平面最近点对

求点集中的最近点对有以下两种方法:

设p1=(x1, y1), p2=(x2, y2), …, pn=(xn, yn)是平面上n个点构成的集合S，设计算法找出集合S中距离最近的点对。

1、蛮力法（适用于点的数目比较小的情况下）

1）算法描述：已知集合S中有n个点，一共可以组成n(n-1)/2对点对，蛮力法就是对这n(n-1)/2对点对逐对进行距离计算，通过循环求得点集中的最近点对：

2）代码描述：

double MinDistance = double.maxvalue； //设置一个MinDistance存储最近点对的距离，初始值为无穷大

int PointIndex1,PointIndex2； //设置PointIndex1,PointIndex2分别存储最近点对的两个点编号

for (i=1; i< n; i++) //循环计算n(n-1)/2对点对的距离
{

for (j=i+1; j<=n; j++)
{

double PointDistance = Distance(S[i],S[j]); //求得point i和point j之间的距离

if PointDistance < MinDistance; //如果当前点对距离小于最小点对距离，则设置最小点对距离等于当前点对距离

{

MinDistance = PointDistance;

PointIndex1 = i;

PointIndex2 = j;

}

}

}

}
3）算法时间复杂度：算法一共要执行 n(n-1)/2次循环，因此算法复杂度为O(n²)

2、分治法

1）算法描述：已知集合S中有n个点，分治法的思想就是将S进行拆分，分为2部分求最近点对。算法每次选择一条垂线L，将S拆分左右两部分为SL和SR，L一般取点集S中所有点的中间点的x坐标来划分，这样可以保证SL和SR中的点数目各为n/2，

（否则以其他方式划分S，有可能导致SL和SR中点数目一个为1，一个为n-1，不利于算法效率，要尽量保持树的平衡性）

依次找出这两部分中的最小点对距离：δL和δR，记SL和SR中最小点对距离δ = min（δL，δR），如图1：

以L为中心，δ为半径划分一个长带，最小点对还有可能存在于SL和SR的交界处，如下图2左图中的虚线带，p点和q点分别位于SL和SR的虚线范围内，在这个范围内，p点和q点之间的距离才会小于δ，最小点对计算才有意义。

Figure 2

对于SL虚框范围内的p点，在SR虚框中与p点距离小于δ的顶多只有六个点，就是图二右图中的2个正方形的6的顶点。这个可以反推证明，如果右边这2个正方形内有7个点与p点距离小于δ，例如q点，则q点与下面正方形的四个顶点距离小于δ，则和δ为SL和SR中的最小点对距离相矛盾。因此对于SL虚框中的p点，不需求出p点和右边虚线框内所有点距离，只需计算SR中与p点y坐标距离最近的6个点，就可以求出最近点对，节省了比较次数。

（否则的话，最坏情形下，在SR虚框中有可能会有n/2个点，对于SL虚框中的p点，每次要比较n/2次，浪费了算法的效率）

代码描述：

1）对点集S的点x坐标和y坐标进行升序排序，获得点集Sx和Sy

2）令δ=∞; //δ为最小点位距离

3）Divide_conquer（Sx，Sy，δ） //分治法

if （Sx.count=1） then δ=∞; //如果Sx中只有一个点，则δ=∞

return δ;

else if（Sx.count=2 and d（Sx.[0],Sx.[1]）<δ） //如果Sx中只有2个点，则δ为两点之间距离

δ=d（Sx.[0],）Sx.[1]）;

return δ;

else //如果Sx中多于2个点，则将Sx,Sy分治，以中心点画线，将Sx分为左右两部分SxL和SxR，Sy分为SyL和SyR

j1=1,j2=1,k1=1,k2=1;

mid = Sx.count/2; //mid为Sx中的中间点点号

L = Sx.[mid].x; //L为Sx中的中间点x坐标

for(i=1,i<Sx.count,i++)

{

if(i<=mid) //将Sx中间线以左地方的点存入到SxL，新数组保持原来的升序性质

SxL[k1] = Sx[i] k1++;

else //将Sx中间线以右的地方的点存入到SxR，新数组保持原来的升序性质

SxR.count[k2] = Sx[i] k2++;

if(Sy[i].x <L) //将Sy中间线以左地方的点存入到SyL，新数组保持原来的升序性质

SyL[j1] = Sx[i] j1++;

else //将Sy中间线以右地方的点存入到SyR，新数组保持原来的升序性质

SyR[j2] = Sx[i] j2++;

}

δL = Divide_conquer（SxL，SyL，δ）; //获取Sx中的的最小点位距离δL

δR = Divide_conquer（SxR，SyR，δ）; //获取Sy中的的最小点位距离δR

δ= min (δL,δR);

δ=merge(SyL，SyR，δ); //获Sx中Sy交界处的最小点位距离，并综合δL和δR 求出点集的最小点位距离δ

return δ;

函数merge(SyL，SyR，δ)

merge(SyL，SyR，δ)

{

i1=1,i2=1;

for(i=1,i<SyL.count,i++) //获取SyL中在左边虚框(距离小于δ)内的点，存入到S'yL中，新数组保持原来的升序性质

{

if(SyL[i].x>L-δ)

then S'yL[i1]= SyL[i], i1++,

}

for(i=1,i<SyR.count,i++) //获取SyR中在右边虚框(距离小于δ)内的点，存入到S'yR中，新数组保持原来的升序性质

{

if(SyR[i].x<L+δ)

then S'yR[i2]= SyR[i], i2++,

}

t=1;

for(i=1,i<S'yL.count,i++)

{

while(S'yR[t].y< S'yL[t].yand t < SyR.count) //获取点集S'yR内距离点S'yL[t]y坐标最接近的点号

{ t++; }

for( j= max(1,t-3), j<=min(t+3,S'yR.count),j++) //计算S'yR中的点与S'yL[t]y坐标相邻的六个点的距离

{

if(d(S'yL[i],S'yL[j])<δ) //如果前两点之间距离小于δ

then δ = d(S'yL[i],S'yL[j]); //则最小点位距离δ为当前两点之间距离

}

return δ

}

3）算法时间复杂度：

首先对点集S的点x坐标和y坐标进行升序排序，需要循环2nlogn次，复杂度为O(2nlogn)

接下来在分治过程中，对于每个S'yL中的点，都需要与S'yR中的6个点进行比较

O(n)= 2O(n/2) + (n/2)*6（一个点集划分为左右两个点集，时间复杂度为左右两个点集加上中间区域运算之和）

其解为O(n)< O(3nlogn)

因此总的时间复杂度为O(3nlogn)，比蛮力法的O(n²)要高效。

分治法基础知识可参考http://blog.csdn.net/junerfsoft/archive/2008/09/25/2975495.aspx

改进算法可参考“求平面点集最近点对的一个改进算法”