常用算法四（回溯算法）

1、概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

3、用回溯法解题的一般步骤：

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：

首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法应用示例：

八皇后问题的递归实现

public class Empress {  
      
    private int n ; //皇后个数  
    private int[] x ; //当前解  
    private long sum ; //当前已找到的可行方案数  
    private static int h ;      //记录遍历方案序数  
  
    public Empress(){  
        this.sum = 0 ;  //初始化方案数为1，当回溯到最佳方案的时候，就自增1  
        this.n = 8 ;    //求n皇后问题，由自己定义  
        this.x = new int[n+1];  //x[i]表示皇后i放在棋盘的第i行的第x[i]列  
        h = 1 ; //这个是我额外定义的变量，用于遍历方案的个数，请看backTrace()中h变量的作用，这里将它定义为static静态变量  
    }  
  
    public boolean place (int k){  
        for (int j = 1 ; j < k ; j++){  
            //这个主要是刷选符合皇后条件的解，因为皇后可以攻击与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子  
            if ( (Math.abs(k - j)) == (Math.abs(x[j]-x[k])) || (x[j] == x[k]) ){  
                return false ;  //如果是与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子，返回false;  
            }  
        }  
        return true ;//如果不是与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子，返回true;  
    }  
      
    public void backTrace (int t){  
        if (t > n){  //当t>n时,算法搜索到叶节点，得到一个新的n皇后互不攻击放置方案，方案数加1  
            sum ++ ;    //方案数自增1  
            System.out.println ("方案" + (h++) + "");  
            print(x);  
            System.out.print ("\n----------------\n");//华丽的分割线  
        }else { //当t<=n时，当前扩展的结点Z是解空间中的内部结点，该节点有x[i]=1,2，…,n共n个子结点，  
                //对于当前扩展结点Z的每一个儿子结点，由place()方法检测其可行性，  
                //并以深度优先的方式递归地对可行子树搜索，或剪去不可行子数  
            for (int i = 1 ; i <= n ; i++){  
                x[t] = i ;    
                if (place (t)){     //检查结点是否符合条件  
                    backTrace (t+1);    //递归调用                
                }  
            }  
        }  
    }  
      
    public void print (int[] a){    //打印数组，没啥的  
        for (int i = 1 ; i < a.length ; i++){  
            System.out.print ("皇后" + i + "在" + i + "行" +a[i] + "列、");  
        }  
    }  
      
    public static void main (String[] args){  
        Empress em = new Empress();  
        em.backTrace(1);    //从1开始回溯  
        System.out.println ("\n详细方案如上所示，"+"可行个数为:" + em.sum);  
    }  
}/*output:八皇后问题只有92种方案，这里只给出其中的三个方案 
方案1 
皇后1在1行1列、皇后2在2行5列、皇后3在3行8列、皇后4在4行6列、皇后5在5行3列、皇后6在6行7列、皇后7在7行2列、皇后8在8行4列、 
---------------- 
方案2 
皇后1在1行1列、皇后2在2行6列、皇后3在3行8列、皇后4在4行3列、皇后5在5行7列、皇后6在6行4列、皇后7在7行2列、皇后8在8行5列、 
---------------- 
        . 
        . 
        . 
方案92 
皇后1在1行8列、皇后2在2行4列、皇后3在3行1列、皇后4在4行3列、皇后5在5行6列、皇后6在6行2列、皇后7在7行7列、皇后8在8行5列、 
---------------- 
*///~  

分书问题：
有编号为 A、B、C、D、E 的 5 本书，以及 5 个人，每本书可以分给每一个对该书有兴趣的人阅读，且每个人都只能分到一本自己
感兴趣的书。问当给定 5 个人对 5 本书的感兴趣情况时，怎样分配这 5 本书才能让每个人都开始阅读。

思路：每次都尝试给第 p 个人从 5 本书中分出他感兴趣的一本，若不能构成最终解，则撤销回溯到上一个人（即第 p – 1 个人）的分配。
我们如下确定：
int bookCounts 表示书的总数量，与总人数相等
int like [p] [b] = 1 表示第 p 个人喜欢读第 b 本书，即具体的问题初始条件；
int given [b] = p 表示第 b 本书分给了第 p 个人，即保存解的标识数组；
注：在这里 p ，b （即下标）都从 0 开始，算法实现如下：

/**
  * 回溯法求解分书问题 
  * @author haolloyin
  */

 public class AllacateBooks {
     // 书的总数量，与总人数相等
     private int bookCounts = 5;

     // like[p][b]=1 表示第 p 个人喜欢读第 b 本书
      private int[][] like = new int[bookCounts][bookCounts];

    // given[b] = p 表示将第 b 本书分配给第 p 个人
      private int[] given = new int[bookCounts];

    // 初始化标识数组 given[] 和传入各人喜欢书的情况数组
      private void init(int like[][]) {
        for (int i = 0; i < bookCounts; i++) {
           given[i] = -1; // -1 表示第 i 本书还没分配出去
        }
          this.like = like;
      }

    // 尝试给每一个人分配一本书
      public void allocateBook(int person) {
        for (int bookNum = 0; bookNum < bookCounts; bookNum++) {
          if (like[person][bookNum] == 1 && given[bookNum] == -1) {
             given[bookNum] = person;
             if (person == bookCounts - 1) {
                // 打印结果
                for (int i = 0; i < bookCounts; i++) {
                 System.out.println("人 " + (given[i]+1) + " <---> 书 " + ((char)(i + 'A')));
                }
                System.out.println();
             } else {
               // 为下一个人分配一本书
               allocateBook(person + 1);
             }
            // 失败，回溯重新寻找解
             given[bookNum] = -1;
         }
       }
      }

 // 测试
   public static void main(String[] args) {
    // 构造一个问题规模
      int[][] like = new int[][]{
           { 0, 0, 1, 1, 0 },
           { 1, 1, 0, 0, 1 },
           { 0, 1, 1, 0, 1 },
           { 0, 0, 0, 1, 0 },
           { 0, 1, 0, 0, 1 }};
    AllacateBooks allocateBooks = new AllacateBooks();
    allocateBooks.init(like);
    allocateBooks.allocateBook(0);
   }
 } 
 对应于所给的问题规模，所得的解如下：

人 2 <---> 书 A
人 3 <---> 书 B
人 1 <---> 书 C
人 4 <---> 书 D
人 5 <---> 书 E

人 2 <---> 书 A
人 5 <---> 书 B
人 1 <---> 书 C
人 4 <---> 书 D
人 3 <---> 书 E

[实验目的]

综合运用数组、递归等数据结构知识，掌握、提高分析、设计、实现及测试程序的综合能力。

[实验内容及要求]

以一个M×N的长方阵表示迷宫，0和1分别表示迷宫中的通路和障碍。设计一个程序，对任意设定的迷宫，求出一条从入口到出口的通路，或得出没有通路的结论。

（1）根据二维数组，输出迷宫的图形。

（2）探索迷宫的四个方向：RIGHT为向右，DOWN向下，LEFT向左，UP向上，输出从入口到出口的行走路径。

[测试数据]

左上角（1，1）为入口，右下角（8，9）为出口。

0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	1	1	0	1
0	1	1	1	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	1
0	1	1	1	1	0	0	1
1	1	0	0	0	1	0	1
1	1	0	0	0	0	0	0

[实现提示]

可使用回溯方法，即从入口出发，顺着某一个方向进行探索，若能走通，则继续往前进；否则沿着原路退回，换一个方向继续探索，直至出口位置，求得一条通路。假如所有可能的通路都探索到而未能到达出口，则所设定的迷宫没有通路。

import java.util.*;
 
class Position{
    public Position(){
 
    }
 
    public Position(int row, int col){
        this.col = col;
        this.row = row;
    }
 
    public String toString(){
        return "(" + row + " ," + col + ")";
    }
 
    int row;
    int col;
}
 
class Maze{
    public Maze(){
        maze = new int[15][15];
        stack = new Stack<Position>();
        p = new boolean[15][15];
    }
 
    /*
     * 构造迷宫
     */
    public void init(){
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入迷宫的行数");
        row = scanner.nextInt();
        System.out.println("请输入迷宫的列数");
        col = scanner.nextInt();
        System.out.println("请输入" + row + "行" + col + "列的迷宫");
        int temp = 0;
        for(int i = 0; i < row; ++i) {
            for(int j = 0; j < col; ++j) {
                temp = scanner.nextInt();
                maze[i][j] = temp;
                p[i][j] = false;
            }
        }
    }
 
    /*
     * 回溯迷宫，查看是否有出路
     */
    public void findPath(){
        // 给原始迷宫的周围家一圈围墙
        int temp[][] = new int[row + 2][col + 2];
        for(int i = 0; i < row + 2; ++i) {
            for(int j = 0; j < col + 2; ++j) {
                temp[0][j] = 1;
                temp[row + 1][j] = 1;
                temp[i][0] = temp[i][col + 1] = 1;
            }
        }
        // 将原始迷宫复制到新的迷宫中
        for(int i = 0; i < row; ++i) {
            for(int j = 0; j < col; ++j) {
                temp[i + 1][j + 1] = maze[i][j];
            }
        }
        // 从左上角开始按照顺时针开始查询
 
        int i = 1;
        int j = 1;
        p[i][j] = true;
        stack.push(new Position(i, j));
        while (!stack.empty() && (!(i == (row) && (j == col)))) {
 
            if ((temp[i][j + 1] == 0) && (p[i][j + 1] == false)) {
                p[i][j + 1] = true;
                stack.push(new Position(i, j + 1));
                j++;
            } else if ((temp[i + 1][j] == 0) && (p[i + 1][j] == false)) {
                p[i + 1][j] = true;
                stack.push(new Position(i + 1, j));
                i++;
            } else if ((temp[i][j - 1] == 0) && (p[i][j - 1] == false)) {
                p[i][j - 1] = true;
                stack.push(new Position(i, j - 1));
                j--;
            } else if ((temp[i - 1][j] == 0) && (p[i - 1][j] == false)) {
                p[i - 1][j] = true;
                stack.push(new Position(i - 1, j));
                i--;
            } else {
                stack.pop();
                if(stack.empty()){
                    break;
                }
                i = stack.peek().row;
                j = stack.peek().col;
            }
 
        }
 
        Stack<Position> newPos = new Stack<Position>();
        if (stack.empty()) {
            System.out.println("没有路径");
        } else {
            System.out.println("有路径");
            System.out.println("路径如下：");
            while (!stack.empty()) {
                Position pos = new Position();
                pos = stack.pop();
                newPos.push(pos);
            }
        }
         
        /*
         * 图形化输出路径
         * */
         
        String resault[][]=new String[row+1][col+1];
        for(int k=0;k<row;++k){
            for(int t=0;t<col;++t){
                resault[k][t]=(maze[k][t])+"";
            }
        }
        while (!newPos.empty()) {
            Position p1=newPos.pop();
            resault[p1.row-1][p1.col-1]="#";
         
        }
         
        for(int k=0;k<row;++k){
            for(int t=0;t<col;++t){
                System.out.print(resault[k][t]+"\t");
            }
            System.out.println();
        }
     
 
    }
 
    int maze[][];
    private int row = 9;
    private int col = 8;
    Stack<Position> stack;
    boolean p[][] = null;
}
 
class hello{
    public static void main(String[] args){
        Maze demo = new Maze();
        demo.init();
        demo.findPath();
    }
}