VC维（Vapnik–Chervonenkis dimension）

1、简介

        vc理论（Vapnik–Chervonenkis theory ）是由 Vladimir Vapnik 和 Alexey Chervonenkis发明的。该理论试图从统计学的角度解释学习的过程。而VC维是VC理论中一个很重要的部分。

 

2、定义

 

        定义：对一个指示函数集,如果存在h个样本能够被函数集中的函数按所有可能的 种形式分开,则称函数集能够把h个样本打散;函数集的VC维就是它能打散的最大样本数目h.若对任意数目的样本都有函数能将它们打散,则函数集的VC维是无穷大.

        VC维反映了函数集的学习能力,VC维越大则学习机器越复杂(容量越大).学习能力越强。

 

        故有这样的结论，平面内只能找到3个点能被直线打散而不找到第4个。

 

        对于这个结论可以按如下方式理解：

        （1）平面内只能找到3个点能被直线打散：直线只能把一堆点分成两堆，对于3个点，要分成两堆加上顺序就有23种。其中A、B、C表示3个点，+1，-1表示堆的类别， {A→-1,BC→+1}表示A分在标号为-1的那堆，B和C分在标号为+1的那堆。这就是一种分发。以此类推。则有如下8种分法：

{A→-1,BC→+1}，{A→+1,BC→-1}

{B→-1,AC→+1}，{B→+1,BC→-1}

{C→-1,AB→+1}，{C→+1,BC→-1}

{ABC→-1}，{ABC→+1}

 

        （2）找不到4个点。假设有，则应该有24=16分法，但是把四个点分成两堆有：一堆一个点另一对三个点（1，3）；两两均分（2，2）；一堆四个另一堆没有（0，4）三种情况。对于第一种情况，4个点可分别做一次一个一堆的，加上顺序就有8种：

{A→-1,BCD→+1}，{A→+1,BCD→-1}

{B→-1,ACD→+1}，{B→+1,ACD→-1}

{C→-1,ABD→+1}，{C→+1,ABD→-1}

{D→-1,ABC→+1}，{D→+1,ABC→-1}；

 

        对于第二种情况有4种：

{AB→-1,CD→+1}，{AB→+1,CD→-1}

{AC→-1,BD→+1}，{AC→+1,BD→-1}

        没有一条直线能使AD在一堆，BC在一堆，因为A、D处在对角线位置，B、C处在对角线位置。（这是我直观在图上找出来的）

 

        对于第三种情况有2种；

{ABCD→-1}

{ABCD→+1}

        所以总共加起来只有8+4+2=14种分法，不满足24=16分法，所以平面找不到4个点能被直线打散。