上帝掷骰子吗——量子物理史话(转载)

第三章 火流星

一

在量子初生的那些日子里，物理学的境遇并没有得到明显的改善。这个叛逆的小精灵被他的主人所抛弃，不得不在荒野中颠沛流离，积蓄力量以等待让世界震惊的那一天。在这段长达四年多的惨淡岁月里，人们带着一种鸵鸟心态来使用普朗克的公式，却掩耳盗铃般地不去追究那公式背后的意义。然而在他们的头上，浓厚的乌云仍然驱之不散，反而有越来越逼人的气势，一场荡涤世界的暴雨终究无可避免。

而预示这种巨变到来的，如同往常一样，是一道劈开天地的闪电。在混沌中，电火花擦出了耀眼的亮光，代表了永恒不变的希望。光和电这两种令神袛也敬畏的力量纠缠在一起，便在瞬间开辟出一整个新时代来。

说到这里，我们还是要不厌其烦地回到第一章的开头，再去看一眼赫兹那个意义非凡的实验。正如我们已经提到过的那样，赫兹接收器上电火花的爆跃，证实了电磁波的存在，但他同时也发现，一旦有光照射到那个缺口上，那么电火花便出现得容易一些。

赫兹在论文里对这个现象进行了描述，但没有深究其中的原因。在那个激动人心的伟大时代，要做的事情太多了，而且以赫兹的英年早逝，他也没有闲暇来追究每一个遇到的问题。但是别人随即在这个方面进行了深入的研究，不久事实就很清楚了，原来是这样的：当光照射到金属上的时候，会从它的表面打出电子来。原本束缚在金属表面原子里的电子，不知是什么原因，当暴露在一定光线之下的时候，便如同惊弓之鸟纷纷往外逃窜，就像见不得光线的吸血鬼家族。对于光与电之间存在的这种饶有趣味的现象，人们给它取了一个名字，叫做“光电效应”（The Photoelectric Effect）。

很快，关于光电效应的一系列实验就在各个实验室被作出。虽然在当时来说，这些实验都是非常粗糙和原始的，但种种结果依然都表明了光和电之间这种现象的一些基本性质。人们不久便知道了两个基本的事实：首先，对于某种特定的金属来说，光是否能够从它的表面打击出电子来，这只和光的频率有关。频率高的光线（比如紫外线）便能够打出能量较高的电子，而频率低的光（比如红光、黄光）则一个电子也打不出来。其次，能否打击出电子，这和光的强度无关。再弱的紫外线也能够打击出金属表面的电子，而再强的红光也无法做到这一点。增加光线的强度，能够做到的只是增加打击出电子的数量。比如强烈的紫光相对微弱的紫光来说，可以从金属表面打击出更多的电子来。

总而言之，对于特定的金属，能不能打出电子，由光的频率说了算。而打出多少电子，则由光的强度说了算。

但科学家们很快就发现，他们陷入了一个巨大的困惑中。因为……这个现象没有道理，它似乎不应该是这样的啊。

我们都已经知道，光是一种波动。对于波动来说，波的强度便代表了它的能量。我们都很容易理解，电子是被某种能量束缚在金属内部的，如果外部给予的能量不够，便不足以将电子打击出来。但是，照道理说，如果我们增加光波的强度，那便是增加它的能量啊，为什么对于红光来说，再强烈的光线都无法打击出哪怕是一个电子来呢？而频率，频率是什么东西呢？无非是波振动的频繁程度而已。如果频率高的话，便是说波振动得频繁一点，那么照理说频繁振动的光波应该打击出更多数量的电子才对啊。然而所有的实验都指向相反的方向：光的强度决定电子数目，光的频率决定能否打出电子。这不是开玩笑吗？

想象一个猎人去打兔子，兔子都躲在地下的洞里，轻易不肯出来。猎人知道，对于狡猾的兔子来说，可能单单敲锣打鼓不足以把它吓出来，而一定要采用比如说水淹的手法才行。就是说，采用何种手法决定了能不能把兔子赶出来的问题。再假设本地有一千个兔子洞，那么猎人有多少助手，可以同时向多少洞穴行动这个因素便决定了能够吓出多少只兔子的问题。但是，在实际打猎中，这个猎人突然发现，兔子出不出来不在于采用什么手法，而是有多少助手同时下手。如果只对一个兔子洞行动，哪怕天打五雷轰都没有兔子出来。而相反，有多少兔子被赶出来，这和我们的人数没关系，而是和采用的手法有关系。哪怕我有一千个人同时对一千个兔子洞敲锣打鼓，最多只有一个兔子跳出来。而只要我对一个兔子洞灌水，便会有一千只兔子四处乱窜。要是画漫画的话，这个猎人的头上一定会冒出一颗很大的汗珠。

科学家们发现，在光电效应问题上，他们面临着和猎人一样的尴尬处境。麦克斯韦的电磁理论在光电上显得一头雾水，不知怎么办才好。实验揭露出来的事实是简单而明了的，多次的重复只有更加证实了这个基本事实而已，但这个事实却和理论恰好相反。那么，问题出在哪里了呢？是理论错了，还是我们的眼睛在和我们开玩笑？

问题绝不仅仅是这些而已。种种迹象都表明，光的频率和打出电子的能量之间有着密切的关系。每一种特定频率的光线，它打出的电子的能量有一个对应的上限。打个比方说，如果紫外光可以激发出能量达到20电子伏的电子来，换了紫光可能就最多只有10电子伏。这在波动看来，是非常不可思议的。而且，根据麦克斯韦理论，一个电子的被击出，如果是建立在能量吸收上的话，它应该是一个连续的过程，这能量可以累积。也就是说，如果用很弱的光线照射金属的话，电子必须花一定的时间来吸收，才能达到足够的能量从而跳出表面。这样的话，在光照和电子飞出这两者之间就应该存在着一个时间差。但是，实验表明，电子的跃出是瞬时的，光一照到金属上，立即就会有电子飞出，哪怕再暗弱的光线，也是一样，区别只是在于飞出电子的数量多少而已。

咄咄怪事。

对于可怜的物理学家们来说，万事总是不遂他们的愿。好不容易有了一个基本上完美的理论，实验总是要搞出一些怪事来搅乱人们的好梦。这个该死的光电效应正是一个令人丧气和扫兴的东西。高雅而尊贵的麦克斯韦理论在这个小泥塘前面大大地犯难，如何跨越过去而不弄脏自己那华丽的衣裳，着实是一桩伤脑筋的事情。

然而，更加不幸的是，人们总是小看眼前的困难。有着洁癖的物理学家们还在苦思冥想着怎样可以把光电现象融入麦克斯韦理论之中去而不损害它的完美，他们却不知道这件事情比他们想象得要严重得多。很快人们就会发现，这根本不是袍子干不干净的问题，这是一个牵涉到整个物理体系基础的根本性困难。不过在当时，对于这一点，没有最天才、最大胆和最富有锐气的眼光，是无法看出来的。

不过话又说回来，科学上有史以来最天才、最大胆和最富有锐气的人物，恰恰生活在那个时代。

1905年，在瑞士的伯尔尼专利局，一位26岁的小公务员，三等技师职称，留着一头乱蓬蓬头发的年轻人把他的眼光在光电效应的这个问题上停留了一下。这个人的名字叫做阿尔伯特•爱因斯坦。

于是在一瞬间，闪电划破了夜空。

暴风雨终于要到来了。

二

位于伯尔尼的瑞士专利局如今是一个高效和现代化的机构，为人们提供专利、商标的申请和查询服务。漂亮的建筑和完善的网络体系使得它也和别的一些大公司一样，呈现出一种典型的现代风格。作为纯粹的科学家来说，一般很少会和专利局打交道，因为科学无国界，也没有专利可以申请。科学的大门，终究是向全世界开放的。

不过对于科学界来说，伯尔尼的专利局却意味着许多。它在现代科学史上的意义，不啻于伊斯兰文化中的麦加城，有一种颇为神圣的光辉在里边。这都是因为在100年前，这个专利局“很有眼光”地雇佣了一位小职员，他的名字就叫做阿尔伯特•爱因斯坦。这个故事再一次告诉我们，小庙里面有时也会出大和尚。

1905年，对于爱因斯坦来讲，坏日子总算都已经过去得差不多了。那个为了工作和生计到处奔波彷徨的年代已经结束，不用再为自己的一无所成而自怨自艾不已。专利局提供给了他一个稳定的职位和收入，虽然只是三等技师——而他申请的是二等——好歹也是个正式的公务员了。三年前父亲的去世给爱因斯坦不小的打击，但他很快从妻子那里得到了安慰和补偿。塞尔维亚姑娘米列娃•玛利奇（Mileva Marec）在第二年（1903）答应嫁给这个常常显得心不在焉的冒失鬼，两人不久便有了一个儿子，取名叫做汉斯。

现在，爱因斯坦每天在他的办公室里工作8个小时，摆弄那堆形形色色的专利图纸，然后他赶回家，推着婴儿车到伯尔尼的马路上散步。空下来的时候，他和朋友们聚会，大家兴致勃勃地讨论休谟，斯宾诺莎和莱辛。心血来潮的时候，爱因斯坦便拿出他的那把小提琴，给大家表演或是伴奏。当然，更多的时候，他还是钻研最感兴趣的物理问题，陷入沉思的时候，往往废寝忘食。

1905年是一个相当神秘的年份。在这一年，人类的天才喷薄而出，像江河那般奔涌不息，卷起最震撼人心的美丽浪花。以致于今天我们回过头去看，都不禁要惊叹激动，为那样的奇迹咋舌不已。这一年，对于人类的智慧来说，实在要算是一个极致的高峰，在那段日子里谱写出来的美妙的科学旋律，直到今天都让我们心醉神摇，不知肉味。而这一切大师作品的创作者，这个攀上天才顶峰的人物，便是我们这位伯尔尼专利局里的小公务员。

还是让我们言归正传，1905年3月18日，爱因斯坦在《物理学纪事》（Annalen der Physik）杂志上发表了一篇论文，题目叫做《关于光的产生和转化的一个启发性观点》（A Heuristic Interpretation of the Radiation and Transformation of Light），作为1905年一系列奇迹的一个开始。这篇文章是爱因斯坦有生以来发表的第六篇正式论文（第一篇是1901年发表的关于毛细现象的东东，用他自己的话来说，“毫无价值”），而这篇论文将给他带来一个诺贝尔奖，也开创了属于量子论的一个新时代。

爱因斯坦是从普朗克的量子假设那里出发的。大家都还记得，普朗克假设，黑体在吸收和发射能量的时候，不是连续的，而是要分成“一份一份”，有一个基本的能量单位在那里。这个单位，他就称作“量子”，其大小则由普朗克常数h来描述。如果我们从普朗克的方程出发，我们很容易推导一个特定辐射频率的“量子”究竟包含了多少能量，最后的公式是简单明了的：

E = hν

其中E是能量，h是普朗克常数，ν是频率。哪怕小学生也可以利用这个简单的公式来做一些计算。比如对于频率为10的15次方的辐射，对应的量子能量是多少呢？那么就简单地把10^15乘以h＝6.6×10^-34，算出结果等于6.6×10^-19焦耳。这个数值很小，所以我们平时都不会觉察到非连续性的存在。

爱因斯坦阅读了普朗克的那些早已被大部分权威和他本人冷落到角落里去的论文，量子化的思想深深地打动了他。凭着一种深刻的直觉，他感到，对于光来说，量子化也是一种必然的选择。虽然有天神一般的麦克斯韦理论高高在上，但爱因斯坦叛逆一切，并没有为之而止步不前。相反，他倒是认为麦氏的理论只能对于一种平均情况有效，而对于瞬间能量的发射、吸收等等问题，麦克斯韦是和实验相矛盾的。从光电效应中已经可以看出端倪来。

让我们再重温一下光电效应和电磁理论的不协调之处：

电磁理论认为，光作为一种波动，它的强度代表了它的能量，增强光的强度应该能够打击出更高能量的电子。但实验表明，增加光的强度只能打击出更多数量的电子，而不能增加电子的能量。要打击出更高能量的电子，则必须提高照射光线的频率。

提高频率，提高频率。爱因斯坦突然灵光一闪，E = hν，提高频率，不正是提高单个量子的能量吗？更高能量的量子能够打击出更高能量的电子，而提高光的强度，只是增加量子的数量罢了，所以相应的结果是打击出更多数量的电子。一切在突然之间，显得顺理成章起来。

爱因斯坦写道：“……根据这种假设，从一点所发出的光线在不断扩大的空间中的传播时，它的能量不是连续分布的，而是由一些数目有限的，局限于空间中某个地点的“能量子”（energy quanta）所组成的。这些能量子是不可分割的，它们只能整份地被吸收或发射。”

组成光的能量的这种最小的基本单位，爱因斯坦后来把它们叫做“光量子”（light quanta）。一直到了1926年，美国物理学家刘易斯（G.N.Lewis）才把它换成了今天常用的名词，叫做“光子”（photon）。

从光量子的角度出发，一切变得非常简明易懂了。频率更高的光线，比如紫外光，它的单个量子要比频率低的光线含有更高的能量（E = hν），因此当它的量子作用到金属表面的时候，就能够激发出拥有更多动能的电子来。而量子的能量和光线的强度没有关系，强光只不过包含了更多数量的光量子而已，所以能够激发出更多数量的电子来。但是对于低频光来说，它的每一个量子都不足以激发出电子，那么，含有再多的光量子也无济于事。

我们把光电效应想象成一场有着高昂入场费的拍卖。每个量子是一个顾客，它所携带的能量相当于一个人拥有的资金。要进入拍卖现场，每个人必须先缴纳一定数量的入场费，而在会场内，一个人只能买一件物品。

一个光量子打击到金属表面的时候，如果它带的钱足够（能量足够高），它便有资格进入拍卖现场（能够打击出电子来）。至于它能够买到多好的物品（激发出多高能量的电子），那要取决于它付了入场费后还剩下多少钱（剩余多少能量）。频率越高，代表了一个人的钱越多，像紫外线这样的大款，可以在轻易付清入场费后还买的起非常贵的货物，而频率低一点的光线就没那么阔绰了。

但是，一个人有多少资金，这和一个“代表团”能够买到多少物品是没有关系的。能够买到多少数量的东西，这只和“代表团”的人数有关系（光的强度），而和每一个人有多少钱（光的频率）没关系。如果我有一个500人的代表团，每个人都有足够的钱入场，那么我就能买到500样货品回来，而你一个人再有钱，你也只能买一样东西（因为一个人只能买一样物品，规矩就是这样的）。至于买到的东西有多好，那是另一回事情。话又说回来，假如你一个代表团里每个人的钱太少，以致付不起入场费，那哪怕你人数再多，也是一样东西都买不到的，因为规矩是你只能以个人的身份入场，没有连续性和积累性，大家的钱不能凑在一起用。

爱因斯坦推导出的方程和我们的拍卖是一个意思：

1/2 mv^2 = hν– P

1/2 mv^2是激发出电子的最大动能，也就是我们说的，能买到“多好”的货物。hν是单个量子的能量，也就是你总共有多少钱。P是激发出电子所需要的最小能量，也就是“入场费”。所以这个方程告诉我们的其实很简单：你能买到多好的货物取决于你的总资金减掉入场费用。

这里面关键的假设就是：光以量子的形式吸收能量，没有连续性，不能累积。一个量子激发出一个对应的电子。于是实验揭示出来的效应的瞬时性难题也迎刃而解：量子作用本来就是瞬时作用，没有积累的说法。

但是，大家从这里面嗅到了些什么没有？光量子，光子，光究竟是一种什么东西呢？难道我们不是已经清楚地下了结论，光是一种波动吗？光量子是一个什么概念呢？

仿佛宿命一般，历史在转了一个大圈之后，又回到起点。关于光的本性问题，干戈再起，“第三次微波战争”一触即发。而这次，导致的后果是全面的世界大战，天翻地覆，一切在毁灭后才得到重生。


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饭后闲话：奇迹年

如果站在一个比较高的角度来看历史，一切事物都是遵循特定的轨迹的，没有无缘无故的事情，也没有不合常理的发展。在时代浪尖里弄潮的英雄人物，其实都只是适合了那个时代的基本要求，这才得到了属于他们的无上荣耀。

但是，如果站在庐山之中，把我们的目光投射到具体的那个情景中去，我们也能够理解一个伟大人物为时代所带来的光荣和进步。虽然不能说，失去了这些伟大人物，人类的发展就会走向歧途，但是也不能否认英雄和天才们为这个世界所作出的巨大贡献。

在科学史上，就更是这样。整个科学史可以说就是以天才的名字来点缀的灿烂银河，而有几颗特别明亮的星辰，它们所发射出的光芒穿越了整个宇宙，一直到达时空的尽头。他们的智慧在某一个时期散发出如此绚烂的辉煌，令人叹为观止。一直到今天，我们都无法找出更加适合的字句来加以形容，而只能冠以“奇迹”的名字。

科学史上有两个年份，便符合“奇迹”的称谓，而它们又是和两个天才的名字紧紧相连的。这两年分别是1666年和1905年，那两个天才便是牛顿和爱因斯坦。

1666年，23岁的牛顿为了躲避瘟疫，回到乡下的老家度假。在那段日子里，他一个人独立完成了几项开天辟地的工作，包括发明了微积分（流数），完成了光分解的实验分析，以及万有引力的开创性工作。在那一年，他为数学、力学和光学三大学科分别打下了基础，而其中的任何一项工作，都足以让他名列有史以来最伟大的科学家之列。很难想象，一个人的思维何以能够在如此短的时间内涌动出如此多的灵感，人们只能用一个拉丁文annus mirabilis来表示这一年，也就是“奇迹年”（当然，有人会争论说1667年其实也是奇迹年）。

1905年的爱因斯坦也是这样。在专利局里蜗居的他在这一年发表了6篇论文，3月18日，是我们上面提到过的关于光电效应的文章，这成为了量子论的奠基石之一。4月30日，发表了关于测量分子大小的论文，这为他赢得了博士学位。5月11日和后来的12月19日，两篇关于布朗运动的论文，成了分子论的里程碑。6月30日，发表题为《论运动物体的电动力学》的论文，这个不起眼的题目后来被加上了一个如雷贯耳的名称，叫做“狭义相对论”，它的意义就不用我多说了。9月27日，关于物体惯性和能量的关系，这是狭义相对论的进一步说明，并且在其中提出了著名的质能方程E=mc2。

单单这一年的工作，便至少配得上3个诺贝尔奖。相对论的意义是否是诺贝尔奖所能评价的，还难说得很。而这一切也不过是在专利局的办公室里，一个人用纸和笔完成的而已。的确很难想象，这样的奇迹还会不会再次发生，因为实在是太过于不可思议了。在科学高度细化的今天，已经无法想象，一个人能够在如此短时间内作出如此巨大的贡献。100年前的庞加莱已经被称为数学界的“最后一位全才”，而爱因斯坦的相对论，也可能是最后一个富有个人英雄主义传奇色彩的理论了吧？这是我们的幸运，还是不幸呢？

五

1912年8月1日，玻尔和玛格丽特在离哥本哈根不远的一个小镇上结婚，随后他们前往英国展开蜜月。当然，有一个人是万万不能忘记拜访的，那就是玻尔家最好的朋友之一，卢瑟福教授。

虽然是在蜜月期，原子和量子的图景仍然没有从玻尔的脑海中消失。他和卢瑟福就此再一次认真地交换了看法，并加深了自己的信念。回到丹麦后，他便以百分之二百的热情投入到这一工作中去。揭开原子内部的奥秘，这一梦想具有太大的诱惑力，令玻尔完全无法抗拒。

为了能使大家跟得上我们史话的步伐，我们还是再次描述一下当时玻尔面临的处境。卢瑟福的实验展示了一个全新的原子面貌：有一个致密的核心处在原子的中央，而电子则绕着这个中心运行，像是围绕着太阳的行星。然而，这个模型面临着严重的理论困难，因为经典电磁理论预言，这样的体系将会无可避免地释放出辐射能量，并最终导致体系的崩溃。换句话说，卢瑟福的原子是不可能稳定存在超过1秒钟的。

玻尔面临着选择，要么放弃卢瑟福模型，要么放弃麦克斯韦和他的伟大理论。玻尔勇气十足地选择了放弃后者。他以一种深刻的洞察力预见到，在原子这样小的层次上，经典理论将不再成立，新的革命性思想必须被引入，这个思想就是普朗克的量子以及他的h常数。

应当说这是一个相当困难的任务。如何推翻麦氏理论还在其次，关键是新理论要能够完美地解释原子的一切行为。玻尔在哥本哈根埋头苦干的那个年头，门捷列夫的元素周期律已经被发现了很久，化学键理论也已经被牢固地建立。种种迹象都表明在原子内部，有一种潜在的规律支配着它们的行为，并形成某种特定的模式。原子世界像一座蕴藏了无穷财宝的金字塔，但如何找到进入其内部的通道，却是一个让人挠头不已的难题。

然而，像当年的贝尔佐尼一样，玻尔也有着一个探险家所具备的最宝贵的素质：洞察力和直觉，这使得他能够抓住那个不起眼，但却是唯一的，稍纵即逝的线索，从而打开那扇通往全新世界的大门。1913年初，年轻的丹麦人汉森（Hans Marius Hansen）请教玻尔，在他那量子化的原子模型里如何解释原子的光谱线问题。对于这个问题，玻尔之前并没有太多地考虑过，原子光谱对他来说是陌生和复杂的，成千条谱线和种种奇怪的效应在他看来太杂乱无章，似乎不能从中得出什么有用的信息。然而汉森告诉玻尔，这里面其实是有规律的，比如巴尔末公式就是。他敦促玻尔关心一下巴尔末的工作。

突然间，就像伊翁（Ion）发现了藏在箱子里的绘着戈耳工的麻布，一切都豁然开朗。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。在谁也没有想到的地方，量子得到了决定性的突破。1954年，玻尔回忆道：当我一看见巴尔末的公式，一切就都清楚不过了。

要从头回顾光谱学的发展，又得从伟大的本生和基尔霍夫说起，而那势必又是一篇规模宏大的文字。鉴于篇幅，我们只需要简单地了解一下这方面的背景知识，因为本史话原来也没有打算把方方面面都事无巨细地描述完全。概括来说，当时的人们已经知道，任何元素在被加热时都会释放出含有特定波长的光线，比如我们从中学的焰色实验中知道，钠盐放射出明亮的黄光，钾盐则呈紫色，锂是红色，铜是绿色……等等。将这些光线通过分光镜投射到屏幕上，便得到光谱线。各种元素在光谱里一览无余：钠总是表现为一对黄线，锂产生一条明亮的红线和一条较暗的橙线，钾则是一条紫线。总而言之，任何元素都产生特定的唯一谱线。

但是，这些谱线呈现什么规律以及为什么会有这些规律，却是一个大难题。拿氢原子的谱线来说吧，这是最简单的原子谱线了。它就呈现为一组线段，每一条线都代表了一个特定的波长。比如在可见光区间内，氢原子的光谱线依次为：656，484，434，410，397，388，383，380……纳米。这些数据无疑不是杂乱无章的，1885年，瑞士的一位数学教师巴尔末（Johann Balmer）发现了其中的规律，并总结了一个公式来表示这些波长之间的关系，这就是著名的巴尔末公式。将它的原始形式稍微变换一下，用波长的倒数来表示，则显得更加简单明了：

ν＝R（1/2^2 - 1/n^2）

其中的R是一个常数，称为里德伯（Rydberg）常数，n是大于2的正整数（3，4，5……等等）。

在很长一段时间里，这是一个十分有用的经验公式。但没有人可以说明，这个公式背后的意义是什么，以及如何从基本理论将它推导出来。但是在玻尔眼里，这无疑是一个晴天霹雳，它像一个火花，瞬间点燃了玻尔的灵感，所有的疑惑在那一刻变得顺理成章了，玻尔知道，隐藏在原子里的秘密，终于向他嫣然展开笑颜。

我们来看一下巴耳末公式，这里面用到了一个变量n，那是大于2的任何正整数。n可以等于3，可以等于4，但不能等于3.5，这无疑是一种量子化的表述。玻尔深呼了一口气，他的大脑在急速地运转，原子只能放射出波长符合某种量子规律的辐射，这说明了什么呢？我们回忆一下从普朗克引出的那个经典量子公式：E = hν。频率（波长）是能量的量度，原子只释放特定波长的辐射，说明在原子内部，它只能以特定的量吸收或发射能量。而原子怎么会吸收或者释放能量的呢？这在当时已经有了一定的认识，比如斯塔克（J.Stark）就提出，光谱的谱线是由电子在不同势能的位置之间移动而放射出来的，英国人尼科尔森（J.W.Nicholson）也有着类似的想法。玻尔对这些工作无疑都是了解的。

一个大胆的想法在玻尔的脑中浮现出来：原子内部只能释放特定量的能量，说明电子只能在特定的“势能位置”之间转换。也就是说，电子只能按照某些“确定的”轨道运行，这些轨道，必须符合一定的势能条件，从而使得电子在这些轨道间跃迁时，只能释放出符合巴耳末公式的能量来。

我们可以这样来打比方。如果你在中学里好好地听讲过物理课，你应该知道势能的转化。一个体重100公斤的人从1米高的台阶上跳下来，他/她会获得1000焦耳的能量，当然，这些能量会转化为落下时的动能。但如果情况是这样的，我们通过某种方法得知，一个体重100公斤的人跳下了若干级高度相同的台阶后，总共释放出了1000焦耳的能量，那么我们关于每一级台阶的高度可以说些什么呢？

明显而直接的计算就是，这个人总共下落了1米，这就为我们台阶的高度加上了一个严格的限制。如果在平时，我们会承认，一个台阶可以有任意的高度，完全看建造者的兴趣而已。但如果加上了我们的这个条件，每一级台阶的高度就不再是任意的了。我们可以假设，总共只有一级台阶，那么它的高度就是1米。或者这个人总共跳了两级台阶，那么每级台阶的高度是0.5米。如果跳了3次，那么每级就是1/3米。如果你是间谍片的爱好者，那么大概你会推测每级台阶高1/39米。但是无论如何，我们不可能得到这样的结论，即每级台阶高0.6米。道理是明显的：高0.6米的台阶不符合我们的观测（总共释放了1000焦耳能量）。如果只有一级这样的台阶，那么它带来的能量就不够，如果有两级，那么总高度就达到了1.2米，导致释放的能量超过了观测值。如果要符合我们的观测，那么必须假定总共有一又三分之二级台阶，而这无疑是荒谬的，因为小孩子都知道，台阶只能有整数级。

在这里，台阶数“必须”是整数，就是我们的量子化条件。这个条件就限制了每级台阶的高度只能是1米，或者1/2米，而不能是这其间的任何一个数字。

原子和电子的故事在道理上基本和这个差不多。我们还记得，在卢瑟福模型里，电子像行星一样绕着原子核打转。当电子离核最近的时候，它的能量最低，可以看成是在“平地”上的状态。但是，一旦电子获得了特定的能量，它就获得了动力，向上“攀登”一个或几个台阶，到达一个新的轨道。当然，如果没有了能量的补充，它又将从那个高处的轨道上掉落下来，一直回到“平地”状态为止，同时把当初的能量再次以辐射的形式释放出来。

关键是，我们现在知道，在这一过程中，电子只能释放或吸收特定的能量（由光谱的巴尔末公式给出），而不是连续不断的。玻尔做出了合理的推断：这说明电子所攀登的“台阶”，它们必须符合一定的高度条件，而不能像经典理论所假设的那样，是连续而任意的。连续性被破坏，量子化条件必须成为原子理论的主宰。

我们不得不再一次用到量子公式E = hν，还请各位多多包涵。史蒂芬•霍金在他那畅销书《时间简史》的Acknowledgements里面说，插入任何一个数学公式都会使作品的销量减半，所以他考虑再三，只用了一个公式E = mc2。我们的史话本是戏作，也不考虑那么多，但就算列出公式，也不强求各位看客理解其数学意义。唯有这个E = hν，笔者觉得还是有必要清楚它的含义，这对于整部史话的理解也是有好处的，从科学意义上来说，它也决不亚于爱因斯坦的那个E = mc2。所以还是不厌其烦地重复一下这个方程的描述：E代表能量，h是普朗克常数，ν是频率。

回到正题，玻尔现在清楚了，氢原子的光谱线代表了电子从一个特定的台阶跳跃到另外一个台阶所释放的能量。因为观测到的光谱线是量子化的，所以电子的“台阶”（或者轨道）必定也是量子化的，它不能连续而取任意值，而必须分成“底楼”，“一楼”，“二楼”等，在两层“楼”之间，是电子的禁区，它不可能出现在那里。正如一个人不能悬在两级台阶之间漂浮一样。如果现在电子在“三楼”，它的能量用W3表示，那么当这个电子突发奇想，决定跳到“一楼”（能量W1）的期间，它便释放出了W3-W1的能量。我们要求大家记住的那个公式再一次发挥作用，W3-W1 = hν。所以这一举动的直接结果就是，一条频率为ν的谱线出现在该原子的光谱上。

玻尔所有的这些思想，转化成理论推导和数学表达，并以三篇论文的形式最终发表。这三篇论文（或者也可以说，一篇大论文的三个部分），分别题名为《论原子和分子的构造》（On the Constitution of Atoms and Molecules），《单原子核体系》（Systems Containing Only a Single Nucleus）和《多原子核体系》（Systems Containing Several Nuclei），于1913年3月到9月陆续寄给了远在曼彻斯特的卢瑟福，并由后者推荐发表在《哲学杂志》（Philosophical Magazine）上。这就是在量子物理历史上划时代的文献，亦即伟大的“三部曲”。

这确确实实是一个新时代的到来。如果把量子力学的发展史分为三部分，1900年的普朗克宣告了量子的诞生，那么1913年的玻尔则宣告了它进入了青年时代。一个完整的关于量子的理论体系第一次被建造起来，虽然我们将会看到，这个体系还留有浓重的旧世界的痕迹，但它的意义却是无论如何不能低估的。量子第一次使全世界震惊于它的力量，虽然它的意识还有一半仍在沉睡中，虽然它自己仍然置身于旧的物理大厦之内，但它的怒吼已经无疑地使整个旧世界摇摇欲坠，并动摇了延绵几百年的经典物理根基。神话中的巨人已经开始苏醒，那些藏在古老城堡里的贵族们，颤抖吧！

(第三章完)

第四章 白云深处

一

应该说，玻尔关于原子结构的新理论出台后，是并不怎么受到物理学家们的欢迎的。这个理论，在某些人的眼中，居然怀有推翻麦克斯韦体系的狂妄意图，本身就是大逆不道的。瑞利爵士（我们前面提到过的瑞利-金斯线的发现者之一）对此表现得完全不感兴趣，J.J.汤姆逊，玻尔在剑桥的导师，拒绝对此发表评论。另一些不那么德高望重的人就直白多了，比如一位物理学家在课堂上宣布：“如果这些要用量子力学才能解释的话，那么我情愿不予解释。”另一些人则声称，要是量子模型居然是真实的话，他们从此退出物理学界。即使是思想开放的人，比如爱因斯坦和波恩，最初也觉得完全接受这一理论太勉强了一些。

但是量子的力量超乎任何人的想象。胜利来得如此之快之迅猛，令玻尔本人都几乎茫然而不知所措。首先，玻尔的推导完全符合巴耳末公式所描述的氢原子谱线，而从W2-W1 = hν这个公式，我们可以倒过来推算ν的表述，从而和巴耳末的原始公式ν＝R（1/2^2 - 1/n^2）对比，计算出里德伯常数R的理论值来。而事实上，玻尔理论的预言和实验值仅相差千分之一，这无疑使得他的理论顿时具有了坚实的基础。

不仅如此，玻尔的模型更预测了一些新的谱线的存在，这些预言都很快为实验物理学家们所证实。而在所谓“皮克林线系”（Pickering line series）的争论中，玻尔更是以强有力的证据取得了决定性的胜利。他的原子体系异常精确地说明了一些氦离子的光谱，准确性相比旧的方程，达到了令人惊叹的地步。而亨利•莫斯里（我们前面提到过的年轻天才，可惜死在战场上的那位）关于X射线的工作，则进一步证实了原子有核模型的正确。人们现在已经知道，原子的化学性质，取决于它的核电荷数，而不是传统认为的原子量。基于玻尔理论的电子壳层模型，也一步一步发展起来。只有几个小困难需要解决，比如人们发现，氢原子的光谱并非一根线，而是可以分裂成许多谱线。这些效应在电磁场的参予下又变得更为古怪和明显（关于这些现象，人们用所谓的“斯塔克效应”和“塞曼效应”来描述）。但是玻尔体系很快就予以了强有力的回击，在争取到爱因斯坦相对论的同盟军以及假设电子具有更多的自由度（量子数）的条件下，玻尔和别的一些科学家如索末菲（A.Sommerfeld）证明，所有的这些现象，都可以顺利地包容在玻尔的量子体系之内。虽然残酷的世界大战已经爆发，但是这丝毫也没有阻挡科学在那个时期前进的伟大步伐。

每一天，新的报告和实验证据都如同雪花一样飞到玻尔的办公桌上。而几乎每一份报告，都在进一步地证实玻尔那量子模型的正确性。当然，伴随着这些报告，铺天盖地而来的还有来自社会各界的祝贺，社交邀请以及各种大学的聘书。玻尔俨然已经成为原子物理方面的带头人。出于对祖国的责任感，他拒绝了卢瑟福为他介绍的在曼彻斯特的职位，虽然无论从财政还是学术上说，那无疑是一个更好的选择。玻尔现在是哥本哈根大学的教授，并决定建造一所专门的研究所以用作理论物理方面的进一步研究。这个研究所，正如我们以后将要看到的那样，将会成为欧洲一颗令人瞩目的明珠，它的光芒将吸引全欧洲最出色的年轻人到此聚集，并发射出更加璀璨的思想光辉。

在这里，我们不妨还是回顾一下玻尔模型的一些基本特点。它基本上是卢瑟福行星模型的一个延续，但是在玻尔模型中，一系列的量子化条件被引入，从而使这个体系有着鲜明的量子化特点。

首先，玻尔假设，电子在围绕原子核运转时，只能处于一些“特定的”能量状态中。这些能量状态是不连续的，称为定态。你可以有E1，可以有E2，但是不能取E1和E2之间的任何数值。正如我们已经描述过的那样，电子只能处于一个定态中，两个定态之间没有缓冲地带，那里是电子的禁区，电子无法出现在那里。

但是，玻尔允许电子在不同的能量态之间转换，或者说，跃迁。电子从能量高的E2状态跃迁到E1状态，就放射出E2-E1的能量来，这些能量以辐射的方式释放，根据我们的基本公式，我们知道这辐射的频率为ν，从而使得E2-E1 = hν。反过来，当电子吸收了能量，它也可以从能量低的状态攀升到一个能量较高的状态，其关系还是符合我们的公式。我们必须注意，这种能量的跃迁是一个量子化的行为，如果电子从E2跃迁到E1，这并不表示，电子在这一过程中经历了E2和E1两个能量之间的任何状态。如果你还是觉得困惑，那表示连续性的幽灵还在你的脑海中盘旋。事实上，量子像一个高超的魔术师，它在舞台的一端微笑着挥舞着帽子登场，转眼间便出现在舞台的另一边。而在任何时候，它也没有经过舞台的中央部分！

每一个可能的能级，都代表了一个电子的运行轨道，这就好比离地面500公里的卫星和离地面800公里的卫星代表了不同的势能一样。当电子既不放射也不吸收能量的时候，它就稳定地在一条轨道上运动。当它吸收了一定的能量，它就从原先的那个轨道消失，神秘地出现在离核较远的一条能量更高的轨道上。反过来，当它绝望地向着核坠落，就放射出它在高能轨道上所搜刮的能量来。

人们很快就发现，一个原子的化学性质，主要取决于它最外层的电子数量，并由此表现出有规律的周期性来。但是人们也曾经十分疑惑，那就是对于拥有众多电子的重元素来说，为什么它的一些电子能够长期地占据外层的电子轨道，而不会失去能量落到靠近原子核的低层轨道上去。这个疑问由年轻的泡利在1925年做出了解答：他发现，没有两个电子能够享有同样的状态，而一层轨道所能够包容的不同状态，其数目是有限的，也就是说，一个轨道有着一定的容量。当电子填满了一个轨道后，其他电子便无法再加入到这个轨道中来。

一个原子就像一幢宿舍，每间房间都有一个四位数的门牌号码。底楼只有两间房间，分别是1001和1002。而二楼则有8间房间，门牌分别是2001，2002，2101，2102，2111，2112，2121和2122。越是高层的楼，它的房间数量就越多。脾气暴躁的管理员泡利在大门口张贴了一张布告，宣布没有两个电子房客可以入住同一间房屋。于是电子们争先恐后地涌入这幢大厦，先到的两位占据了底楼那两个价廉物美的房间，后来者因为底楼已经住满，便不得不退而求其次，开始填充二楼的房间。二楼住满后，又轮到三楼、四楼……一直到租金离谱的六楼、七楼、八楼。不幸住在高处的电子虽然入不敷出，却没有办法，因为楼下都住满了人，没法搬走。叫苦不迭的他们把泡利那蛮横的规定称作“不相容原理”。

但是，这一措施的确能够更好地帮助人们理解“化学社会”的一些基本行为准则。比如说，喜欢合群的电子们总是试图让一层楼的每个房间都住满房客。我们设想一座“钠大厦”，在它的三楼，只有一位孤零零的房客住在3001房。而在相邻的“氯大厦”的三楼，则正好只有一间空房没人入主（3122）。出于电子对热闹的向往，钠大厦的那位孤独者顺理成章地决定搬迁到氯大厦中去填满那个空白的房间，而他也受到了那里房客们的热烈欢迎。这一举动也促成了两座大厦的联谊，形成了一个“食盐社区”。而在某些高层大厦里，由于空房间太多，没法找到足够的孤独者来填满一层楼，那么，即使仅仅填满一个侧翼（wing），电子们也表示满意。

所有的这一切，当然都是形象化和笼统的说法。实际情况要复杂得多，比如每一层楼的房间还因为设施的不同分成好几个等级。越高越贵也不是一个普遍原则，比如六楼的一间总统套房就很可能比七楼的普通间贵上许多。但这都不是问题，关键在于，玻尔的电子轨道模型非常有说服力地解释了原子的性质和行为，它的预言和实验结果基本上吻合得丝丝入扣。在不到两年的时间里，玻尔理论便取得了辉煌的胜利，全世界的物理学家们都开始接受玻尔模型。甚至我们的那位顽固派——拒绝承认量子实际意义的普朗克——也开始重新审视自己当初那伟大的发现。

玻尔理论的成就是巨大的，而且非常地深入人心，他本人为此在1922年获得了诺贝尔奖金。但是，这仍然不能解决它和旧体系之间的深刻矛盾。麦克斯韦的方程可不管玻尔轨道的成功与否，它仍然还是要说，一个电子围绕着原子核运动，必定释放出电磁辐射来。对此玻尔也感到深深的无奈，他还没有这个能力去推翻整个经典电磁体系，用一句流行的话来说，“封建残余力量还很强大哪”。作为妥协，玻尔转头试图将他的原子体系和麦氏理论调和起来，建立一种两种理论之间的联系。他力图向世人证明，两种体系都是正确的，但都只在各自适用的范围内才能成立。当我们的眼光从原子范围逐渐扩大到平常的世界时，量子效应便逐渐消失，经典的电磁论得以再次取代h常数成为世界的主宰。在这个过程中，无论何时，两种体系都存在着一个确定的对应状态。这就是他在1918年发表的所谓“对应原理”。

对应原理本身具有着丰富的含义，直到今天还对我们有着借鉴意义。但是也无可否认，这种与经典体系“暧昧不清”的关系是玻尔理论的一个致命的先天不足。他引导的是一场不彻底的革命，虽然以革命者的面貌出现，却最终还要依赖于传统势力的支持。玻尔的量子还只能靠着经典体系的力量行动，它的自我意识仍在深深沉睡之中而没有苏醒。当然，尽管如此，它的成就已经令世人惊叹不已，可这并不能避免它即将在不久的未来，拖曳着长长的尾光坠落到地平线的另一边去，成为一颗一闪而逝的流星。

当然了，这样一个具有伟大意义的理论居然享寿如此之短，这只说明一件事：科学在那段日子里的前进步伐不是我们所能够想象的。那是一段可遇不可求的岁月，理论物理的黄金年代。如今回首，只有皓月清风，伴随大江东去。


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饭后闲话：原子和星系

卢瑟福的模型一出世，便被称为“行星模型”或者“太阳系模型”。这当然是一种形象化的叫法，但不可否认，原子这个极小的体系和太阳系这个极大的体系之间居然的确存在着许多相似之处。两者都有一个核心，这个核心占据着微不足道的体积（相对整个体系来说），却集中了99％以上的质量和角动量。人们不禁要联想，难道原子本身是一个“小宇宙”？或者，我们的宇宙，是由千千万万个“小宇宙”所组成的，而它反过来又和千千万万个别的宇宙组成更大的“宇宙”？这令人想起威廉•布莱克（William Blake）那首著名的小诗：

To see a world in a grain of sand. *从一粒沙看见世界
And a heaven in a wild flower *从一朵花知道天宸
Hold infinity in the palm of your hand *用一只手把握无限
And eternity in an hour *用一刹那留住永恒

我们是不是可以“从一粒沙看见世界”呢？原子和太阳系的类比不能给我们太多的启迪，因为行星之间的实际距离相对电子来说，可要远的多了（当然是从比例上讲）。但是，最近有科学家提出，宇宙的确在不同的尺度上，有着惊人的重复性结构。比如原子和银河系的类比，原子和中子星的类比，它们都在各个方面——比如半径、周期、振动等——展现出了十分相似的地方。如果你把一个原子放大10^17倍，它所表现出来的性质就和一个白矮星差不多。如果放大10^30倍，据信，那就相当于一个银河系。当然，相当于并不是说完全等于，我的意思是，如果原子体系放大10^30倍，它的各种力学和结构常数就非常接近于我们观测到的银河系。还有人提出，原子应该在高能情况下类比于同样在高能情况下的太阳系。也就是说，原子必须处在非常高的激发态下（大约主量子数达到几百），那时，它的各种结构就相当接近我们的太阳系。

这种观点，即宇宙在各个层次上展现出相似的结构，被称为“分形宇宙”（Fractal Universe）模型。在它看来，哪怕是一个原子，也包含了整个宇宙的某些信息，是一个宇宙的“全息胚”。所谓的“分形”，是混沌动力学里研究的一个饶有兴味的课题，它给我们展现了复杂结构是如何在不同的层面上一再重复。宇宙的演化，是否也遵从某种混沌动力学原则，如今还不得而知，所谓的“分形宇宙”也只是一家之言罢了。这里当作趣味故事，博大家一笑而已。

二

曾几何时，玻尔理论的兴起为整个阴暗的物理天空带来了绚丽的光辉，让人们以为看见了极乐世界的美景。不幸地是，这一虚假的泡沫式繁荣没能持续太多的时候。旧的物理世界固然已经在种种冲击下变得疮痍满目，玻尔原子模型那宏伟的宫殿也没能抵挡住更猛烈的革命冲击，在混乱中被付之一炬，只留下些断瓦残垣，到今日供我们凭吊。最初的暴雨已经过去，大地一片苍凉，天空中仍然浓云密布。残阳似血，在天际投射出余辉，把这废墟染成金红一片，衬托出一种更为沉重的气氛，预示着更大的一场风暴的来临。

玻尔王朝的衰败似乎在它诞生的那一天就注定了。这个理论，虽然借用了新生量子的无穷力量，它的基础却仍然建立在脆弱的旧地基上。量子化的思想，在玻尔理论里只是一支雇佣军，它更像是被强迫附加上去的，而不是整个理论的出发点和基础。比如，玻尔假设，电子只能具有量子化的能级和轨道，但为什么呢？为什么电子必须是量子化的？它的理论基础是什么呢？玻尔在这上面语焉不详，顾左右而言他。当然，苛刻的经验主义者会争辩说，电子之所以是量子化的，因为实验观测到它们就是量子化的，不需要任何其他的理由。但无论如何，如果一个理论的基本公设令人觉得不太安稳，这个理论的前景也就不那么乐观了。在对待玻尔量子假设的态度上，科学家无疑地联想起了欧几里德的第五公设（这个公理说，过线外一点只能有一条直线与已知直线平行。人们后来证明这个公理并不是十分可靠的）。无疑，它最好能够从一些更为基本的公理所导出，这些更基本的公理，应该成为整个理论的奠基石，而不仅仅是华丽的装饰。

后来的历史学家们在评论玻尔的理论时，总是会用到“半经典半量子”，或者“旧瓶装新酒”之类的词语。它就像一位变脸大师，当电子围绕着单一轨道运转时，它表现出经典力学的面孔，一旦发生轨道变化，立即又转为量子化的样子。虽然有着技巧高超的对应原理的支持，这种两面派做法也还是为人所质疑。不过，这些问题还都不是关键，关键是，玻尔大军在取得一连串重大胜利后，终于发现自己已经到了强弩之末，有一些坚固的堡垒，无论如何是攻不下来的了。

比如我们都已经知道的原子谱线分裂的问题，虽然在索末菲等人的努力下，玻尔模型解释了磁场下的塞曼效应和电场下的斯塔克效应。但是，大自然总是有无穷的变化令人头痛。科学家们不久就发现了谱线在弱磁场下的一种复杂分裂，称作“反常塞曼效应”。这种现象要求引进值为1/2的量子数，玻尔的理论对之无可奈何，一声叹息。这个难题困扰着许多的科学家，简直令他们寝食难安。据说，泡利在访问玻尔家时，就曾经对玻尔夫人的问好回以暴躁的抱怨：“我当然不好！我不能理解反常塞曼效应！”这个问题，一直要到泡利提出他的不相容原理后，才算最终解决。

另外玻尔理论沮丧地发现，自己的力量仅限于只有一个电子的原子模型。对于氢原子，氘原子，或者电离的氦原子来说，它给出的说法是令人信服的。但对于哪怕只有两个核外电子的普通氦原子，它就表现得无能为力。甚至对于一个电子的原子来说，玻尔能够说清的，也只不过是谱线的频率罢了，至于谱线的强度、宽度或者偏振问题，玻尔还是只能耸耸肩，以他那大舌头的口音说声抱歉。

在氢分子的战场上，玻尔理论同样战败。

为了解决所有的这些困难，玻尔、兰德（Lande）、泡利、克莱默（Kramers）等人做了大量的努力，引进了一个又一个新的假定，建立了一个又一个新的模型，有些甚至违反了玻尔和索末菲的理论本身。到了1923年，惨淡经营的玻尔理论虽然勉强还算能解决问题，并获得了人们的普遍认同，它已经像一件打满了补丁的袍子，需要从根本上予以一次彻底变革了。哥廷根的那帮充满朝气的年轻人开始拒绝这个补丁累累的系统，希望重新寻求一个更强大、完美的理论，从而把量子的思想从本质上植根到物理学里面去，以结束像现在这样苟且的寄居生活。

玻尔体系的衰落和它的兴盛一样迅猛。越来越多的人开始关注原子世界，并做出了更多的实验观测。每一天，人们都可以拿到新的资料，刺激他们的热情，去揭开这个神秘王国的面貌。在哥本哈根和哥廷根，物理天才们兴致勃勃地谈论着原子核、电子和量子，一页页写满了公式和字母的手稿承载着灵感和创意，交织成一个大时代到来的序幕。青山遮不住，毕竟东流去。时代的步伐迈得如此之快，使得脚步蹒跚的玻尔原子终于力不从心，从历史舞台中退出，消失在漫漫黄尘中，只留下一个名字让我们时时回味。

如果把1925年－1926年间海森堡（Werner Heisenberg）和薛定谔（Erwin Schrodinger）的开创性工作视为玻尔体系的寿终正寝的话，这个理论总共大约兴盛了13年。它让人们看到了量子在物理世界里的伟大意义，并第一次利用它的力量去揭开原子内部的神秘面纱。然而，正如我们已经看到的那样，玻尔的革命是一次不彻底的革命，量子的假设没有在他的体系里得到根本的地位，而似乎只是一个调和经典理论和现实矛盾的附庸。玻尔理论没法解释，为什么电子有着离散的能级和量子化的行为，它只知其然，而不知其所以然。玻尔在量子论和经典理论之间采取了折衷主义的路线，这使得他的原子总是带着一种半新不旧的色彩，最终因为无法克服的困难而崩溃。玻尔的有轨原子像一颗耀眼的火流星，放射出那样强烈的光芒，却在转眼间划过夜空，复又坠落到黑暗和混沌中去。它是那样地来去匆匆，以致人们都还来不及在衣带上打一个结，许一些美丽的愿望。

但是，它的伟大意义却不因为其短暂的生命而有任何的褪色。是它挖掘出了量子的力量，为未来的开拓者铺平了道路。是它承前启后，有力地推动了整个物理学的脚步。玻尔模型至今仍然是相当好的近似，它的一些思想仍然为今人所借鉴和学习。它描绘的原子图景虽然过时，但却是如此形象而生动，直到今天仍然是大众心中的标准样式，甚至代表了科学的形象。比如我们应该能够回忆，直到80年代末，在中国的大街上还是随处可见那个代表了“科学”的图形：三个电子沿着椭圆轨道围绕着原子核运行。这个图案到了90年代终于消失了，想来总算有人意识到了问题。

在玻尔体系内部，也已经蕴藏了随机性和确定性的矛盾。就玻尔理论而言，如何判断一个电子在何时何地发生自动跃迁是不可能的，它更像是一个随机的过程。1919年，应普朗克的邀请，玻尔访问了战后的柏林。在那里，普朗克和爱因斯坦热情地接待了他，量子力学的三大巨头就几个物理问题展开了讨论。玻尔认为，电子在轨道间的跃迁似乎是不可预测的，是一个自发的随机过程，至少从理论上说没办法算出一个电子具体的跃迁条件。爱因斯坦大摇其头，认为任何物理过程都是确定和可预测的。这已经埋下了两人日后那场旷日持久争论的种子。

当然，我们可敬的尼尔斯•玻尔先生也不会因为旧量子论的垮台而退出物理舞台。正相反，关于他的精彩故事才刚刚开始。他还要在物理的第一线战斗很长时间，直到逝世为止。1921年9月，玻尔在哥本哈根的研究所终于落成，36岁的玻尔成为了这个所的所长。他的人格魅力很快就像磁场一样吸引了各地的才华横溢的年轻人，并很快把这里变成了全欧洲的一个学术中心。赫维西（Georg von Hevesy）、弗里西（Otto Frisch）、泡利、海森堡、莫特（Nevill Mott）、朗道（Lev D.Landau)、盖莫夫（George Gamov）……人们向这里涌来，充分地感受这里的自由气氛和玻尔的关怀，并形成一种富有激情、活力、乐观态度和进取心的学术精神，也就是后人所称道的“哥本哈根精神”。在弹丸小国丹麦，出现了一个物理学界眼中的圣地，这个地方将深远地影响量子力学的未来，还有我们根本的世界观和思维方式。

三

当玻尔的原子还在泥潭中深陷苦于无法自拔的时候，新的革命已经在酝酿之中。这一次，革命者并非来自穷苦的无产阶级大众，而是出自一个显赫的贵族家庭。路易斯•维克托•皮雷•雷蒙•德•布罗意王子（Prince Louis Victor Pierre Raymond de Broglie）将为他那荣耀的家族历史增添一份新的光辉。

“王子”（Prince，也有翻译为“公子”的）这个爵位并非我们通常所理解的，是国王的儿子。事实上在爵位表里，它的排名并不算高，而且似乎不见于英语世界。大致说来，它的地位要比“子爵”（Viscount）略低，而比“男爵”（Baron）略高。不过这只是因为路易斯在家中并非老大而已，德布罗意家族的历史悠久，他的祖先中出了许许多多的将军、元帅、部长，曾经忠诚地在路易十四、路易十五、路易十六的麾下效劳。他们参加过波兰王位继承战争（1733－1735）、奥地利王位继承战争（1740－1748）、七年战争（1756－1763）、美国独立战争（1775－1782）、法国大革命（1789）、二月革命（1848），接受过弗兰西斯二世（Francis II，神圣罗马帝国皇帝，后来退位成为奥地利皇帝弗兰西斯一世）以及路易•腓力（Louis Philippe，法国国王，史称奥尔良公爵）的册封，家族继承着最高世袭身份的头衔：公爵（法文Duc，相当于英语的Duke）。路易斯•德布罗意的哥哥，莫里斯•德布罗意（Maurice de Broglie）便是第六代德布罗意公爵。1960年，当莫里斯去世以后，路易斯终于从他哥哥那里继承了这个光荣称号，成为第七位duc de Broglie。

当然，在那之前，路易斯还是顶着王子的爵号。小路易斯对历史学表现出浓厚的兴趣，他的祖父，Jacques Victor Albert, duc de Broglie，不但是一位政治家，曾于1873－1874年间当过法国总理，同时也是一位出色的历史学家，尤其精于晚罗马史，写出过著作《罗马教廷史》（Histoire de l'église et de l'empire romain）。小路易斯在祖父的熏陶下，决定进入巴黎大学攻读历史。18岁那年（1910），他从大学毕业，然而却没有在历史学领域进行更多的研究，因为他的兴趣已经强烈地转向物理方面。他的哥哥，莫里斯•德布罗意（第六代德布罗意公爵）是一位著名的射线物理学家，路易斯跟随哥哥参加了1911年的布鲁塞尔物理会议，他对科学的热情被完全地激发出来，并立志把一生奉献给这一令人激动的事业。

转投物理后不久，第一次世界大战爆发了。德布罗意应征入伍，被分派了一个无线电技术人员的工作。他比可怜的亨利•莫斯里要幸运许多，能够在大战之后毫发无伤，继续进入大学学他的物理。他的博士导师是著名的保罗•朗之万（Paul Langevin）。

写到这里笔者需要稍停一下做一点声明。我们的史话讲述到现在，虽然已经回顾了一些令人激动的革命和让人大开眼界的新思想（至少笔者希望如此），但总的来说，仍然是在经典世界的领域里徘徊。而且根据本人的印象，至今为止，我们的话题大体还没有超出中学物理课本和高考的范围。对于普通的读者来说，唯一稍感陌生的，可能只是量子的跳跃思想。而接受这一思想，也并不是一件十分困难和不情愿的事情。

然而在这之后，我们将进入一个完完全全的奇幻世界。这个世界光怪陆离，和我们平常所感知认同的那个迥然不同。在这个新世界里，所有的图象和概念都显得疯狂而不理性，显得更像是爱丽丝梦中的奇境，而不是踏踏实实的土地。许多名词是如此古怪，以致只有借助数学工具才能把握它们的真实意义。当然，笔者将一如既往地试图用最浅白的语言将它们表述出来，但是仍然有必要提醒各位做好心理准备。为了表述的方便，我将尽量地把一件事情陈述完全，然后再转换话题。虽然在历史上，所有的这一切都是铺天盖地而来，它们混杂在一起，澎湃汹涌，让人分不出个头绪。在后面的叙述中，我们可能时时要在各个年份间跳来跳去，那些希望把握时间感的读者们应该注意确切的年代。

我们已经站在一个伟大时刻的前沿。新的量子力学很快就要被创建出来，这一次，它的力量完完全全地被施展开来，以致把一切旧事物，包括玻尔那个半新不旧的体系，都摧枯拉朽般地毁灭殆尽。它很快就要为我们揭开一个新世界的大幕，这个新世界，哪怕是稍微往里面瞥上一眼，也足够让人头晕目眩，心驰神摇。但是，既然我们已经站在这里，那就只有义无返顾地前进了。所以跟着我来吧，无数激动人心的事物正在前面等着我们。

我们的话题回到德布罗意身上。他一直在思考一个问题，就是如何能够在玻尔的原子模型里面自然地引进一个周期的概念，以符合观测到的现实。原本，这个条件是强加在电子上面的量子化模式，电子在玻尔的硬性规定下，虽然乖乖听话，总有点不那么心甘情愿的感觉。德布罗意想，是时候把电子解放出来，让它们自己做主了。

如何赋予电子一个基本的性质，让它们自觉地表现出种种周期和量子化现象呢？德布罗意想到了爱因斯坦和他的相对论。他开始这样地推论：根据爱因斯坦那著名的方程，如果电子有质量m，那么它一定有一个内禀的能量E = mc^2。好，让我们再次回忆那个我说过很有用的量子基本方程，E = hν，也就是说，对应这个能量，电子一定会具有一个内禀的频率。这个频率的计算很简单，因为mc^2 = E = hν，所以ν = mc^2/h。

好。电子有一个内在频率。那么频率是什么呢？它是某种振动的周期。那么我们又得出结论，电子内部有某些东西在振动。是什么东西在振动呢？德布罗意借助相对论，开始了他的运算，结果发现……当电子以速度v0前进时，必定伴随着一个速度为c^2/v0的波……

噢，你没有听错。电子在前进时，总是伴随着一个波。细心的读者可能要发出疑问，因为他们发现这个波的速度c^2/v0将比光速还快上许多，但是这不是一个问题。德布罗意证明，这种波不能携带实际的能量和信息，因此并不违反相对论。爱因斯坦只是说，没有一种能量信号的传递能超过光速，对德布罗意的波，他是睁一只眼闭一只眼的。

德布罗意把这种波称为“相波”（phase wave），后人为了纪念他，也称其为“德布罗意波”。计算这个波的波长是容易的，就简单地把上面得出的速度除以它的频率，那么我们就得到：λ= (c^2/v0 ) / ( mc^2/h) = h/mv0。这个叫做德布罗意波长公式。

但是，等等，我们似乎还没有回过神来。我们在谈论一个“波”！可是我们头先明明在讨论电子的问题，怎么突然从电子里冒出了一个波呢？它是从哪里出来的？我希望大家还没有忘记我们可怜的波动和微粒两支军队，在玻尔原子兴盛又衰败的时候，它们一直在苦苦对抗，僵持不下。1923年，德布罗意在求出他的相波之前，正好是康普顿用光子说解释了康普顿效应，从而带领微粒大举反攻后不久。倒霉的微粒不得不因此放弃了全面进攻，因为它们突然发现，在电子这个大后方，居然出现了波动的奸细！而且怎么赶都赶不走。

电子居然是一个波！这未免让人感到太不可思议。可敬的普朗克绅士在这些前卫而反叛的年轻人面前，只能摇头兴叹，连话都说不出来了。假如说当时全世界只有一个人支持德布罗意的话，他就是爱因斯坦。德布罗意的导师朗之万对自己弟子的大胆见解无可奈何，出于挽救失足青年的良好愿望，他把论文交给爱因斯坦点评。谁料爱因斯坦马上予以了高度评价，称德布罗意“揭开了大幕的一角”。整个物理学界在听到爱因斯坦的评论后大吃一惊，这才开始全面关注德布罗意的工作。

证据，我们需要证据。所有的人都在异口同声地说。如果电子是一个波，那么就让我们看到它是一个波的样子。把它的衍射实验做出来给我们看，把干涉图纹放在我们的眼前。德布罗意有礼貌地回敬道：是的，先生们，我会给你们看到证据的。我预言，电子在通过一个小孔的时候，会像光波那样，产生一个可观测的衍射现象。

1925年4月，在美国纽约的贝尔电话实验室，戴维逊（C.J.Davisson）和革末（L. H. Germer）在做一个有关电子的实验。这个实验的目的是什么我们不得而知，但它牵涉到用一束电子流轰击一块金属镍（nickel）。实验要求金属的表面绝对纯净，所以戴维逊和革末把金属放在一个真空的容器中，以确保没有杂志混入其中。

不幸的是，发生了一件意外。这个真空容器因为某种原因发生了爆炸，空气一拥而入，迅速地氧化了镍的表面。戴维逊和革末非常懊丧，不过他们并不因此放弃实验，他们决定，重新净化金属表面，把实验从头来过。当时，去除氧化层的好办法就是对金属进行高热加温，这正是戴维逊所做的。

两人并不知道，正如雅典娜暗中助推着阿尔戈英雄们的船只，幸运女神正在这个时候站在他俩的身后。容器里的金属，在高温下发生了不知不觉的变化：原本它是由许许多多块小晶体组成的，而在加热之后，整块镍融合成了一块大晶体。虽然在表面看来，两者并没有太大的不同，但是内部的剧变已经足够改变物理学的历史。

当电子通过镍块后，戴维逊和革末瞠目结舌，久久说不出话来。他们看到了再熟悉不过的景象：X射线衍射图案！可是并没有X射线，只有电子，人们终于发现，在某种情况下，电子表现出如X射线般的纯粹波动性质来。电子，无疑地是一种波。

更多的证据接踵而来。1927年，G.P.汤姆逊，著名的J.J汤姆逊的儿子，在剑桥通过实验进一步证明了电子的波动性。他利用实验数据算出的电子行为，和德布罗意所预言的吻合得天衣无缝。

命中注定，戴维逊和汤姆逊将分享1937年的诺贝尔奖金，而德布罗意将先于他们8年获得这一荣誉。有意思的是，GP汤姆逊的父亲，JJ汤姆逊因为发现了电子这一粒子而获得诺贝尔奖，他却因为证明电子是波而获得同样的荣誉。历史有时候，实在富有太多的趣味性。


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饭后闲话：父子诺贝尔

俗话说，将门无犬子，大科学家的后代往往也会取得不亚于前辈的骄人成绩。JJ汤姆逊的儿子GP汤姆逊推翻了老爸电子是粒子的观点，证明电子的波动性，同样获得诺贝尔奖。这样的世袭科学豪门，似乎还不是绝无仅有。

居里夫人和她的丈夫皮埃尔•居里于1903年分享诺贝尔奖（居里夫人在1911年又得了一个化学奖）。他们的女儿约里奥•居里（Irene Joliot-Curie）也在1935年和她丈夫一起分享了诺贝尔化学奖。居里夫人的另一个女婿，美国外交家Henry R. Labouisse，在1965年代表联合国儿童基金会（UNICEF）获得了诺贝尔和平奖。

1915年，William Henry Bragg和William Lawrence Bragg父子因为利用X射线对晶体结构做出了突出贡献，分享了诺贝尔物理奖金。

我们大名鼎鼎的尼尔斯•玻尔获得了1922年的诺贝尔物理奖。他的小儿子，埃格•玻尔（Aage Bohr）于1975年在同样的领域获奖。

卡尔•塞班（Karl Siegbahn）和凯伊•塞班（Kai Siegbahn）父子分别于1924和1981年获得诺贝尔物理奖。

假如俺的老爸是大科学家，俺又会怎样呢？不过恐怕还是如现在这般浪荡江湖，寻求无拘无束的生活吧，呵呵。

四

“电子居然是个波！”这个爆炸性新闻很快就传遍了波动和微粒双方各自的阵营。刚刚还在康普顿战役中焦头烂额的波动一方这下扬眉吐气，终于可以狠狠地嘲笑一下死对头微粒。《波动日报》发表社论，宣称自己取得了决定性的胜利。“微粒的反叛势力终将遭遇到他们应有的可耻结局——电子的下场就是明证。”光子的反击，在波动的眼中突然变得不值一提了，连电子这个老大哥都搞定了，还怕小小的光子？

不过这次，波动的乐观态度未免太一厢情愿，它高兴得过早了。微粒方面的宣传舆论工具也没闲着，《微粒新闻》的记者采访了德布罗意，结果德布罗意说，当今的辐射物理被分成粒子和波两种观点，这两种观点应当以某种方式统一，而不是始终地尖锐对立——这不利于理论的发展前景。对于微粒来说，讲和的提议自然是无法接受的，但至少让它高兴的是，德布罗意没有明确地偏向波动一方。微粒的技术人员也随即展开反击，光究竟是粒子还是波都还没说清，谁敢那样大胆地断言电子是个波？让我们看看电子在威尔逊云室里的表现吧。

威尔逊云室是英国科学家威尔逊（C.T.R.Wilson）在1911年发明的一种仪器。水蒸气在尘埃或者离子通过的时候，会以它们为中心凝结成一串水珠，从而在粒子通过之处形成一条清晰可辨的轨迹，就像天空中喷气式飞机身后留下的白雾。利用威尔逊云室，我们可以研究电子和其他粒子碰撞的情况，结果它们的表现完全符合经典粒子的规律。在过去，这或许是理所当然的事情，但现在对于粒子军来说，这个证据是宝贵的。威尔逊因为发明云室在1927年和康普顿分享了诺贝尔奖金。如果说1937年戴维逊和汤姆逊的获奖标志着波动的狂欢，那10年的这次诺贝尔颁奖礼无疑是微粒方面的一次盛典。不过那个时候，战局已经出乎人们的意料，有了微妙的变化。当然这都是后话了。

捕捉电子位置的仪器也早就有了，电子在感应屏上，总是激发出一个小亮点。Hey，微粒的将军们说，波动怎么解释这个呢？哪怕是电子组成衍射图案，它还是一个一个亮点这样堆积起来的。如果电子是波的话，那么理论上单个电子就能构成整个图案，只不过非常黯淡而已。可是情况显然不是这样，单个电子只能构成单个亮点，只有大量电子的出现，才逐渐显示出衍射图案来。

微粒的还击且不去说他，更糟糕的是，无论微粒还是波动，都没能在“德布罗意事变”中捞到实质性的好处。波动的嘲笑再尖刻，它还是对光电效应、康普顿效应等等现象束手无策，而微粒也还是无法解释双缝干涉。双方很快就发现，战线还是那条战线，谁都没能前进一步，只不过战场被扩大了而已。电子现在也被拉进有关光本性的这场战争，这使得战争全面地被升级。现在的问题，已经不再仅仅是光到底是粒子还是波，现在的问题，是电子到底是粒子还是波，你和我到底是粒子还是波，这整个物质世界到底是粒子还是波。

事实上，波动这次对电子的攻击只有更加激发了粒子们的同仇敌忾之心。现在，光子、电子、α粒子、还有更多的基本粒子，他们都决定联合起来，为了“大粒子王国”的神圣保卫战而并肩奋斗。这场波粒战争，已经远远超出了光的范围，整个物理体系如今都陷于这个争论中，从而形成了一次名副其实的世界大战。玻尔在1924年曾试图给这两支军队调停，他和克莱默（Kramers）还有斯雷特（Slater）发表了一个理论（称作BSK理论），尝试同时从波和粒子的角度去解释能量转换，但双方正打得眼红，这次调停成了外交上的彻底失败，不久就被实验所否决。战火熊熊，燃遍物理学的每一寸土地，同时也把它的未来炙烤得焦糊不清。

物理学已经走到了一个十字路口。它迷茫而又困惑，不知道前途何去何从。昔日的经典辉煌已经变成断瓦残垣，一切回头路都被断绝。如今的天空浓云密布，不见阳光，在大地上投下一片阴影。人们在量子这个精灵的带领下一路走来，沿途如行山阴道上，精彩目不暇接，但现在却突然发现自己已经身在白云深处，彷徨而不知归路。放眼望去，到处是雾茫茫一片，不辨东南西北，叫人心中没底。玻尔建立的大厦虽然看起来还是顶天立地，但稍微了解一点内情的工程师们都知道它已经几经裱糊，伤筋动骨，摇摇欲坠，只是仍然在苦苦支撑而已。更何况，这个大厦还凭借着对应原理的天桥，依附在麦克斯韦的旧楼上，这就教人更不敢对它的前途抱有任何希望。在另一边，微粒和波动打得烽火连天，谁也奈何不了谁，长期的战争已经使物理学的基础处在崩溃边缘，它甚至不知道自己是建立在什么东西之上。

不过，我们也不必过多地为一种悲观情绪所困扰。在大时代的黎明到来之前，总是要经历这样的深深的黑暗，那是一个伟大理论诞生前的阵痛。当大风扬起，吹散一切岚雾的时候，人们会惊喜地发现，原来他们已经站在高高的山峰之上，极目望去，满眼风光。

那个带领我们穿越迷雾的人，后来回忆说：“1924到1925年，我们在原子物理方面虽然进入了一个浓云密布的领域，但是已经可以从中看见微光，并展望出一个令人激动的远景。”

说这话的是一个来自德国的年轻人，他就是维尔纳•海森堡（Werner Heisenberg）。

在本史话第二章的最后，我们已经知道，海森堡于1901年出生于维尔兹堡（Würzburg），他的父亲后来成为了一位有名的希腊文教授。小海森堡9岁那年，他们全家搬到了慕尼黑，他的祖父在那里的一间学校（叫做Maximilians Gymnasium的）当校长，而海森堡也自然进了这间学校学习。虽然属于“高干子弟”，但小海森堡显然不用凭借这种关系来取得成绩，他的天才很快就开始让人吃惊，特别是数学和物理方面的，但是他同时也对宗教、文学和哲学表现出强烈兴趣。这样的多才多艺预示着他以后不仅仅将成为一个划时代的物理学家，同时也将成为一为重要的哲学家。

1919年，海森堡参予了镇压巴伐利亚苏维埃共和国的军事行动，当然那时候他还只是个大男孩，把这当成一件好玩的事情而已。对他来说，更严肃的是在大学里选择一条怎样的道路。当他进入慕尼黑大学后，这种选择便很现实地摆在他面前：是跟着林德曼（Ferdinand von Lindemann），一位著名的数学家学习数论呢，还是跟着索末非学习物理？海森堡终于选择了后者，从而迈出了一个科学巨人的第一步。

1922年，玻尔应邀到哥廷根进行学术访问，引起轰动，甚至后来被称为哥廷根的“玻尔节”。海森堡也赶到哥廷根去听玻尔的演讲，才三年级的他竟然向玻尔提出一些学术观点上的异议，使得玻尔对他刮目相看。事实上，玻尔此行最大的收获可能就是遇到了海森堡和泡利，两个天才无限的年轻人。而这两人之后都会远赴哥本哈根，在玻尔的研究室和他一起工作一段日子。

到了1925年，海森堡——他现在是博士了——已经充分成长为一个既朝气蓬勃又不乏成熟的物理学家。他在慕尼黑、哥廷根和哥本哈根的经历使得他得以师从当时最好的几位物理大师。而按他自己的说法，他从索末非那里学到了乐观态度，在哥廷根从波恩，弗兰克还有希尔伯特那里学到了数学，而从玻尔那里，他学到了物理（索末非似乎很没有面子，呵呵）。

现在，该轮到海森堡自己上场了。物理学的天空终将云开雾散，露出璀璨的星光让我们目眩神迷。在那其中有几颗特别明亮的星星，它们的光辉照亮了整个夜空，组成了最华丽的星座。不用费力分辩，你应该能认出其中的一颗，它就叫维尔纳•海森堡。作为量子力学的奠基人之一，这个名字将永远镌刻在时空和历史中。


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饭后闲话：被误解的名言

这个闲话和今天的正文无关，不过既然这几日讨论牛顿，不妨多披露一些关于牛顿的历史事实。

牛顿最为人熟知的一句名言是这样说的：“如果我看得更远的话，那是因为我站在巨人的肩膀上”（If I have seen further it is by standing on ye shoulders of Giants）。这句话通常被用来赞叹牛顿的谦逊，但是从历史上来看，这句话本身似乎没有任何可以理解为谦逊的理由。

首先这句话不是原创。早在12世纪，伯纳德（Bernard of Chartres，他是中世纪的哲学家，著名的法国沙特尔学校的校长）就说过：“Nos esse quasi nanos gigantium humeris insidientes”。这句拉丁文的意思就是说，我们都像坐在巨人肩膀上的矮子。这句话，如今还能在沙特尔市那著名的哥特式大教堂的窗户上找到。从伯纳德以来，至少有二三十个人在牛顿之前说过类似的话。

牛顿说这话是在1676年给胡克的一封信中。当时他已经和胡克在光的问题上吵得昏天黑地，争论已经持续多年（可以参见我们的史话）。在这封信里，牛顿认为胡克把他（牛顿自己）的能力看得太高了，然后就是这句著名的话：“如果我看得更远的话，那是因为我站在巨人的肩膀上”。

这里面的意思无非两种：牛顿说的巨人如果指胡克的话，那是一次很明显的妥协：我没有抄袭你的观念，我只不过在你工作的基础上继续发展——这才比你看得高那么一点点。牛顿想通过这种方式委婉地平息胡克的怒火，大家就此罢手。但如果要说大度或者谦逊，似乎很难谈得上。牛顿为此一生记恨胡克，哪怕几十年后，胡克早就墓木已拱，他还是不能平心静气地提到这个名字，这句话最多是试图息事宁人的外交词令而已。另一种可能，巨人不指胡克，那就更明显了：我的工作就算不完全是自己的，也是站在前辈巨人们的肩上——没你胡克的事。

更多的历史学家认为，这句话是一次恶意的挪揄和讽刺——胡克身材矮小，用“巨人”似乎暗含不怀好意。持这种观点的甚至还包括著名的史蒂芬•霍金，正是他如今坐在当年牛顿卢卡萨教授的位子上。

牛顿还有一句有名的话，大意说他是海边的一个小孩子，捡起贝壳玩玩，但还没有发现真理的大海。这句话也不是他的原创，最早可以追溯到Joseph Spence。但牛顿最可能是从约翰•米尔顿的《复乐园》中引用（牛顿有一本米尔顿的作品集）。这显然也是精心准备的说辞，牛顿本人从未见过大海，更别提在海滩行走了。他一生中见过的最大的河也就是泰晤士河，很难想象大海的意象如何能自然地从他的头脑中跳出来。

我谈这些，完全没有诋毁谁的意思。我只想说，历史有时候被赋予了太多的光圈和晕轮，但还历史的真相，是每一个人的责任，不论那真相究竟是什么。同时，这也丝毫不影响牛顿科学上的成就——他是有史以来最伟大的科学家。

第五章 曙光

一

属于海森堡的篇章要从1924年7月开始讲起。那个月份对于海森堡可算是喜讯不断，他的关于反常塞曼效应的论文通过审核，从而使他晋升为讲师，获得在德国大学的任意级别中讲学的资格。而玻尔——他对这位出色的年轻人显然有着明显的好感——也来信告诉他，他已经获得了由洛克菲勒（Rockefeller）财团资助的国际教育基金会（IEB）的奖金，为数1000美元，从而让他有机会远赴哥本哈根，与玻尔本人和他的同事们共同工作一年。也是无巧不成书，海森堡原来在哥廷根的导师波恩正好要到美国讲学，于是同意海森堡到哥本哈根去，只要在明年5月夏季学期开始前回来就可以了。从后来的情况看，海森堡对哥本哈根的这次访问无疑对于量子力学的发展有着积极的意义。

玻尔在哥本哈根的研究所当时已经具有了世界性的声名，和哥廷根，慕尼黑一起，成为了量子力学发展史上的“黄金三角”。世界各地的学者纷纷前来访问学习，1924年的秋天有近10位访问学者，其中6位是IEB资助的，而这一数字很快就开始激增，使得这幢三层楼的建筑不久就开始显得拥挤，从而不得不展开扩建。海森堡在结束了他的暑假旅行之后，于1924年9月17日抵达哥本哈根，他和另一位来自美国的金（King）博士住在一位刚去世的教授家里，并由孀居的夫人照顾他们的饮食起居。对于海森堡来说，这地方更像是一所语言学校——他那糟糕的英语和丹麦语水平都在逗留期间有了突飞猛涨的进步。

言归正传。我们在前面讲到，1924，1925年之交，物理学正处在一个非常艰难和迷茫的境地中。玻尔那精巧的原子结构已经在内部出现了细小的裂纹，而辐射问题的本质究竟是粒子还是波动，双方仍然在白热化地交战。康普顿的实验已经使得最持怀疑态度的物理学家都不得不承认，粒子性是无可否认的，但是这就势必要推翻电磁体系这个已经扎根于物理学百余年的庞然大物。而后者所依赖的地基——麦克斯韦理论看上去又是如此牢不可破，无法动摇。

我们也已经提到，在海森堡来到哥本哈根前不久，玻尔和他的助手克莱默（Kramers）还有斯雷特（Slater）发表了一个称作BKS的理论以试图解决波和粒子的两难。在BKS理论看来，在每一个稳定的原子附近，都存在着某些“虚拟的振动”（virtual oscillator），这些神秘的虚拟振动通过对应原理一一与经典振动相对应，从而使得量子化之后仍然保留有经典波动理论的全部优点（实际上，它是想把粒子在不同的层次上进一步考虑成波）。然而这个看似皆大欢喜的理论实在有着难言的苦衷，它为了调解波动和微粒之间的宿怨，甚至不惜抛弃物理学的基石之一：能量守恒和动量守恒定律，认为它们只不过是一种统计下的平均情况。这个代价太大，遭到爱因斯坦强烈反对，在他影响下泡利也很快转换态度，他不止一次写信给海森堡抱怨“虚拟的振动”还有“虚拟的物理学”。

BKS的一些思想倒也不是毫无意义。克莱默利用虚拟振子的思想研究了色散现象，并得出了积极的结果。海森堡在哥本哈根学习的时候对这方面产生了兴趣，并与克莱默联名发表了论文在物理期刊上，这些思路对于后来量子力学的创立无疑也有着重要的作用。但BKS理论终于还是中途夭折，1925年4月的实验否定了守恒只在统计意义上成立的说法，光量子确实是实实在在的东西，不是什么虚拟波。BKS的崩溃标志着物理学陷入彻底的混乱，粒子和波的问题是如此令人迷惑而头痛，以致玻尔都说这实在是一种“折磨”（torture）。对于曾经信奉BKS的海森堡来说，这当然是一个坏消息，但是就像一盆冷水，也能让他清醒一下，认真地考虑未来的出路何在。

哥本哈根的日子是紧张而又有意义的。海森堡无疑地感到了一种竞争的气氛，并以他那好胜的性格加倍努力着。当然，竞争是一回事，哥本哈根的自由精神和学术气氛在全欧洲都几乎无与伦比，而这一切又都和尼尔斯•玻尔这位量子论的“教父”密切相关。毫无疑问在哥本哈根的每一个人都是天才，但他们却都更好地衬托出玻尔本人的伟大来。这位和蔼的丹麦人对于每个人都报以善意的微笑，并引导人们畅所欲言，探讨一切类型的问题。人们像众星拱月一般围绕在他身边，个个都为他的学识和人格所折服，海森堡也不例外，而且他更将成为玻尔最亲密的学生和朋友之一。玻尔常常邀请海森堡到他家（就在研究所的二楼）去分享家藏的陈年好酒，或者到研究所后面的树林里去散步并讨论学术问题。玻尔是一个极富哲学气质的人，他对于许多物理问题的看法都带有深深的哲学色彩，这令海森堡相当震撼，并在很大程度上影响了他本人的思维方式。从某种角度说，在哥本哈根那“量子气氛”里的熏陶以及和玻尔的交流，可能会比海森堡在那段时间里所做的实际研究更有价值。

那时候，有一种思潮在哥本哈根流行开来。这个思想当时不知是谁引发的，但历史上大约可以回溯到马赫。这种思潮说，物理学的研究对象只应该是能够被观察到被实践到的事物，物理学只能够从这些东西出发，而不是建立在观察不到或者纯粹是推论的事物上。这个观点对海森堡以及不久后也来哥本哈根访问的泡利都有很大影响，海森堡开始隐隐感觉到，玻尔旧原子模型里的有些东西似乎不太对头，似乎它们不都是直接能够为实验所探测的。最明显的例子就是电子的“轨道”以及它绕着轨道运转的“频率”。我们马上就要来认真地看一看这个问题。

1925年4月27日，海森堡结束哥本哈根的访问回到哥廷根，并开始重新着手研究氢原子的谱线问题——从中应该能找出量子体系的基本原理吧？海森堡的打算是仍然采取虚振子的方法，虽然BKS倒台了，但这在色散理论中已被证明是有成效的方法。海森堡相信，这个思路应该可以解决玻尔体系所解决不了的一些问题，譬如谱线的强度。但是当他兴致勃勃地展开计算后，他的乐观态度很快就无影无踪了：事实上，如果把电子辐射按照虚振子的代数方法展开，他所遇到的数学困难几乎是不可克服的，这使得海森堡不得不放弃了原先的计划。泡利在同样的问题上也被难住了，障碍实在太大，几乎无法前进，这位脾气急躁的物理学家是如此暴跳如雷，几乎准备放弃物理学。“物理学出了大问题”，他叫嚷道，“对我来说什么都太难了，我宁愿自己是一个电影喜剧演员，从来也没听说过物理是什么东西！”（插一句，泡利说宁愿自己是喜剧演员，这是因为他是卓别林的fans之一）

无奈之下，海森堡决定换一种办法，暂时不考虑谱线强度，而从电子在原子中的运动出发，先建立起基本的运动模型来。事实证明他这条路走对了，新的量子力学很快就要被建立起来，但那却是一种人们闻所未闻，之前连想都不敢想象的形式——Matrix。

Matrix无疑是一个本身便带有几分神秘色彩，像一个Enigma的词语。不论是从它在数学上的意义，还是电影里的意义（甚至包括电影续集）来说，它都那样扑朔迷离，叫人难以把握，望而生畏。事实上直到今天，还有很多人几乎不敢相信，我们的宇宙就是建立在这些怪物之上。不过不情愿也好，不相信也罢，Matrix已经成为我们生活中不可缺少的概念。理科的大学生逃不了线性代数的课，工程师离不开MatLab软件，漂亮MM也会常常挂念基诺•里维斯，没有法子。

从数学的意义上翻译，Matrix在中文里译作“矩阵”，它本质上是一种二维的表格。比如像下面这个2*2的矩阵，其实就是一种2*2的方块表格：
┏ ┓
┃ 1 2 ┃
┃ 3 4 ┃
┗ ┛

也可以是长方形的，比如这个2*3的矩阵：
┏ ┓
┃ 1 2 3 ┃
┃ 4 5 6 ┃
┗ ┛

读者可能已经在犯糊涂了，大家都早已习惯了普通的以字母和符号代表的物理公式，这种古怪的表格形式又能表示什么物理意义呢？更让人不能理解的是，这种“表格”，难道也能像普通的物理变量一样，能够进行运算吗？你怎么把两个表格加起来，或乘起来呢？海森堡准是发疯了。

但是，我已经提醒过大家，我们即将进入的是一个不可思议的光怪陆离的量子世界。在这个世界里，一切都看起来是那样地古怪不合常理，甚至有一些疯狂的意味。我们日常的经验在这里完全失效，甚至常常是靠不住的。物理世界沿用了千百年的概念和习惯在量子世界里轰然崩坍，曾经被认为是天经地义的事情必须被无情地抛弃，而代之以一些奇形怪状的，但却更接近真理的原则。是的，世界就是这些表格构筑的。它们不但能加能乘，而且还有着令人瞠目结舌的运算规则，从而导致一些更为惊世骇俗的结论。而且，这一切都不是臆想，是从事实——而且是唯一能被观测和检验到的事实——推论出来的。海森堡说，现在已经到了物理学该发生改变的时候了。

我们这就出发开始这趟奇幻之旅。

二

物理学，海森堡坚定地想，应当有一个坚固的基础。它只能够从一些直接可以被实验观察和检验的东西出发，一个物理学家应当始终坚持严格的经验主义，而不是想象一些图像来作为理论的基础。玻尔理论的毛病，就出在这上面。

我们再来回顾一下玻尔理论说了些什么。它说，原子中的电子绕着某些特定的轨道以一定的频率运行，并时不时地从一个轨道跃迁到另一个轨道上去。每个电子轨道都代表一个特定的能级，因此当这种跃迁发生的时候，电子就按照量子化的方式吸收或者发射能量，其大小等于两个轨道之间的能量差。

嗯，听起来不错，而且这个模型在许多情况下的确管用。但是，海森堡开始问自己。一个电子的“轨道”，它究竟是什么东西？有任何实验能够让我们看到电子的确绕着某个轨道运转吗？有任何实验可以确实地测出一个轨道离开原子核的实际距离吗？诚然轨道的图景是人们所熟悉的，可以类比于行星的运行轨道，但是和行星不同，有没有任何法子让人们真正地看到电子的这么一个“轨道”，并实际测量一个轨道所代表的“能量”呢？没有法子，电子的轨道，还有它绕着轨道的运转频率，都不是能够实际观察到的，那么人们怎么得出这些概念并在此之上建立起原子模型的呢？

我们回想一下前面史话的有关部分，玻尔模型的建立有着氢原子光谱的支持。每一条光谱线都有一种特定的频率，而由量子公式E1-E2 = hν，我们知道这是电子在两个能级之间跃迁的结果。但是，海森堡争辩道，你这还是没有解决我的疑问。没有实际的观测可以证明某一个轨道所代表的“能级”是什么，每一条光谱线，只代表两个“能级”之间的“能量差”。所以，只有“能级差”或者“轨道差”是可以被直接观察到的，而“能级”和“轨道”却不是。

为了说明问题，我们还是来打个比方。小时候的乐趣之一是收集各种各样的电车票以扮作售票员，那时候上海的车票通常都很便宜，最多也就是一毛几分钱。但规矩是这样的：不管你从哪个站上车，坐得越远车票就相对越贵。比如我从徐家汇上车，那么坐到淮海路可能只要3分钱，而到人民广场大概就要5分，到外滩就要7分，如果一直坐到虹口体育场，也许就得花上1毛钱。当然，近两年回去，公交早就换成了无人售票和统一计费——不管多远都是一个价，车费也早就今非昔比了。

让我们假设有一班巴士从A站出发，经过BCD三站到达E这个终点站。这个车的收费沿用了我们怀旧时代的老传统，不是上车一律给2块钱，而是根据起点和终点来单独计费。我们不妨订一个收费标准：A站和B站之间是1块钱，B和C靠得比较近，0.5元。C和D之间还是1块钱，而D和E离得远，2块钱。这样一来车费就容易计算了，比如我从B站上车到E站，那么我就应该给0.5+1+2=3.5元作为车费。反过来，如果我从D站上车到A站，那么道理是一样的：1+0.5+1=2.5块钱。

现在玻尔和海森堡分别被叫来写一个关于车费的说明贴在车子里让人参考。玻尔欣然同意了，他说：这个问题很简单，车费问题实际上就是两个站之间的距离问题，我们只要把每一个站的位置状况写出来，那么乘客们就能够一目了然了。于是他就假设，A站的坐标是0，从而推出：B站的坐标是1，C站的坐标是1.5，D站的坐标是2.5，而E站的坐标是4.5。这就行了，玻尔说，车费就是起点站的坐标减掉终点站的坐标的绝对值，我们的“坐标”，实际上可以看成一种“车费能级”，所有的情况都完全可以包含在下面这个表格里：

站点 坐标（车费能级）
A 0
B 1
C 1.5
D 2.5
E 4.5

这便是一种经典的解法，每一个车站都被假设具有某种绝对的“车费能级”，就像原子中电子的每个轨道都被假设具有某种特定的能级一样。所有的车费，不管是从哪个站到哪个站，都可以用这个单一的变量来解决，这是一个一维的传统表格，完全可以表达为一个普通的公式。这也是所有物理问题的传统解法。

现在，海森堡说话了。不对，海森堡争辩说，这个思路有一个根本性的错误，那就是，作为一个乘客来说，他完全无法意识，也根本不可能观察到某个车站的“绝对坐标”是什么。比如我从C站乘车到D站，无论怎么样我也无法观察到“C站的坐标是1.5”，或者“D站的坐标是2.5”这个结论。作为我——乘客来说，我所能唯一观察和体会到的，就是“从C站到达D站要花1块钱”，这才是最确凿，最坚实的东西。我们的车费规则，只能以这样的事实为基础，而不是不可观察的所谓“坐标”，或者“能级”。

那么，怎样才能仅仅从这些可以观察的事实上去建立我们的车费规则呢？海森堡说，传统的那个一维表格已经不适用了，我们需要一种新类型的表格，像下面这样的：

A B C D E
A 0 1 1.5 2.5 4.5
B 1 0 0.5 1.5 3.5
C 1.5 0.5 0 1 3
D 2.5 1.5 1 0 2
E 4.5 3.5 3 2 0

这里面，竖的是起点站，横的是终点站。现在这张表格里的每一个数字都是实实在在可以观测和检验的了。比如第一行第三列的那个1.5，它的横坐标是A，表明从A站出发。它的纵坐标是C，表明到C站下车。那么，只要某个乘客真正从A站坐到了C站，他就可以证实这个数字是正确的：这个旅途的确需要1.5块车费。

好吧，某些读者可能已经不耐烦了，它们的确是两种不同类型的东西，可是，这种区别的意义有那么大吗？毕竟，它们表达的，不是同一种收费规则吗？但事情要比我们想象的复杂多了，比如玻尔的表格之所以那么简洁，其实是有这样一个假设，那就是“从A到B”和“从B到A”，所需的钱是一样的。事实也许并非如此，从A到B要1块钱，从B回到A却很可能要1.5元。这样玻尔的传统方式要大大头痛了，而海森堡的表格却是简洁明了的：只要修改B为横坐标A为纵坐标的那个数字就可以了，只不过表格不再按照对角线对称了而已。

更关键的是，海森堡争辩说，所有的物理规则，也要按照这种表格的方式来改写。我们已经有了经典的动力学方程，现在，我们必须全部把它们按照量子的方式改写成某种表格方程。许多传统的物理变量，现在都要看成是一些独立的矩阵来处理。

在经典力学中，一个周期性的振动可以用数学方法分解成为一系列简谐振动的叠加，这个方法叫做傅里叶展开。想象一下我们的耳朵，它可以灵敏地分辨出各种不同的声音，即使这些声音同时响起，混成一片嘈杂也无关紧要，一个发烧友甚至可以分辨出CD音乐中乐手翻动乐谱的细微沙沙声。人耳自然是很神奇的，但是从本质上说，数学家也可以做到这一切，方法就是通过傅立叶分析把一个混合的音波分解成一系列的简谐波。大家可能要感叹，人耳竟然能够在瞬间完成这样复杂的数学分析，不过这其实是自然的进化而已。譬如守门员抱住飞来的足球，从数学上说相当于解析了一大堆重力和空气动力学的微分方程并求出了球的轨迹，再比如人本能的趋利避害的反应，从基因的角度说也相当于进行了无数风险概率和未来获利的计算。但这都只是因为进化的力量使得生物体趋于具有这样的能力而已，这能力有利于自然选择，倒不是什么特殊的数学能力所导致。

回到正题，在玻尔和索末菲的旧原子模型里，我们已经有了电子运动方程和量子化条件。这个运动同样可以利用傅立叶分析的手法，化作一系列简谐运动的叠加。在这个展开式里的每一项，都代表了一个特定频率。现在，海森堡准备对这个旧方程进行手术，把它彻底地改造成最新的矩阵版本。但是困难来了，我们现在有一个变量p，代表电子的动量，还有一个变量q，代表电子的位置。本来，在老方程里这两个变量应当乘起来，现在海森堡把p和q都变成了矩阵，那么，现在p和q应当如何再乘起来呢？

这个问题问得好：你如何把两个“表格”乘起来呢？

或者我们不妨先问自己这样一个问题：把两个表格乘起来，这代表了什么意义呢？

为了容易理解，我们还是回到我们那个巴士车费的比喻。现在假设我们手里有两张海森堡制定的车费表：矩阵I和矩阵II，分别代表了巴士I号线和巴士II号线在某地的收费情况。为了简单起见，我们假设每条线都只有两个站，A和B。这两个表如下：

I号线（矩阵I）：
A B
A 1 2
B 3 1

II号线（矩阵II）：
A B
A 1 3
B 4 1

好，我们再来回顾一下这两张表到底代表了什么意思。根据海森堡的规则，数字的横坐标代表了起点站，纵坐标代表了终点站。那么矩阵I第一行第一列的那个1就是说，你坐巴士I号线，从A地出发，在A地原地下车，车费要1块钱（啊？为什么原地不动也要付1块钱呢？这个……一方面是比喻而已，再说你可以把1块钱看成某种起步费。何况在大部分城市的地铁里，你进去又马上出来，的确是要在电子卡里扣掉一点钱的）。同样，矩阵I第一行第二列的那个2是说，你坐I号线从A地到B地，需要2块钱。但是，如果从B地回到A地，那么就要看横坐标是B而纵坐标是A的那个数字，也就是第二行第一列的那个3。矩阵II的情况同样如此。

好，现在我们来做个小学生水平的数学练习：乘法运算。只不过这次乘的不是普通的数字，而是两张表格：I和II。I×II等于几？

让我们把习题完整地写出来。现在，boys and girls，这道题目的答案是什么呢？

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┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？
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饭后闲话：男孩物理学

1925年，当海森堡做出他那突破性的贡献的时候，他刚刚24岁。尽管在物理上有着极为惊人的天才，但海森堡在别的方面无疑还只是一个稚气未脱的大孩子。他兴致勃勃地跟着青年团去各地旅行，在哥本哈根逗留期间，他抽空去巴伐利亚滑雪，结果摔伤了膝盖，躺了好几个礼拜。在山谷田野间畅游的时候，他高兴得不能自已，甚至说“我连一秒种的物理都不愿想了”。

量子论的发展几乎就是年轻人的天下。爱因斯坦1905年提出光量子假说的时候，也才26岁。玻尔1913年提出他的原子结构的时候，28岁。德布罗意1923年提出相波的时候，31岁。而1925年，当量子力学在海森堡的手里得到突破的时候，后来在历史上闪闪发光的那些主要人物也几乎都和海森堡一样年轻：泡利25岁，狄拉克23岁，乌仑贝克25岁，古德施密特23岁，约尔当23岁。和他们比起来，36岁的薛定谔和43岁的波恩简直算是老爷爷了。量子力学被人们戏称为“男孩物理学”，波恩在哥廷根的理论班，也被人叫做“波恩幼儿园”。

不过，这只说明量子论的锐气和朝气。在那个神话般的年代，象征了科学永远不知畏惧的前进步伐，开创出一个前所未有的大时代来。“男孩物理学”这个带有传奇色彩的名词，也将在物理史上镌刻出永恒的光芒。

三

上次我们布置了一道练习题，现在我们一起来把它的答案求出来。


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┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？
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如果你还记得我们那个公共巴士的比喻，那么乘号左边的矩阵I代表了我们的巴士I号线的收费表，乘号右边的矩阵II代表了II号线的收费表。I是一个2×2的表格，II也是一个2×2的表格，我们有理由相信，它们的乘积也应该是类似的形式，也是一个2×2的表格。

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┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ a b ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
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但是，那答案到底是什么？我们该怎么求出abcd这四个未知数？更重要的是，I×II的意义是什么呢？

海森堡说，I×II，表示你先乘搭巴士I号线，然后转乘了II号线。答案中的a是什么呢？a处在第一行第一列，它也必定表示从A地出发到A地下车的某种收费情况。海森堡说，a，其实就是说，你搭乘I号线从A地出发，期间转乘II号线，最后又回到A地下车。因为是乘法，所以它表示“I号线收费”和“II号线收费”的乘积。但是，情况还不是那么简单，因为我们的路线可能不止有一种，a实际代表的是所有收费情况的“总和”。

如果这不好理解，那么我们干脆把题目做出来。答案中的a，正如我们已经说明了的，表示我搭I号线从A地出发，然后转乘II号线，又回到A地下车的收费情况的总和。那么，我们如何具体地做到这一点呢？有两种方法：第一种，我们可以乘搭I号线从A地到B地，然后在B地转乘II号线，再从B地回到A地。此外，还有一种办法，就是我们在A地上了I号线，随即在原地下车。然后还是在A地再上II号线，同样在原地下车。这虽然听起来很不明智，但无疑也是一种途径。那么，我们答案中的a，其实就是这两种方法的收费情况的总和。

现在我们看看具体数字应该是多少：第一种方法，我们先乘I号线从A地到B地，车费应该是多少呢？我们还记得海森堡的车费规则，那就看矩阵I横坐标为A纵坐标为B的那个数字，也就是第一行第二列的那个2，2块钱。好，随后我们又从B地转乘II号线回到了A地，这里的车费对应于矩阵II第二行第一列的那个4。所以第一种方法的“收费乘积”是2×4＝8。但是，我们提到，还有另一种可能，就是我们在A地原地不动地上了I号线再下来，又上II号线再下来，这同样符合我们A地出发A地结束的条件。这对应于两个矩阵第一行第一列的两个数字的乘积，1×1＝1。那么，我们的最终答案，a，就等于这两种可能的叠加，也就是说，a＝2×4＋1×1＝9。因为没有第三种可能性了。

同样道理我们来求b。b代表先乘I号线然后转乘II号线，从A地出发最终抵达B地的收费情况总和。这同样有两种办法可以做到：先在A地上I号线随即下车，然后从A地坐II号线去B地。收费分别是1块（矩阵I第一行第一列）和3块（矩阵II第一行第二列），所以1×3＝3。还有一种办法就是先乘I号线从A地到B地，收费2块（矩阵I第一行第二列），然后在B地转II号线原地上下，收费1块（矩阵II第二行第二列），所以2×1＝1。所以最终答案：b＝1×3＋2×1＝5。

大家可以先别偷看答案，自己试着求c和d。最后应该是这样的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3×3＋1×1＝10。所以：

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┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ 9 5┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ 7 10┃
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很抱歉让大家如此痛苦不堪，不过我们的确在学习新的事物。如果你觉得这种乘法十分陌生的话，那么我们很快就要给你更大的惊奇，但首先我们还是要熟悉这种新的运算规则才是。圣人说，温故而知新，我们不必为了自己新学到的东西而沾沾自喜，还是巩固巩固我们的基础吧，让我们把上面这道题目验算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其实没有那么乏味，我们可以把乘法的次序倒一倒，现在验算一遍II×I：

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┃ 1 3 ┃ ┃ 1 2 ┃ ┃ a b ┃
┃ 4 1 ┃ × ┃ 3 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
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我知道大家都在唉声叹气，不过我还是坚持，复习功课是有益无害的。我们来看看a是什么，现在我们是先乘搭II号线，然后转I号线了，所以我们可以从A地上II号线，然后下来。再上I号线，然后又下来。对应的是1×1。另外，我们可以坐II号线去B地，在B地转I号线回到A地，所以是3×3＝9。所以a＝1×1＋3×3＝10。

喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我们遇到问题了。在我们的验算里，a＝10，不过我还记得，刚才我们的答案说a＝9。各位把笔记本往回翻几页，看看我有没有记错？嗯，虽然大家都没有记笔记，但我还是没有记错，刚才我们的a＝2×4＋1×1＝9。看来是我算错了，我们再算一遍，这次可要打起精神了：a代表A地上车A地下车。所以可能的情况是：我搭II号线在A地上车A地下车（矩阵II第一行第一列），1块。然后转I号线同样在A地上车A地下车（矩阵I第一行第一列），也是1块。1×1＝1。还有一种可能是，我搭II号线在A地上车B地下车（矩阵II第一行第二列），3块。然后在B地转I号线从B地回到A地（矩阵II第二行第一列），3块。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。

嗯，奇怪，没错啊。那么难道前面算错了？我们再算一遍，好像也没错，前面a＝1＋8＝9。那么，那么……谁错了？哈哈，海森堡错了，他这次可丢脸了，他发明了一种什么样的表格乘法啊，居然导致如此荒唐的结果：I×II ≠ II×I。

我们不妨把结果整个算出来：


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┃ 9 5┃
I×II＝ ┃ 7 10┃
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┃ 10 5┃
II×I＝ ┃ 7 9┃
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的确，I×II ≠ II×I。这可真让人惋惜，原来我们还以为这种表格式的运算至少有点创意的，现在看来浪费了大家不少时间，只好说声抱歉。但是，慢着，海森堡还有话要说，先别为我们死去的脑细胞默哀，它们的死也许不是完全没有意义的。

大家冷静点，大家冷静点，海森堡摇晃着他那漂亮的头发说，我们必须学会面对现实。我们已经说过了，物理学，必须从唯一可以被实践的数据出发，而不是靠想象和常识习惯。我们要学会依赖于数学，而不是日常语言，因为只有数学才具有唯一的意义，才能告诉我们唯一的真实。我们必须认识到这一点：数学怎么说，我们就得接受什么。如果数学说I×II ≠ II×I，那么我们就得这么认为，哪怕世人用再嘲讽的口气来讥笑我们，我们也不能改变这一立场。何况，如果仔细审查这里面的意义，也并没有太大的荒谬：先搭乘I号线，再转II号线，这和先搭乘II号线，再转I号线，导致的结果可能是不同的，有什么问题吗？

好吧，有人讽刺地说，那么牛顿第二定律究竟是F＝ma，还是F＝am呢？

海森堡冷冷地说，牛顿力学是经典体系，我们讨论的是量子体系。永远不要对量子世界的任何奇特性质过分大惊小怪，那会让你发疯的。量子的规则，并不一定要受到乘法交换率的束缚。

他无法做更多的口舌之争了，1925年夏天，他被一场热病所感染，不得不离开哥廷根，到北海的一个小岛赫尔格兰（Helgoland）去休养。但是他的大脑没有停滞，在远离喧嚣的小岛上，海森堡坚定地沿着这条奇特的表格式道路去探索物理学的未来。而且，他很快就获得了成功：事实上，只要把矩阵的规则运用到经典的动力学公式里去，把玻尔和索末菲旧的量子条件改造成新的由坚实的矩阵砖块构造起来的方程，海森堡可以自然而然地推导出量子化的原子能级和辐射频率。而且这一切都可以顺理成章从方程本身解出，不再需要像玻尔的旧模型那样，强行附加一个不自然的量子条件。海森堡的表格的确管用！数学解释一切，我们的想象是靠不住的。

虽然，这种古怪的不遵守交换率的矩阵乘法到底意味着什么，无论对于海森堡，还是当时的所有人来说，都还仍然是一个谜题，但量子力学的基本形式却已经得到了突破进展。从这时候起，量子论将以一种气势磅礴的姿态向前迈进，每一步都那样雄伟壮丽，激起滔天的巨浪和美丽的浪花。接下来的3年是梦幻般的3年，是物理史上难以想象的3年，理论物理的黄金年代，终于要放射出它最耀眼的光辉，把整个20世纪都装点得神圣起来。

海森堡后来在写给好友范德沃登的信中回忆道，当他在那个石头小岛上的时候，有一晚忽然想到体系的总能量应该是一个常数。于是他试着用他那规则来解这个方程以求得振子能量。求解并不容易，他做了一个通宵，但求出来的结果和实验符合得非常好。于是他爬上一个山崖去看日出，同时感到自己非常幸运。

是的，曙光已经出现，太阳正从海平线上冉冉升起，万道霞光染红了海面和空中的云彩，在天地间流动着奇幻的辉光。在高高的石崖顶上，海森堡面对着壮观的日出景象，他脚下碧海潮生，一直延伸到无穷无尽的远方。是的，他知道，this is the moment，他已经作出生命中最重要的突破，而物理学的黎明也终于到来。


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饭后闲话：矩阵

我们已经看到，海森堡发明了这种奇特的表格，I×II ≠ II×I，连他自己都没把握确定这是个什么怪物。当他结束养病，回到哥廷根后，就把论文草稿送给老师波恩，让他评论评论。波恩看到这种表格运算大吃一惊，原来这不是什么新鲜东西，正是线性代数里学到的“矩阵”！回溯历史，这种工具早在1858年就已经由一位剑桥的数学家Arthur Cayley所发明，不过当时不叫“矩阵”而叫做“行列式”（determinant，这个字后来变成了另外一个意思，虽然还是和矩阵关系很紧密）。发明矩阵最初的目的，是简洁地来求解某些微分方程组（事实上直到今天，大学线性代数课还是主要解决这个问题）。但海森堡对此毫不知情，他实际上不知不觉地“重新发明”了矩阵的概念。波恩和他那精通矩阵运算的助教约尔当随即在严格的数学基础上发展了海森堡的理论，进一步完善了量子力学，我们很快就要谈到。

数学在某种意义上来说总是领先的。Cayley创立矩阵的时候，自然想不到它后来会在量子论的发展中起到关键作用。同样，黎曼创立黎曼几何的时候，又怎会料到他已经给爱因斯坦和他伟大的相对论提供了最好的工具。

乔治•盖莫夫在那本受欢迎的老科普书《从一到无穷大》（One, Two, Three…Infinity）里说，目前数学还有一个大分支没有派上用场（除了智力体操的用处之外），那就是数论。古老的数论领域里已经有许多难题被解开，比如四色问题，费马大定理。也有比如著名的哥德巴赫猜想，至今悬而未决。天知道，这些理论和思路是不是在将来会给某个物理或者化学理论开道，打造出一片全新的天地来。