网络流之--最小点权覆盖和最大点权独立集

    二分图最小点覆盖和最大独立集都可以转化为最大匹配求解。在这个基础上，把每个点赋予一个非负的权值，这两个问题就转化为：二分图最小点权覆盖和二分图最大点权独立集。

 

    二分图最小点权覆盖

    从x或者y集合中选取一些点，使这些点覆盖所有的边，并且选出来的点的权值尽可能小。

建模：

    原二分图中的边(u,v)替换为容量为INF的有向边(u,v)，设立源点s和汇点t，将s和x集合中的点相连，容量为该点的权值；将y中的点同t相连，容量为该点的权值。在新图上求最大流，最大流量即为最小点权覆盖的权值和。

 

二分图最大点权独立集

    在二分图中找到权值和最大的点集，使得它们之间两两没有边。其实它是最小点权覆盖的对偶问题。答案=总权值-最小点覆盖集。具体证明参考胡波涛的论文。

 

例：HDU1569

题意：一个m*n的棋盘，每个格子都有一个权值，从中取出某些数，使得任意两个数所在的格子没有公共边，并且所取去出的数和最大。求这个最大的值。

解：

    将格子染色成二分图，显然是求二分图的最大点权独立集。将问题转化为二分图最小点权覆盖来求解，最终结果=总权和-最大流。

/*
最大点权独立集：
转化为最小点权覆盖问题，最大点权独立集=总权值-最小点权覆盖集
最小点权覆盖：
设立源点s和t，s连边到点i，容量为i点的权值；点j连边到t，容量为j点权值；原二分图中的边容量为INF，求最大流即为最小点权覆盖。
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int INF = 0x7fffffff;
const int maxv = 2600;
const int maxe = 1000000;
int n,m;
int g[55][55];
struct Edge
{
    int v;
    int next;
    int flow;
};
Edge e[maxe];
int head[maxv],edgeNum;
int now[maxv],d[maxv],vh[maxv],pre[maxv],preh[maxv];
int start,end;

void addEdge(int a,int b,int c)
{
    e[edgeNum].v = b;
    e[edgeNum].flow = c;
    e[edgeNum].next = head[a];
    head[a] = edgeNum++;
    e[edgeNum].v = a;
    e[edgeNum].flow = 0;
    e[edgeNum].next = head[b];
    head[b] = edgeNum++;
}

void Init()
{
    edgeNum = 0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(d,0,sizeof(d));
}

int sap(int s,int t,int n)       //源点，汇点，结点总数
{
    int i,x,y;
    int f,ans = 0;
    for(i = 0; i < n; i++)
        now[i] = head[i];
    vh[0] = n;
    x = s;
    while(d[s] < n)
    {
        for(i = now[x]; i != -1; i = e[i].next)
            if(e[i].flow > 0 && d[y=e[i].v] + 1 == d[x])
                break;
            if(i != -1)
            {
                now[x] = preh[y] = i;
                pre[y] = x;
                if((x=y) == t)
                {
                    for(f = INF,i=t; i != s; i = pre[i])
                        if(e[preh[i]].flow < f)
                            f = e[preh[i]].flow;
                    ans += f;
                    do
                    {
                        e[preh[x]].flow -= f;
                        e[preh[x]^1].flow += f;
                        x = pre[x];
                    }while(x!=s);
                }
            }
            else
            {
                if(!--vh[d[x]])
                    break;
                d[x] = n;
                for(i=now[x]=head[x]; i != -1; i = e[i].next)
                {
                    if(e[i].flow > 0 && d[x] > d[e[i].v] + 1)
                    {
                        now[x] = i;
                        d[x] = d[e[i].v] + 1;
                    }
                }
                ++vh[d[x]];
                if(x != s)
                    x = pre[x];
            }
    }
    return ans;
}


void build()
{
    int i,j;
    for(i = 1; i <= m; i++)
    {
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            int t = (i-1)*n+j;
            if((i+j)%2)
            {
                addEdge(start,t,g[i][j]);
                if(i>1)
                    addEdge(t,t-n,INF);
                if(i<m)
                    addEdge(t,t+n,INF);
                if(j>1)
                    addEdge(t,t-1,INF);
                if(j<n)
                    addEdge(t,t+1,INF);
            }
            else
                addEdge(t,end,g[i][j]);
        }
    }
}

int main()
{
    int i,j;
    int result;
    while(scanf("%d %d",&m,&n) != EOF)
    {
        result = 0;
        Init();
        for(i = 1; i <= m; i++)
        {
            for(j = 1; j <= n; j++)
            {
                scanf("%d",&g[i][j]);
                result += g[i][j];
            }
        }
        start = 0;
        end = n*m + 1;
        build();
        printf("%d\n",result-sap(start,end,end+1));
    }
    return 0;
}