精通八大排序算法系列：一、快速排序算法

一、快速排序算法的基本特性
时间复杂度：O（n*lgn）
最坏：O（n^2）
空间复杂度：O（n*lgn）
不稳定。

快速排序是一种排序算法，对包含n个数的输入数组，平均时间为O（nlgn），最坏情况是O（n^2）。
通常是用于排序的最佳选择。因为，排序最快，也只能达到O（nlgn）。


二、快速排序算法的描述
算法导论，第7章
快速排序时基于分治模式处理的，
对一个典型子数组A[p...r]排序的分治过程为三个步骤：
1.分解：
A[p..r]被划分为俩个（可能空）的子数组A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]，使得
A[p ..q-1] <= A[q] <= A[q+1 ..r]
2.解决：通过递归调用快速排序，对子数组A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]排序。
3.合并。



三、快速排序算法

版本一：
QUICKSORT(A, p, r)
1 if p < r
2    then q ← PARTITION(A, p, r)   //关键
3         QUICKSORT(A, p, q - 1)
4         QUICKSORT(A, q + 1, r)

数组划分
快速排序算法的关键是PARTITION过程，它对A[p..r]进行就地重排：
PARTITION(A, p, r)
1  x ← A[r]
2  i ← p - 1
3  for j ← p to r - 1
4       do if A[j] ≤ x
5             then i ← i + 1
6                  exchange A[i] <-> A[j]
7  exchange A[i + 1] <-> A[r]
8  return i + 1



ok，咱们来举一个具体而完整的例子。
来对以下数组，进行快速排序，
  2   8   7   1   3   5   6   4(主元)


一、

i p/j

  2   8   7   1   3   5   6   4(主元)
j指的2<=4，于是i++，i也指到2，2和2互换，原数组不变。
j后移，直到指向1..
二、
              j（指向1）<=4，于是i++
i指向了8，所以8与1交换。
数组变成了：
       i          j
  2   1   7   8   3   5   6   4
三、j后移，指向了3,3<=4，于是i++
i这是指向了7，于是7与3交换。
数组变成了：
             i         j
  2   1   3   8   7   5   6   4
四、j继续后移，发现没有再比4小的数，所以，执行到了最后一步，
即上述PARTITION(A, p, r)代码部分的 第7行。
因此，i后移一个单位，指向了8
                 i               j
  2   1   3   8   7   5   6   4
A[i + 1] <-> A[r]，即8与4交换，所以，数组最终变成了如下形式，
  2   1   3   4   7   5   6   8
ok，快速排序第一趟完成。


4把整个数组分成了俩部分，2 1 3,7 5 6 8，再递归对这俩部分分别快速排序。
i p/j
  2   1   3(主元)
  2与2互换，不变，然后又是1与1互换，还是不变，最后，3与3互换，不变，
最终，3把2 1 3，分成了俩部分，2 1，和3.
再对2 1，递归排序，最终结果成为了1 2 3.

7 5 6 8(主元)，7、5、6、都比8小，所以第一趟，还是7 5 6 8，
不过，此刻8把7 5 6 8，分成了  7 5 6，和8.[7 5 6->5 7 6->5 6 7]
再对7 5 6，递归排序，最终结果变成5 6 7 8。

ok，所有过程，全部分析完成。




快速排序算法版本二

不过，这个版本不再选取（如上第一版本的）数组的最后一个元素为主元，
而是选择，数组中的第一个元素为主元。

/**************************************************/
/*  函数功能：快速排序算法                        */
/*  函数参数：结构类型table的指针变量tab          */
/*            整型变量left和right左右边界的下标   */
/*  函数返回值：空                                */
/*  文件名：quicsort.c  函数名：quicksort ()      */
/**************************************************/
void quicksort(table *tab,int left,int right)
{
  int i,j;
  if(left<right)
  {
    i=left;j=right;
    tab->r[0]=tab->r[i]; //准备以本次最左边的元素值为标准进行划分，先保存其值
    do
    {
      while(tab->r[j].key>tab->r[0].key&&i<j)
        j--;        //从右向左找第1个小于标准值的位置j
      if(i<j)                               //找到了，位置为j
      {
        tab->r[i].key=tab->r[j].key;i++;
      }           //将第j个元素置于左端并重置i
      while(tab->r[i].key<tab->r[0].key&&i<j)
        i++;      //从左向右找第1个大于标准值的位置i
      if(i<j)                       //找到了，位置为i
      {
        tab->r[j].key=tab->r[i].key;j--;
      }           //将第i个元素置于右端并重置j
    }while(i!=j);

    tab->r[i]=tab->r[0];         //将标准值放入它的最终位置,本次划分结束
    quicksort(tab,left,i-1);     //对标准值左半部递归调用本函数
    quicksort(tab,i+1,right);    //对标准值右半部递归调用本函数
  }
}

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ok，咱们，还是以上述相同的数组，应用此快排算法的版本二，来演示此排序过程：
这次，以数组中的第一个元素2为主元。
  2(主)  8  7  1  3  5  6  4

请细看：
  2  8  7  1  3  5  6  4
  i->                     <-j
   (找大)               (找小)
一、j
j找第一个小于2的元素1,1赋给(覆盖重置)i所指元素2
得到：
  1  8  7     3  5  6  4
      i       j     
     
二、i
i找到第一个大于2的元素8,8赋给(覆盖重置)j所指元素(NULL<-8)
  1     7  8  3  5  6  4
      i   <-j

三、j
j继续左移，在与i碰头之前，没有找到比2小的元素，结束。
最后，主元2补上。
第一趟快排结束之后，数组变成：
  1  2  7  8  3  5  6  4

第二趟，
        7  8  3  5  6  4
        i->             <-j
         (找大)        (找小)
 
一、j
j找到4，比主元7小，4赋给7所处位置
得到：
        4  8  3  5  6  
        i->                j
二、i
i找比7大的第一个元素8,8覆盖j所指元素(NULL)
        4     3  5  6  8
            i          j
        4  6  3  5     8
            i->       j
                 i与j碰头，结束。
第三趟：
        4  6  3  5  7  8
......
以下，分析原理，一致，略过。
最后的结果，如下图所示：
  1  2  3  4  5  6  7  8
相信，经过以上内容的具体分析，你一定明了了。



完。一月五日补充。
OK,上述俩种算法，明白一种即可。
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五、快速排序的最坏情况和最快情况。
最坏情况发生在划分过程产生的俩个区域分别包含n-1个元素和一个0元素的时候，
即假设算法每一次递归调用过程中都出现了，这种划分不对称。那么划分的代价为O（n），
因为对一个大小为0的数组递归调用后，返回T（0）=O（1）。
估算法的运行时间可以递归的表示为：

    T（n）=T（n-1）+T（0）+O（n)=T(n-1)+O(n).
可以证明为T（n）=O（n^2）。

因此，如果在算法的每一层递归上，划分都是最大程度不对称的，那么算法的运行时间就是O（n^2）。
亦即，快速排序算法的最坏情况并不比插入排序的更好。

此外，当数组完全排好序之后，快速排序的运行时间为O（n^2）。
而在同样情况下，插入排序的运行时间为O（n）。

//注，请注意理解这句话。我们说一个排序的时间复杂度，是仅仅针对一个元素的。
//意思是，把一个元素进行插入排序，即把它插入到有序的序列里，花的时间为n。


再来证明，最快情况下，即PARTITION可能做的最平衡的划分中，得到的每个子问题都不能大于n/2.
因为其中一个子问题的大小为|_n/2_|。另一个子问题的大小为|-n/2-|-1.
在这种情况下，快速排序的速度要快得多。为，
      T(n)<=2T（n/2）+O（n）.可以证得，T（n）=O（nlgn）。

直观上，看，快速排序就是一颗递归数，其中，PARTITION总是产生9:1的划分，
总的运行时间为O（nlgn）。各结点中示出了子问题的规模。每一层的代价在右边显示。
每一层包含一个常数c。



完。
July、二零一一年一月四日。
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请各位自行，思考以下这个版本，对应于上文哪个版本?
     HOARE-PARTITION(A, p, r)
1  x ← A[p]
2  i ← p - 1
3  j ← r + 1
4  while TRUE
5      do repeat j ← j - 1
6           until A[j] ≤ x
7         repeat i ← i + 1
8           until A[i] ≥ x
9         if i < j
10            then exchange A[i] ↔ A[j]
11            else return j



   我常常思考，为什么有的人当时明明读懂明白了一个算法，
而一段时间过后，它又对此算法完全陌生而不了解了列?

   我想，究其根本，还是没有彻底明白此快速排序算法的原理，与来龙去脉...
那作何改进列，只能找发明那个算法的原作者了，从原作者身上，再多挖掘点有用的东西出来。

        July、二零一一年二月十五日更新。

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最后，再给出一个快速排序算法的简洁示例：
    Quicksort函数
void quicksort(int l, int u)
{   int i, m;
    if (l >= u) return;
    swap(l, randint(l, u));
    m = l;
    for (i = l+1; i <= u; i++)
        if (x[i] < x[l])
            swap(++m, i);
    swap(l, m);
    quicksort(l, m-1);
    quicksort(m+1, u);
}

   如果函数的调用形式是quicksort(0, n-1)，那么这段代码将对一个全局数组x[n]进行排序。
函数的两个参数分别是将要进行排序的子数组的下标：l是较低的下标，而u是较高的下标。

   函数调用swap(i,j)将会交换x[i]与x[j]这两个元素。
第一次交换操作将会按照均匀分布的方式在l和u之间随机地选择一个划分元素。