常用算法一（分治算法）

一、基本概念

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

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二、基本思想及策略

分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

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三、分治法适用的情况

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

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四、分治法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：

Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0

2. then return(ADHOC(P))

3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk

4. for i←1 to k

5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi

6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题

7. return(T)

其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。

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五、分治法的复杂性分析

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：

T（n）= k T(n/m)+f(n)

通过迭代法求得方程的解：

递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当 mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

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六、可使用分治法求解的一些经典问题

（1）二分搜索

（2）大整数乘法

（3）Strassen矩阵乘法

（4）棋盘覆盖

（5）合并排序

（6）快速排序

（7）线性时间选择

（8）最接近点对问题

（9）循环赛日程表

（10）汉诺塔

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七、依据分治法设计程序时的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法

2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法

3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

七、应用示例

    /*分治法——归并排序 
     * 二路归并排序的分治策略是： 
    （1）划分：将待排序序列r1, r2, …, rn划分为两个长度相等的子序列r1, …, rn/2和rn/2＋1, …, rn； 
    （2）求解子问题：分别对这两个子序列进行排序，得到两个有序子序列； 
    （3）合并：将这两个有序子序列合并成一个有序序列。 
     */  
    public class MergeSort {  
      
        /** 
         * @param args 
         */  
        public static void main(String[] args) {  
            int a[] = { 21, 34, 56, 43, 99, 37, 78, 10 };// 这里对8个元素进行排序  
            int low = 0, high = 7;// 初始化low和high的值，即数组的起始和终止的坐标  
            // 辅助数组b，作为临时数组  
            int b[] = new int[a.length];  
            //输出排序前的数组  
            System.out.print("排序前：");  
            for (int i = 0; i <= high; i++) {  
                System.out.print(a[i] + " ");  
            }  
            // 归并排序  
            mergerSort(a, low, high, b);  
            //输出排序后的数组  
            System.out.print("排序后：");  
            for (int i = 0; i <= high; i++) {  
                System.out.print(a[i] + " ");  
            }  
        }  
      
        /** 
         * 分治和归并 
         *  
         * @param a 
         * @param low 
         * @param high 
         * @param b 
         */  
        public static void mergerSort(int a[], int low, int high, int b[]) {  
            int mid = 0;  
            if (low < high) {  
                mid = (high + low) / 2;// 分治位置,即将数组拆分的位置  
                mergerSort(a, low, mid, b);  
                mergerSort(a, mid + 1, high, b);  
                merger(a, low, mid, high, b);// 归并  
            }  
        }  
      
        /** 
         * 合并两个有序子序列 
         *  
         * @param a 
         * @param low 
         * @param mid 
         * @param high 
         * @param b 
         *            辅助数组 
         */  
        public static void merger(int[] a, int low, int mid, int high, int b[]) {  
      
            int i = low;  
            int j = mid + 1;  
            int p = 0;  
            // 合并两个有序数组 子序列1 a[low..mid] 子序列2 a[mid+1..high]  
            while (i <= mid && j <= high) {  
                b[p++] = (a[i] <= a[j]) ? a[i++] : a[j++];  
            }  
            // 如果子序列1没有合并完则直接复制到复制数组中去  
            while (i <= mid) {  
                b[p++] = a[i++];  
            }  
            // 如果子序列2没有合并完则直接复制到复制数组中去  
            while (j <= high) {  
                b[p++] = a[j++];  
            }  
            // 把辅助数组的元素复制到原来的数组中去  
            for (p = 0, i = low; i <= high; i++, p++) {  
                a[i] = b[p];  
            }  
        }  
    }