顾一维树状数组
假设一维数组为A[i](i=1,2,...n),则与它对应的树状数组C[i](i=1,2,...n)是这样定义的：

C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
……
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
......



(1)C[t]展开以后有多少项？由下面公式计算：

int lowbit(int t){//计算c[t]展开的项数  
   return t&(-t);  
  }
 
C[t]展开的项数就是lowbit(t),C[t]就是从A[t]开始往左连续求lowbit(t)个数的和.


(2)修改
    比如修改了A3,必须修改C3,C4,C8,C16,C32,C64...
    当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，对于节点i，父节点下标 p=i+lowbit(i) 

//给A[i]加上 x后，更新一系列C[j]  

update(int i,int x){    
 while(i<=n){   
    c[i]=c[i]+x;    
    i=i+lowbit(i);    
     }    
}    

(3)求数列A[]的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

  如：Sun(1)=C[1]=A[1];
      Sun(2)=C[2]=A[1]+A[2];
      Sun(3)=C[3]+C[2]=A[1]+A[2]+A[3];
      Sun(4)=C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
      Sun(5)=C[5]+C[4];
      Sun(6)=C[6]+C[4];
      Sun(7)=C[7]+C[6]+C[4];
      Sun(8)=C[8];
      ,,,,,,
  
int Sum(int n) //求前n项的和.   
{    
    int sum=0;    
    while(n>0)    
    {    
         sum+=C[n];    
         n=n-lowbit(n);    
    }        
    return sum;    
}  

 

lowbit(1)=1       lowbit(2)=2       lowbit(3)=1      lowbit(4)=4  
 lowbit(5)=1       lowbit(6)=2       lowbit(7)=1      lowbit(8)=8  
 lowbit(9)=1      lowbit(10)=2      lowbit(11)=1      lowbit(12)=4  
lowbit(13)=1      lowbit(14)=2      lowbit(15)=1      lowbit(16)=16  
lowbit(17)=1      lowbit(18)=2      lowbit(19)=1      lowbit(20)=4  
lowbit(21)=1      lowbit(22)=2      lowbit(23)=1      lowbit(24)=8  
lowbit(25)=1      lowbit(26)=2      lowbit(27)=1      lowbit(28)=4  
lowbit(29)=1      lowbit(30)=2      lowbit(31)=1      lowbit(32)=32  
lowbit(33)=1      lowbit(34)=2      lowbit(35)=1      lowbit(36)=4  
lowbit(37)=1      lowbit(38)=2      lowbit(39)=1      lowbit(40)=8  
lowbit(41)=1      lowbit(42)=2      lowbit(43)=1      lowbit(44)=4  
lowbit(45)=1      lowbit(46)=2      lowbit(47)=1      lowbit(48)=16  
lowbit(49)=1      lowbit(50)=2      lowbit(51)=1      lowbit(52)=4  
lowbit(53)=1      lowbit(54)=2      lowbit(55)=1      lowbit(56)=8  
lowbit(57)=1      lowbit(58)=2      lowbit(59)=1      lowbit(60)=4  
lowbit(61)=1      lowbit(62)=2      lowbit(63)=1      lowbit(64)=64  

二、树状数组可以扩充到二维。
问题：一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询，输出结果。

一维树状数组很容易扩展到二维，在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为：

  C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中，
    x-lowbit(x) + 1 <= i <= x,
    y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.



例：举个例子来看看C[][]的组成。
     设原始二维数组为：
　A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19},
         {a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29},
         {a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}，
         {a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}};
那么它对应的二维树状数组C[][]呢？

记:
  B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,...} 这是第一行的一维树状数组
  B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 这是第二行的一维树状数组
  B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 这是第三行的一维树状数组
  B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 这是第四行的一维树状数组
那么：
C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,...
   这是A[][]第一行的一维树状数组

C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24,
C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,...
   这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组

C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,...
   这是A[][]第三行的一维树状数组

C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,...
    这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组


搞清楚了二维树状数组C[][]的规律了吗？ 仔细研究一下,会发现:


（1）在二维情况下，如果修改了A[i][j]=delta,则对应的二维树状数组更新函数为：

 private void Modify(int i, int j, int delta){
         
         A[i][j]+=delta;
     
       for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))
        for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y)){
          C[x][y] += delta;
        
        }
     }

（2）在二维情况下，求子矩阵元素之和∑ a[i][j](前i行和前j列)的函数为

    int Sum(int i, int j){
      int result = 0;
      for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) {
        for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) {
            result += C[x][y];
        }
      }

    return result;
   }

比如：
    Sun(1,1)=C[1][1];  Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];...
    Sun(2,1)=C[2][1];  Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];...
    Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];

例：测试一下：

import java.util.Arrays;
public class Test{
      int[][] A;//原二维数组
      int[][] C;//对应的二维树状数组

      public Test(){   
         A=new int[5][6];
         C=new int[5][6];
        
         for(int i=1;i<5;i++)
           for(int j=1;j<6;j++)
              Modify(i,j,1);//给A[][]每个元素加1
          for(int i=1;i<5;i++){
            for(int j=1;j<6;j++)
              System.out.print(A[i][j]+"  ");//输出A[][]
            System.out.println();
          }

         System.out.println(Sum(3,4));//求子二维数组的和
         Modify(2,3,4);//将A[2][3]加4
         System.out.println(Sum(3,4));//显示修改后的和
         
      }
    

    
    private int lowbit(int t){  
       return t&(-t);   
    }  
 
    int Sum(int i, int j){
      int result = 0;
      for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) {
        for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) {
            result += C[x][y];
        }
      }

    return result;
   }

     private void Modify(int i, int j, int delta){
         
         A[i][j]+=delta;
     
       for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))
        for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y)){
          C[x][y] += delta;
        
        }
     }
     public static void main(String args[]){
       Test t=new Test();
     }
   }
         
C:\java>java  Test
1  1  1  1  1
1  1  1  1  1
1  1  1  1  1
1  1  1  1  1
12
16

未完,待续......