动态规划算法学习十例之一

    动态规划在查找有很多重叠子问题的情况的最优解时有效。它将问题重新组合成子问题。为了避免多次解决这些子问题，它们的结果都逐渐被计算并被保存，从简单的问题直到整个问题都被解决。因此，动态规划保存递归时的结果，因而不会在解决同样的问题时花费时间。

     动态规划只能应用于有最优子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解。简单地说，问题能够分解成子问题来解决。

1）动态规划是运筹学中用于求解决策过程中的最优化数学方法。 当然，我们在这里关注的是作为一种算法设计技术，作为一种使用多阶段决策过程最优的通用方法。它是应用数学中用于解决某类最优化问题的重要工具。


2）如果问题是由交叠的子问题所构成，我们就可以用动态规划技术来解决它，一般来说，这样的子问题出现在对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包含了相同问题的更小子问题的解。动态规划法建议，与其对交叠子问题一次又一次的求解，不如把每个较小子问题只求解一次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间的），这样就可以从表中得到原始问题的解。

首先让我们看一个例子：
例1：如下图有一个数字三角阵，请编一个程序计算从顶点至底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字的和最大。每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走。
          7
      5     3
   4     2    1
2     1    3    7

   这个问题的实质实际上是一个有向图中最长路经问题，可以用经典的图论算法或者搜索来解决。

    考虑如何用搜索法来解这道题，从第一个点开始扩展，每次扩展2个可行节点，直到达到数字三角形的底部，从所有的可行路径中找出最优值，这样做的复杂度是o(2^n)，当n很大的时候，普通的搜索法将不可行。

观察发现，搜索的效率低下很大程度上是因为做了大量的重复运算，因为对于任何一个节点，从他开始向下拓展的最优值是确定的，这启发了我们应当充分利用之前的运算结果。
 
下面我们来进行深入的分析，假如已经走第I行第J列，此时最大累加和S[I，J], 应选S[I-1，J-1]，S[I-1，J+1]中较大者再加上（I，J）处的值A[I，J]，即下式

  S[I，J]=A[I，J]+MAX（S[I-1，J-1]，S[I-1，J+1]）

  所以我们可以从第一行开始，向下逐行推出每一处位置的最大累加和S，最后从底行的N个S中选出最大的一个即为所求，这种算法的复杂度为o(n^2)，比较搜索法，已经大大的降低了，这种充分利用已经计算出结果的方法，就叫做动态规划。

  通过上面的例子，我们对“动态规划”有了一个初步认识，它所处理的问题是一个“多阶段决策问题”。我们现在对一些概念进行具体定义：

状态（State）：
   它表示事物的性质，是描述“动态规划”中的“单元”的量。如例1中的每个节点（指节点处的最大值）都为单个的状态。

阶段（Stage）：
   阶段是一些性质相近，可以同时处理的状态集合。通常，一个问题可以由处理的先后次序划分为几个阶段。如例1中的问题，每一行若干节点组成一个阶段。一个阶段既可以包含多个状态，也可以只包含一个状态。描述各阶段状态的变量称为状态变量，例1中可用S[4 , j]来表示第四阶段（即第四行）走到第j列的最大值，即第四阶段状态变量。

状态转移方程：
    是前一个阶段的状态转移到后一个的状态的演变规律，是关于两个相邻阶段状态的方程，是“动态规划”的中心。

如例1中： S[I，J]=A[I，J]+MAX（S[I-1，J]，S[I-1，J+1]）

决策（Decision）：
   每个阶段做出的某种选择性的行动。它是我们程序所需要完成的选择。如例1中
MAX（S[I-1，J]，S[I-1，J+1]）

    动态规划所处理的问题是一个“多阶段决策问题”，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线（通常是求最优的活动路线）

动态规划的应用范围，要确定一个问题是否能用动态规划，需要考虑两个方面：


一：最优子结构
    即一个问题的最优解只取决于其子问题的最优解，也就是说，非最优解对问题的求解没有影响。

二：无后效性
     即一个问题被划分阶段后，阶段I中的状态只能由阶段I-1中的状态通过状态转移方程得来，与其他状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系，这就是无后效性。



例2：对于一个由数字组成的二叉树，求由叶子到根的一条路径的数字和的最大值.
           7
         3  8
       8  1  0
    2   7  4  4
  4   5  2  6  5

从上往下计算，对于每一点，只需要保留从上面来的路径中和最大的路径的和即可。
因为在它下面的点只关心到达它的最大路径和，不关心它从那条路经上来的。

import java.util.Scanner;
 
public class Test{
  public static void main(String args[]){
     int n=5;
    int a[][]={{0,0,0,0,0,7,0,0,0,0,0},
               {0,0,0,0,3,0,8,0,0,0,0},
               {0,0,0,8,0,1,0,0,0,0,0},
               {0,0,2,0,7,0,4,0,4,0,0},
               {0,4,0,5,0,2,0,6,0,5,0}};


    int s[][]=new int[5][11];  
    s[0][5]=a[0][5]; 
    for(int i=1;i<n;i++){
     for(int j=1;j<10;j++){
       s[i][j]=Math.max(s[i-1][j-1],s[i-1][j+1])+a[i][j];
     }
    }

    System.out.println("原始数据");
    for(int i=0;i<n;i++){
     for(int j=0;j<11;j++){
       System.out.printf("%-4d",a[i][j]);
    }
    System.out.println();
   }
    
   System.out.println();
   System.out.println("对应的最大路径");
   for(int i=0;i<n;i++){
     for(int j=0;j<11;j++){
       System.out.printf("%-4d",s[i][j]);
    }
    System.out.println();
   }

   System.out.println();
   System.out.println("最长路径的值为：");

    System.out.println(max(s[n-1]));
 
}

  public static int max(int b[]){
    int max=b[0];
   for(int i=1;i<b.length;i++){
     if(b[i]>max) max=b[i];
   }
   return max;
 }
     
}

下载源码：