拓扑学奇趣
一、 什么是拓扑学
拓扑学(Topology)是在19世纪末兴起并在20世纪中迅速蓬勃发展的一门数学分支，其中拓扑变换在许多领域均有其用途。直至今日，从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为数学理论的三大支柱。
拓扑学的最简单观念产生于对周围世界的直接观察。直观的说，关于图形的几何性质探讨，不限于它们的“度量”性质(长度、角度等等)方面的知识。拓扑学探讨各种几何形体的性质，但是其内容却与几何学的范畴不尽相同，多数的讨论都是围绕在那些与大小、位置、形状无关的性质上。例如，曲线(绳子、电线、分子链…)不论有多长，它可以是闭合或不是闭合的。如果曲线是闭合的，则它可以是“缠绕”得很复杂的。两条以上的闭曲线可以互相套起来，而且有很多型式。立体及它们的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破坏孔洞下，它们允许做任意的伸缩及变形。这种变形不会减少或增加孔动数量，就叫做它的“拓扑性质”。一个橡皮圈，在它的弹性限度内，任凭我们把它拉长、扭转，只要不把它弄断，那么它永远是一个圈圈。拉长使它的长度改变了，扭转使它的形状改变了，然而在拓扑学上不会理会这些，只是专注在“它永远有一个圈圈”上。
A. 拓扑同胚与等价性质
拓扑学只探讨各种几何形体的内禀特质。一个几何图形的性质，经由一拓扑变换作用后维持不变，该性质称为图形的拓扑性质。下面两组图形从拓扑变换角度来看，它们分别是“等价”的。任何三角形、方形、圆形及椭圆的内禀特质，从拓扑学的立场看来，它们都没有任何区别。然而，在初等几何学中，这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。
如果我们把一个橡皮制的物体X任意的扭转、拉长，但不可把它撕开或断，而得到另一形状的物体Y，我们称这两个物体X和Y在拓扑上是一种“同胚”或“等价”的结构。广义的来说，在一个物体到另一个物体的对应关系，如果它是不间断，又不重复，则在拓扑上称这个关系在两物体间建立一个“同胚”变换。两个物体间如果存在有这种关系，则称它们为“拓扑同胚”。
例如，任意一个三角形在任意延伸、伸缩的变形变换中，可以迭合住一个圆形。所以这个延伸、伸缩变换是一种同胚变换，因而三角形和圆形在拓扑上被视为是同胚或等价的。
拓扑学就是探讨同胚的拓扑空间所共有的性质之一门学科。网络、欧拉定理、曲面、向量场、四色问题、结、覆盖等，都是拓扑学研究的重要课题。
B. 不可思议的拓扑变换
法国著名数学家庞加莱(Poincaré, 1854〜1912)以他丰富的想象力及抽象的思维能力，提出图1中的两个物体是等价(同胚)的，也就是说，您可以从其中一个开始，经由拓扑变换得出另一个，您认为可能吗？
图1
庞加莱的变换魔术：请注意图2的变换!在拓扑上，只要不破坏原有结构，任意伸缩变形是被允许的，因为总能找到一个同胚的对应来描述这个动作。
图2
庞加莱的奇怪想法：在车轮内胎上有一个小洞，能否在不撕坏车胎的前提下，通过小洞将车内胎翻面过来(里面翻到外面)？如果可以，该如何操作？
二、莫比乌斯(Möbius)带
在1862〜1865年，德国数学家莫比乌斯(Möbius)和利斯廷的著作中出现了一种有边缘的曲面。它可以这样得到：把长方形纸条扭转一次，然后把两端接起来。这样得到的曲面叫做Möbius 带，见图3。
图3
关于Möbius带是怎样发现的﹐有这样一个故事：有一次﹐莫比乌斯在海滨度假。到了晚上﹐苍蝇太多﹐使他难以入睡。于是他把黏蝇纸扭转半圈﹐然后把两端粘到一起﹐形成一个纸环。再把这样的纸环挂在假期别墅的椽头上。他临时制作的捕捉苍蝇的纸带很管用﹐他睡觉没有再受苍蝇的干扰。早晨醒来﹐他的目光落在那个纸环上﹐惊讶地发现这条纸只有一个面﹐并且只有一条棱。著名的Möbius带于是诞生了，当然这只是个有趣的传说。
A. 单侧的曲面
这个扭转一次纸带所得到的Möbius带有何特别的几何性质呢？我们看图4这个一般的纸环，在纸环内，垂直于纸面的一个法向量，总是由纸面指向圆形纸环的环心处，在纸环外，垂直于纸面的一个法向量，总是指向外面；但是对Möbius 带而言，就没有这种情形。
图4
对Möbius带而言，它是一种单侧的曲面。譬如说，在九章的标志中，沿着带子上移动的人，路途中会经过他移动的起始点，但是却在另一侧。如果他继续移动，则会把整个Möbius 带都走遍。所以可以确定它没有第二侧!
B. 从Möbius 带中间剪一刀
取一只笔，在制作好的Möbius带上画上5图中昆虫所走的轨迹，然后取一把剪刀，将Möbius 带沿轨迹剪开。您有什么发现呢？
图5
从上面操作中发现，剪一刀后的Möbius带并不会被分成两个纸环，而是形成一个更大的纸环。您知道为什么吗？
如果我们将Möbius带的纸面宽画上三等份，沿两条等分线剪开，及结果会如何？又剪三刀成为四等份呢？
C. Möbius 带与纸环的拓扑同胚结构
从一条纸带扭转一次接合后得到Möbius 带，经过剪刀剪一刀后，得到一个瘦长的纸环，它是一个纸带扭转三次接合后的图形。可以发现它们都是单侧的图形。
从上述拓扑观点来看，在它们之间存在一个变换，维持了它们都是单侧的性质，称它们是同胚的。想一想，一个未经扭转的纸环和一个经由两次扭转所得的纸环，是否是同胚？
三、 双人脱困游戏
在6图中，如果不解开手腕上的绳结，不破坏、不剪断绳子的情况下，怎样帮助他们脱困？将这一对男女分开呢？请找一个同伴一起动手操作试试看!
图6
四、难题？
在图7中，最初在位置A的金属环能否被移往位置B的地方呢？如果可以，该怎么移动？请用块厚纸板钻几个洞，作个玩具试试。
图7
(摘编自“九章数学网”)