尾递归与线性递归

下面两个程序是scheme写的计算阶乘的递归和尾递归实现
线性递归：

(define (factorial n)
    (if (=n 1)
        1
        (* n (factorial (- n 1)))))

 

 尾递归：

(define (factorial n)
    (fact-iter 1 1 n))

(define (fact-iter product counter max-count)
    (if (> counter max-count)
        product
        (fact-iter (* counter product)
                   (+ counter 1)
                   max-count)))

 

 

用C写出来就是这样的：
线性递归：

long factorial(long n) 
{      
  return(n == 1) ? 1 : n * factorial(n - 1);      
} 

 

尾递归：

long fact_iter(long product, long counter, long maxcount) 
{      
  return (counter > maxcount) ? product : fact_iter(product*counter, counter+1, maxcount);
}      

long factorial(long n) 
{
  return fact_iter(1, 1, n);    
}     

 

线性递归程序基于阶乘的递归定义，即：对于一个正整数n，n!就等于n乘以(n-1)!:
     n! = n[(n-1)(n-2)…3*2*1] =n(n-1)!
程序一在计算4!时的过程是这样的：
    (factorial 4)
    (* 4 (factorial 3))
    (* 4 (* 3 (factorial 2)))
    (* 4 (* 3 (* 2 (factorial 1))))
    (* 4 (* 3 (* 2 1)))
    (* 4 (* 3 2))
    (* 4 6) 
    24

而尾递归程序用的是另一种计算规则，即先用1乘以2，再将得到的结果乘以3，再乘以4，这样下
去直到n。程序中维持着一个变动中的乘积product，以及一个从1到n的计数器counter,这一
计算过程中的product和counter在每一步都按照下面规则改变：
    product = counter * product
    counter = counter + 1
这样循环下去，可以得到n!也就是计数器counter超过n时乘积product的值。
所以程序二在计算4!的过程是这样的：
    (factorial 4)
    (fact-iter 1 1 4)
    (fact-iter 1 2 4)
    (fact-iter 2 3 4)
    (fact-iter 6 4 4)
    (fact-iter 24 5 4)
    24 

一个对自己本身的递归尾调用，就叫做尾递归。这里尾调用的“尾”字，是指运行
时需要执行的最后一个动作。不是简单的语法字面上的最后一个语句。 尾递归实
际执行的是迭代的计算过程。
线性递归函数必须满足以下两个基本属性：

• 必须清晰无误地解决基的情况。
• 每一个递归的调用，必须包含更小的参数值。

而尾递归则不必满足这两个条件。
普通的线性递归比尾递归更加消耗资源, 在实现上说, 每次重复的过程调用都使得调
用链条不断加长. 系统不得不使用栈进行数据保存和恢复.而尾递归就不存在这样的问
题, 因为它的状态完全由函数的参数保存。并且，由于尾递归的函数调用出现在调用者
函数的尾部，因为是尾部，所以根本没有必要去保存任何局部变量，sp, pc的信息。
直接让被调用的函数返回时越过调用者，返回到调用者的调用者去。
尾调用优化不是什么很复杂的优化，实际上几乎所有的现代的高级语言编译器都支持
尾调用这个很基本的优化。 实现层面上，只需要把汇编代码call改成jmp, 并放弃所有
局部变量压栈处理，就可以了。这样一来，堆栈根本就没有被占用，每次调用都是重
新使用调用者的堆栈。
尽管尾递归比递归高效，但并非所有的递归算法都可以转成尾递归的，因为尾递归本质
上执行的是迭代的计算过程。这与并非所有的递归算法都可以转成迭代算法的原因是一样的。