六种常用算法（摘录）

算法就是能够证明正确的解题步骤，算法有许多种，最简单的无非下面的六种：递推法、贪心法、列举法、递归法、分治法和模拟法。下面举例说明。

 

什么是递推法

递推法这种解题方法其实在我们编程的过程中用的很多，只不过没有将其上升到理论的高度罢了。所谓递推法，就是找出和时间先后相联系或和数的大小相联系的步骤，上一步和下一步和数字的增大或减小有一定的联系。我们要么从前向后（或从小到大）推导，也可从后向前（或从大到小）推导。由此得出两种推导方法：顺推法和倒推法。请看下面的示例。

示例：猴子分食桃子

五只猴子采得一堆桃子，猴子彼此约定隔天早起后再分食。不过，就在半夜里，一只猴子偷偷起来，把桃子均分成五堆后，发现还多一个，它吃掉这桃子，并拿走了其中一堆。第二只猴子醒来，又把桃子均分成五堆后，还是多了一个，它也吃掉这个桃子，并拿走了其中一堆。第三只，第四只，第五只猴子都依次如此分食桃子。那么桃子数最少应该有几个呢？

编程简析

怎样编程呢？先要找一下第N只猴子和其面前桃子数的关系。如果从第1只开始往第5只找，不好找，但如果思路一变，从第N到第1去，可得出下面的推导式：

第N只猴   第N只猴前桃子数目

5          s5=x

4          s4=s5*5/4+1

3          s3=s4*5/4+1

2          s2=s3*5/4+1

1          s1=s2*5/4+1

s1即为所求。上面的规律中只要将s1-s5的下标去掉：

s=x

s=s*5/4+1

s=s*5/4+1

s=s*5/4+1

s=s*5/4+1

所以可以用循环语句加以解决。

综观程序的整体结构，最外是一个循环，因为循环次数不定，可以使用While循环，其结束条件则是找到第一个符合条件的数。为了做出上面while循环的结束条件，还需进一步分析上述规律的特点，要符合题目中的要求，s1-s4四个数必须全部为整数，这个可作为条件。

小结

上面应用的推导方法就是倒推法。生活中的更多问题采用顺推法就可得到，也即从1-N，但不论倒推还是顺推，能递推出并解出问题是我们的本意。

 

 

什么是贪心法

贪心法就是做一种目前最贪婪的行动，一步步解决问题。贪心法和递推法有相似之外，也是从问题的某一个初始解出发，向给定的目标递推，但不同的是每一步不是依据某一个固定的递推式，而是做一个当时看似最佳的贪心选择，不断地将问题归结为更小的相似的问题。

示例：删数问题

链盘输入一个高精度的数N，去掉任意S个数字后剩下的数字按原左右次序组成一个新的正整数，编程对于给定的N和S，寻找一种方案使得剩下的数字组成的新数最小。

为了便于操作，将N做为字符串的形式输入，可以使用尽可能逼近目标的贪心算法来完成，删数的过程中是一个一个进行删除的，为了保证最后得到的数最小，每一步总是要删除使剩下的数最小的数字。之所以做出这样贪心的选择，是因为删S个数字的最优解，包含了删除一个数字的子问题的最优解。

为了实现上述目的，我们可以进行S次选择，每次都选择N中最大的数字，此数字选择后将不再参与下次的选择。

小结

这就是有趣的贪心算法，说是贪得无厌可以，说是守住当前的既得利益，以此为基础，再稳扎稳打地进行下一步也行！

 

 

什么是列举法

列举是针对问题所有的可能一一查看是不是符合条件，有些“宁肯错杀一千，不可放过一个”的作风。下面的老题最能说明这种情况。

示例：百钱买百鸡

公鸡3元每只，母鸡5元每只，小鸡1元3只，一百元钱买一百只鸡。请求出公鸡，母鸡和小鸡的数目。

编程简析

我们做最极端的假设，公鸡可能是0-100，母鸡也可能是0-100，小鸡还可能是0-100，将这三种情况用循环套起来，那就是1000000种情况。这就是列举法。为了将题目再简化一下，我们还可以对上述题目进行一下优化处理：

假设公鸡数为x,母鸡数为y，则小鸡数是100-x-y，也就有了下面的方程式：

3*x+5*y+(100-x-y)/3=100

从这个方程式中，我们不难看出大体的情况：公鸡最多有33只，最少是没有，即x的范围是0-33；母鸡最多20只，最少0只，即母鸡的范围是0-20；有了公鸡母鸡，小鸡数自然就是100-x-y只。可能的方案一共有34*21种，在这么多的方案中，可能有一种或几种正好符合相等的条件。

电脑怎样工作呢？计算机事实上就是将上述34*21种方案全部过滤一遍，找出符合百钱买百鸡条件的（也即上式），只要符合，这就是我们要的输出结果。

小结

这就是列举法，将可能的情况一网打尽；不过在应用过程中，我们最好还是做些优化，不然，要浪费好多没必要浪费的时间。

 

 

什么是递归

说白了递归就象我们讲的那个故事：山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故事，它讲的故事是：山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故事，它讲的故事是：……也就是直接或间接地调用了其自身。

就象上面的故事那样，故事中包含了故事本身。因为对自身进行调用，所以需对程序段进行包装，也就出现了函数。

函数的利用是对数学上函数定义的推广，函数的正确运用有利于简化程序，也能使某些问题得到迅速实现。对于代码中功能性较强的、重复执行的或经常要用到的部分，将其功能加以集成，通过一个名称和相应的参数来完成，这就是函数或子程序，使用时只需对其名字进行简单调用就能来完成特定功能。

函数又可分为自定义的和系统附带的，但不管是自定义的还是系统的，他们都对相应的功能进行了封装，以利于我们经常性地使用。例如我们的对一个小数取整数INT()函数，不论什么样的小数，往（）中一放，将来得到的值就自动将小数去除了。函数执行完将返回一个值，当然这个值可以是各种类型的，子程序仅仅执行一个过程，不返回数值。

函数和子程序是执行递归的干将。

示例：小猴吃枣

小猴第一天摘下若干枣子，当即吃掉了一半，不过瘾又多吃了一个；第二天吃了剩下的一半又多吃了一个；以后每一天都吃了前一天剩下的一半多一个。到第十天小猴再想吃时，见到只剩下一只枣子了。问第一天这堆枣子有多少？

从上题中我们可看到一个令人欣喜的规律，第十天为1，第九到第一天中后一天与1的和的两倍与前一天相等。

小结

函数和子程序是程序瘦身计划的一部分，通过它们可以使程序中的代码适当减肥，长度维持在一个更合理的位置。这种作用和循环的瘦身作用一起，使一个执行很长的代码可以变得很简洁。这也更适合我们利用计算机作为工具的目的：人类做尽量少的工作，计算机仍能解决原先的问题。

另一个奇妙之处是：他们创造了递归！

 

什么是分治法

为了解决一个问题，算法有时需不止一次地对自身进行调用，来解决相类似的子问题。这样的算法通常称为分治法：将原问题分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题。下面通过排序的一种方法来看一下。

希尔排序即是采用分治法来进行排序的，又称做缩小增量排序，其思想是：把已经在数组中的数据按下标的一定增量分组，对分出的每一小组使用插入排序，随着增量逐渐减小，所分成的组包含的数据越来越多，直到减小到1时，整个数据合并成一组，构成一组有序数，则完成排序。

示例：十个数，从大到小排序。

数据放在一个数组a(10)中，假如原始数据如下：70. 53. 57. 28. 30. 77. 1. 76. 81. 70，则排序过程如下：

增量值

5:    77. 53. 76. 81. 70. 70. 1. 57. 28. 30.

2:    77. 81. 76. 70. 70. 57. 28. 53. 1. 30.

1:    81. 77. 76. 70. 70. 57. 53. 30. 28. 1.

其中上面三个增量值对应的都是以该增量完成本轮排序后的情况，看增量为5时要和原始数据比较，增量为2的情况要和5比较，1要和2比较，这样其中的规律就清楚了。

小结

在进行希尔排序时，需注意增量序列的取值方法，并且使这些序列中的值没有除1之外的公因子，且最后一个增量值必须为1。

能解决问题的办法都是好办法，问题不一定整体解决才好。这就是分治的思想。

 

随机函数的出现

通过语言编程一般来说对事物的认识是很确定的了，是一就是一，是二就是二，还有一个问题，有一些不那么确定的事情该如何处理，象我们的彩票抽奖，如果是确定的了，那也就不用抽了，恐怕也就没人玩了。

对于这一类的事情，该怎么办呢？语言中为我们提供了随机函数，也就是说通过它得到的一个值将是不能确定的。

随机函数产生的秘密

计算机常常需要模拟随机选择的数目，有多种不同的方法可以产生具有随机性质的数，由于通过此种系统的方法产生的不是真正的随机数，所以一般称做伪随机数。最常用的产生伪随机数的方法称为线性同余法。公式如下，选择四个数：模数m，乘数a，增量c和种数x₀，使 2≤a<m, 0≤c<m, 0≤x₀<m,可以生成一个伪随机序列{x_n}，使得对于所有的n，0≤x₀<m。生成的办法是逐次同余：

x_n+1=(ax_n+c)mod m

应用和变通

随机函数有一个范围，即Rnd 函数返回小于 1 但大于或等于 0 的小数值。但通常我们要解的问题不在这个范围内，如何解决呢？

示例：最简单的抽奖程序，做一个猜1-100之间数的游戏。

因为随机函数的范围是一个0-1之间的小数，和题目要求的范围相差很大。所以，当我们用到的值不在这个范围之内时，我们可以想点变通的办法。要想做到从1-100之间进行取数，必须扩大100倍才行。不难计算RND*100的范围却不是1-100，而是0-100,不包括0和100，怎样就是1-100了呢？加上一就有了,范围成了1-101，不包括1和101，只要对得到的数只取整数，这个数只要这样表达就出来了。

小结

随机函数是程序设计中一道亮丽的风景。这个函数是非常有用的，她可能是计算机语言中唯一没有理性的东东了。就好象我们人类所具有的现省心的想法，妙手偶得之的佳句。正因为这个唯一性，也就不难看出她在计算机语言中的地位了。