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锁定老帖子 主题:鬼谷算题,你可知道解法?
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作者 | 正文 |
发表时间:2006-11-11
有一天鬼谷子对他们说:“两个大于1而小于100的自然数相加=X,相乘=Y。谁能猜出我说的这两个自然数是多少?” 庞涓说:“条件太少了。X,Y都不知道,我没有办法算。” “好,你附耳过来。”鬼谷子悄悄地告诉庞涓X是多少。然后又悄悄地告诉孙宾Y是多少。 “现在你们分别知道X,Y,谁能说出答案?” 庞涓想了一会,得意地说:“虽然我不知道答案是哪两个自然数,但是我知道孙宾也不知道这两个数是多少!” 孙宾淡淡一笑:“听你一说,现在我倒知道这两个数是多少了。” 庞涓大吃一惊:“慢,你先别说答案。”他又想了一会说:“师傅,我也知道这两个数是多少了。” 你知道这两个自然数是多少吗??? 现以一个变化版本来给出推理过程: 引用
考官说我这里有两个数字,这两个数字的范围在2到100之间。 然后他告诉我张三这两个数字的和,告诉了李四这两个数字的乘积。 让张三和李四说出这两个数字分别是多少。 张三看了看“和”,说“你肯定不知道这两个数字是多少。” 李四听了这话,想了想,说,“那么,我现在知道这两个数字是多少了。” 张三听了李四的话,也说:“那我也知道是多少了”。 朋友们,你们知道是多少了吗? 是怎么知道的呢?
李四不知道这两个数字是多少,说明这两个数字不可能都是质数,否则将这两个数字的积(设为A)分解质因数既可还原。 同样A不可能有大于50的质因数,否则A只有一种拆分方法(其他拆分方法必有大于100的因数)。 既然张三可以肯定李四不知道这两个数字,说明这两个数的和(设为B)不可能分解为两个质数的和。因为任何大于4的偶数都可以分解为两个质数之和(哥德巴赫猜想),所以,这B必为奇数,也就是说这两个数是一奇一偶。 同样B不可能等于“质数+2” 另:B不可能大于54。因为任何大于54的数都可以拆分成53+X的形式,而53和任意自然数的积一定有质因数53,与上述分析矛盾。 这样两数之和B的范围大大缩小。 那么这两个数的和B只可能等于: 11 17 23 27 29 35 37 41 47 中的一个。 "李四听了这话,想了想,说,“那么,我现在知道这两个数字是多少了。”" 看看各种可能的B的各种拆分方式所得到的积: 11(2*9=18、3*8=24、4*7=28、5*6=30) 17(2*15=30、3*14=42、4*13=52、5*12=60、6*11=66、7*10=70、8*9=72) 23(2*21=42、……) …… 47(……) 可以看出,30、42等作为积出现了不止一次,所以两数之积A不可能是30、42等。 我们把这样的数从上表中划去,剩下的数就是可能的积,而对应的拆分方法我们称之为可能拆分。 这个工作量比较大,先不忙划,继续往下分析。 “ 张三听了李四的话,也说:“那我也知道是多少了”。” 这句话说明,最终的B值只包含一种可能拆分。 好,我们再看。 11可拆分为4+7和8+3,均为可能拆分。(因为28和24均不可能有其它的奇数*偶数的表示形式了)。 23可拆分为4+19和16+7,均为可能拆分。(因为68和112均不可能有其它的奇数*偶数的表示形式了)。 27可拆分为4+23和8+19。 35可拆分为4+31,16+19和32+3。 37可拆分为8+29和32+5。 47可拆分为4+43和16+31。 另: 29可拆分为6+23和16+13均为可能拆分 41可拆分为4+37和10+31,均为可能拆分。(请读者自己验证) 好了,现在只剩下17。 拆拆看: 17(2*15=30、3*14=42、4*13=52、5*12=60、6*11=66、7*10=70、8*9=72) 不难验证,其中30、42、60、66、70、72均不是可能的A值,只有4*13一种拆分方法。 所以答案: 4和13! 声明:ITeye文章版权属于作者,受法律保护。没有作者书面许可不得转载。
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