递归与分治策略（二）：超大阶乘的实现

递归与分支策略：
1.例子一：阶乘
说到递归，不得不提下数学归纳法。数学归纳法是一种通过自身的语汇定义某事物自己的方法。
用自身定义某事物自身的方法看起来像是在绕圈子，但是事实上他是完全正确的（假设有一个基值的情况）

阶乘在概念上和三角数字式类似的，只是用*取代了+而已。
请看下面的式子：
三角数字：f(n)=f(n-)+n；
阶乘：n!=(n-1)!*n;<==>f(n)=f(n-1)*n;

A.阶乘的编程实现：

public long factorial(int n){//关于返回值的类型，小的话用int,long
  if(n==0)
  return 1;
  else
  return factorial(n-1)*n;
}

B.补充：求超大数n的阶乘,使用math包下的BigInteger

先介绍下BigInteger和BigDecimal包装类型(没有基本类型)，是java.math包下的类，不是java.lang.Math:

Java提供了两个用于高精度计算的类：BigInteger和BigDecimal。虽然它们大体上属于“包装器类”的范畴，但两者都没有对应的基本类型。不过，这两个类包含的方法，提供的操作与对基本类型所能执行的操作相似。也就是说，能作用于int或float的操作，也同样能作用于BigInteger或BigDecimal。只不过必须以方法调用方式取代运算符方式来实现。由于这么做复杂了许多，所以运算速度会比较慢，相比而言，int和float是以速度取代了精度。

BigInteger支持任意精度的整数。也就是说，在运算中，可以准确地表示任何大小的整数值，而不会丢失任何信息。

常用方法：

abs()  //返回其值是此BigInteger的绝对值的BigInteger。
   add(BigInteger val)  //返回其值为(this+val)的BigInteger。
   subtract(BigInteger val)  //返回其值为(this-val)的BigInteger。
   multiply(BigInteger val)  // 返回其值为(this*val)的BigInteger。
   divide(BigInteger val)  //返回其值为(this/val)的BigInteger。
   remainder(BigInteger val)  //返回其值为(this%val)的BigInteger。
   compareTo(BigInteger val)  //将此BigInteger与指定的BigInteger进行比较。返回值1、0、-1分别表示大于、等于、小于
   pow(int exponent)  //返回当前大数的exponent次幂。
   toString()  //返回此BigInteger的十进制字符串表示形式。
   toString(int radix)  //返回此BigInteger的给定基数(radix进制)的字符串表示形式。 

BigDecimal支持任何精度的定点数，例如，可以用它进行精确的货币运算。

它可以用来表示任意精度的有符号十进制数。BigDecimal 由任意精度的整数非标度值 和 32 位的小数标度 (scale) 组成。如果为零或正数，则标度是小数点后的位数。BigDecimal 类提供以下操作：算术、标度操作、舍入、比较、哈希算法和格式转换。toString() 方法提供 BigDecimal 的规范表示形式。 BigDecimal 类使用户能完全控制舍入行为

使用例子：

BigDecimal bigDecimal = new BigDecimal(Math.PI);
bigDecimal = bigDecimal.setScale(2,BigDecimal.ROUND_DOWN);//接近零的舍入模式取PI值小数点后面二位
->3.14

使用BigInteger实现10000！的算法：

package DataStructures_Algorithm;

import java.math.BigInteger;

public class FactorialBigIntegerTest {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(factorial(10000));
       
    }
   
    private static final BigInteger factorial(int n){
        BigInteger bigInteger=new BigInteger(""+n);
        if(n==0)
            return BigInteger.ONE;
        else
            return factorial(n-1).multiply(bigInteger);
       
       
    }

}

扩展有这样一组数字序列0，1，1，2，3，5，8........，求第100个数是多少！

很明显：第n项的值

           n=1,f(1)=0;
           n=2,f(2)=1;
           n=3,f(3)=f(1)+f(2)=0+1=1;
           n=4,f(4)=f(2)+f(3)=1+1=2;
           n=5,f(5)=f(3)+f(4)=1+1=1+2=3;
           n=6,f(6)=f(4)+f(5)=2+3=5;
           ..........................
           n=n,f(n)=f(n-2)+f(n-1);
编程实现f(100)：这里用数组实现，用递归没效率

private static final BigInteger distributePoker(int n) {
        // BigInteger数组
        BigInteger[] resultBigInteger = new BigInteger[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (i == 0)
                resultBigInteger[i] = BigInteger.ZERO;
            if (i == 1)
                resultBigInteger[i] = BigInteger.ONE;
            if(i>=2)
                resultBigInteger[i] = resultBigInteger[i - 2]
                        .add(resultBigInteger[i - 1]);
        }
        return resultBigInteger[n - 1];

}

                                                
C.不使用BigInteger，计算超大数阶乘算法——>用整型数组保存每位数的结果，最后返回字符串，效率最高

private static final String ArrayStringFactorial(int n) {
        int a[] = new int[200];// 确保保存最终运算结果的数组位数足够大,200位的数已经够大了
        int carry = 0;// 进位标志位
        int digit = 1;// 位数
        a[0] = 1;// 将结果先初始化为1
        int temp;// 阶乘的任一元素与临时结果的某位的乘积结果
        StringBuffer resultStr = new StringBuffer();

        for (int i = 2; i <= n; ++i)// 开始阶乘，阶乘元素从2开始依次“登场”
        {
            // 按最基本的乘法运算思想来考虑，将临时结果的每位与阶乘元素相乘
            for (int j = 1; j <= digit; ++j) {
                temp = a[j - 1] * i + carry;// 相应阶乘中的一项与当前所得临时结果的某位相乘（加上进位）
                a[j - 1] = temp % 10;// 更新临时结果的位上信息
                carry = temp / 10; // 看是否有进位
            }
            while (carry!=0?true:false)// 如果有进位
            {
                a[(++digit) - 1] = carry % 10;// 新加一位，添加信息。位数增1
                carry /= 10; // 看还能不能进位
            }
        }
        for (int i = digit; i >= 1; --i) {
            resultStr.append(a[i - 1]);
        }
        return resultStr.toString();

}

分治策略 请继续关注下文。。。。。。。。。。

private static final String ArrayStringFactorial(int n) {
        int a[] = new int[200];// 确保保存最终运算结果的数组位数足够大,200位的数已经够大了
        int carry = 0;// 进位标志位
        int digit = 1;// 位数
        a[0] = 1;// 将结果先初始化为1
        int temp;// 阶乘的任一元素与临时结果的某位的乘积结果
        StringBuffer resultStr = new StringBuffer();

        for (int i = 2; i <= n; ++i)// 开始阶乘，阶乘元素从2开始依次“登场”
        {
            // 按最基本的乘法运算思想来考虑，将临时结果的每位与阶乘元素相乘
            for (int j = 1; j <= digit; ++j) {
                temp = a[j - 1] * i + carry;// 相应阶乘中的一项与当前所得临时结果的某位相乘（加上进位）
                a[j - 1] = temp % 10;// 更新临时结果的位上信息
                carry = temp / 10; // 看是否有进位
            }
            while (carry!=0?true:false)// 如果有进位
            {
                a[(++digit) - 1] = carry % 10;// 新加一位，添加信息。位数增1
                carry /= 10; // 看还能不能进位
            }
        }
        for (int i = digit; i >= 1; --i) {
            resultStr.append(a[i - 1]);
        }
        return resultStr.toString();

}

你这完全是个 C 程序，结果的位数也限死了。

在网上随便找了一个C++的：

std::vector<int> void cal_factorial(int n)
{
  std::vector<int> a;
  a.push_back(1);

  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    int carry = 0;

    for (int j = 0; j < a.size(); ++j) {
      int temp = a[j] * i + carry;
      a[j] = temp % 10;
      carry = temp / 10;
    }

    while (carry) {
      a.push_back(carry % 10);
      carry /= 10;
    }
  }

  return a;
}