FP 做数学统计题

今天布置的家庭作业还真是烦人！做完《数学之友》上“统计案例”一章所有习题。我的妈呀，算什么卡方、线性回归，公式繁琐地要命，按计算器都能把人按死。还是让电脑帮我做吧。
不用什么 GNUplot、Mathematica，俺用 Haskell，自己动手，丰衣足食！

一. 独立性检验
卡方就是一个公式：

kaf a b c d = 
	((sqr ((a * d) - (b * c))) * (a + b + c + d)) / 
		((a + b) * (c + d) * (a + c) * (d + b))

-- sqr 函数是用来求一个数的平方的，再实现一下：
sqr n = n * n

这样就搞定一种题了！以后算卡方不要太简单，把要检测独立性的四个数据按顺序作为 kaf 函数的参数输入 Hugs 就搞定了！
Main> kaf 184 61 91 9
11.097807845216 :: Double

二. 线性回归分析
其实就是求一个 y = a + bx 中的 a，b。把 xn 值、yn 值各表示为一个列表，像这样来使用：
Main> lrb [1..8] [5.54, 7.52, 10.02, 11.73, 15.69, 16.12, 16.98, 21.06]
2.12142857142857 :: Double
Main> lra [1..8] [5.54, 7.52, 10.02, 11.73, 15.69, 16.12, 16.98, 21.06]
3.53607142857143 :: Double
那么，就可以根据公式把它们抄出来：

lrb xl yl = 
	-- 这里要注意一下，数学中的 sigma 是一种记法而非函数
	(sigma
	 (\(x, y) -> (x - xp) * (y - yp)) (zip xl yl)) /
		sigma (\x -> sqr (x - xp)) xl 
	where 
		xp = avg xl
		yp = avg yl

lra xl yl = avg yl - (lrb xl yl) * avg xl

其中，avg 函数用来求一个列表的平均值（这里也就是所有 x 取值的平均值啦），它需要知道列表长度：

avg ls = sum ls / len ls

len [] = 0
len (x:xl) = (len xl) + 1

最后一个 sigma 函数的实现也很简单，就是累加嘛，只是写地有些不好看罢了：

sigma f (x:xl) = 
	if xl == []
	then f x
	else f x + sigma f xl

重申一遍，这里的 sigma 被表示为函数而非数学形式。那么，猜猜下面的 sigma 的数学形式是什么？
Main> sigma (\(x, y) -> x * y) [(1,4), (5,3), (3,8), (2,4)]
51 :: Integer

三. 线性相关系数
线性相关系数 r 的求法也只是个函数，再抄一遍：

lrr xl yl = 
		(sigma 
	 (\(x, y) -> (x - xp) * (y - yp)) (zip xl yl)) /
		sqrt ((sigma (\x -> sqr (x - xp)) xl) * 
		 (sigma (\y -> sqr (y - yp)) yl))
	where 
		xp = avg xl
		yp = avg yl

以后这样用就行了：
Main> lrr [1..8] [5.54, 7.52, 10.02, 11.73, 15.69, 16.12, 16.98, 21.06]
0.987345979074916 :: Double
哇！这组数据的线性相关性接近 1，好高啊！

四. 结语
现在发现 Haskell 还真是实用，这个周末数学作业不愁了，打魔兽去喽！
最后给楼下的看客留一个与 FP 没什么关系的小题目：
对于一组线性相关数据，往往要求它的所有产生数据—— a、b、r，还有线性回归函数，顺便还要用这个函数再求一下对未来的预期。我如果当真输入 3 遍数据然后手工计算预期岂不是很傻？！想想看怎么让我只输入一遍数据就得到所有的产生数据（设计一下数据结构而已）还有线性回归函数（其实只有这个才有那么一点点技术含量）。

sigma可以直接用foldr或foldl，省的做尾递归优化了。