一个有趣的悖论

今天去卫生间的时候，顺手在走道里抓了一本别人扔在那里的Journal of Economic Perspectives。我们的走道里到处都是这样没人要的经济学杂志，我基本上也是每次去卫生间的时候都会抓上一本，翻一翻，以打发时间。我今天突然觉得，这样的生活是不是太无聊了，连上卫生间都读学术论文来打发时间。不过很快一件事情，就打消了这个念头。晚饭我和谷主从办公室往哈佛广场走，我们看着丘城桐（对，就是那位得费尔滋奖丘大师）领着一盒盒饭往办公室走（数学系和经济系比邻而居）。谷主不认识丘城桐，我自己一个人在心里感叹：丘城桐成名都 30年了，不要说在华人数学界，在世界数学界都是泰斗一般的人物（有一天，我跟导师在科学中心的咖啡厅里买咖啡，碰见了丘城桐。他们很熟，寒暄了一下之后，丘城桐走了。导师问我，你认识他吗？我说，丘城桐在华人数学界是国王一样的人物，我怎么可能不认识。导师的回答很简单：He is also a king here, he is a king everywhere. （他在这也是一个国王，他在哪里都是国王），他的勤奋是能用眼睛看出来的。你每天看他的车就知道了，我来的时候已经停在那里了，我走的时候经常还没走，周末也来办公室。我上个卫生间读篇破论文，算什么啊。

不过今天倒真是读到一篇好玩的东西。我读的这本是1989年的JEP，所以估计对很多人这件事情并不新鲜，不过我是第一次看见。这篇文章讲的是这么一个悖论：

假设有两个信封，公开的信息是其中一个信封里的钱是另一个信封里的钱的两倍，然后把这两个信封分别给A和B两个人(假设这两个人风险中性)。然后，等A和B看到信封里的钱之后，你问A和B愿意不愿意和对方交换，其结果是双方都会表示愿意和对方交换，尽管双方都知道这样的交换必然有一个人会受损失。

为什么？

假设你打开信封，看到里面有X美元，那么有一半的可能性对方手里有2X，有一半的可能性对方手里有0.5X，那么按照概率算你跟对方交换所可能获得的收益是0.5*(2X)+0.5*(0.5X)=1.25X，大于你手上的X。因此，不管你看到信封里是多少钱，你都会觉得对方信封里，在概率意义上比你信封里的钱多，因此你都会愿意和对方交换。对方也是一样，觉得你信封里的钱，在概率意义上比他信封里的钱多，因此也愿意和你交换。于是，尽管清楚的知道两个人中的一个必然要吃亏，可是两个人都义无反顾的愿意和对方交换，这就成了一个悖论。

当然，有好些聪明的人解释了这跟悖论为什么未必是一个悖论，从不同的角度。但是，这不是我要说的。我觉得，这分明是一个《围城》的概率版。城外的人想进去，城里的人想出去，都觉得对方的位置好，因此都愿意和对方换位置。

这当然也是我和谷主吃饭的概率版：我们两如果下馆子吃不一样的菜，那我们总是会觉得对方碗里的比自己碗里的更好吃，特别是我。

这个概率计算有问题，应该总数是不变的，而不是手上的x不变。
0.5*(2X)和0.5*(0.5X)的X值是不一样的。

假设总数是X
那么计算公式应该是

0.5*(2/3*X)+0.5*(1/3*X)=0.5X

这个没交换前所那到钱的概率是一样的。

独立概率事件是不能连起来算的，这是概率论常识。