石子合并问题

[问题描述]：
　　设有n堆石子排成一排，其编号为1、2、3、…、n（n<=100）。每堆石子的数量用：a[1]、a[2]、…、a[n] 表示，现将这n堆石子归并成一堆，归并的规则：

◆每次只能将相邻两堆归并成一堆，即：第 1 堆石子 a[1] 只能与第 2 堆石子 a[2] 归并，最后一堆石子 a[n] 只能与 a[n-1] 归并，中间的石子 a[i] 只能与 a[i-1] 或 a[i+1] 归并；

◆每次归并的代价是两堆石子的重量之和。
　　我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100

      •按照贪心法，合并的过程如下：
        每次合并得分
        第一次合并  7  6   5   7    100   =11
   　  第二次合并  7   11     7   100=18
    　 第三次合并  18    7    100 =25
        第四次合并   25   100 =125

        总得分＝11＋18＋25+125＝179

       •另一种合并方案

        每次合并得分
  　    第一次合并  7  6   5   7    100   ->13
         第二次合并  13   5     7   100->12
         第三次合并  13    12    100 ->25
         第四次合并   25   100 ->125

         总得分＝13＋12＋25+125＝175

         显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。

　　　 

         如果N－1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解，那么经这样的N－1次合并后的得分总和必然是最优的。

　　   因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。

 

一：任意版
有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为的一堆石子的数量。设计一个算法，将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
此类问题比较简单，就是哈夫曼编码的变形，用贪心算法即可求得最优解。即每次选两堆最少的，合并成新的一堆，直到只剩一堆为止。证明过程可以参考哈夫曼的证明过程。
 所用的数据结构：
1、 是堆，取两次堆顶的最小元素，相加后再加入堆中，重复n-1次即可。
2、 两个队列，一个是原始的从小到大排序后的石子序列A。
　　　　　　  一个合并后的石子生成的序列B，
  注意：这两个序列都是有序的（从小到大），总是从它们中取出最小的两个相加到序列B。

二：直线版
在一条直线上摆着N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为将的一堆石子的数量。设计一个算法，将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
如果熟悉矩阵连乘对这类问题肯定非常了解。矩阵连乘每次也是合并相邻两个矩阵（只是计算方式不同）。那么石子合并问题可用矩阵连乘的方法来解决。
那么最优子结构是什么呢？如果有N堆，第一次操作肯定是从n-1个对中选取一对进行合并，第二次从n-2对中选取一对进行合并，以此类推……

分析：我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。

设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的总数量。那么就有状态转移公式：
dp[i, j] = 0; (i=j)
dp[i, j] = min{ dp[i, k] + dp[k+1, j] } + sum[i, j]; (i != j)

public int minCost(int[] A) {
	int n = A.length;
	int[][] f = new int[n][n];
	int[] sum = new int[n];
	for(int i=0; i<n; i++) {
		sum[i] = (i>0?sum[i-1]:0) + A[i];
	}
	for(int i=0; i<n; i++) {
		Arrays.fill(f[i], Integer.MAX_VALUE);
		f[i][i] = 0;
	}
	for(int w=2; w<=n; w++) {		// sliding window size
		for(int i=0; i<=n-w; i++) { // window start position
			int j = i+w-1;			// window end position
			int sumij = sum[j] - (i>0?sum[i-1]:0);
			for(int k=i; k<j; k++) {
				f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k+1][j] + sumij);
			}
		}
	}
	return f[0][n-1];
}

 
三：圆形版
如果石子是排成圆形，其余条件不变，那么最优值又是什么呢？
因为圆形是首尾相接的，初一想，似乎与直线排列完全成了两个不同的问题。因为每次合并后我们都要考虑最后一个与第一个的合并关系。直线版的矩阵连乘对角线式的最优子结构不见了。f(i, j)表示i-j合并的最优值似乎并不可行，因为我们可以得到的最优值第一步就是第一个与最后一个合并，那么f(i, j)并不能表示这种关系。
修改一下，f(i, j)表示从第i个开始，合并后面j个得到的最优值。sum(i, j)表示从第i个开始直到i+j个的数量和。那么这个问题就得到解决了。注意要把其看成环形，即在有限域内的合并。

破圆化直：将圆形的石子归并化为直线型石子归并。
方法是：将原来的石子长度增加一倍，加在原来的后面，a[1]~a[n],a[1]~a[n],
求从1，2，3，~n开始的n个合并的最小值，最其中一个最小值即可。

状态转移方程为：

其中有：

#
上面第二类与第三类的代码复杂度都是O（n^3)，n为石子堆数目，那么还有没有复杂度更低的方法呢？有的。也是使用动态规划，由于过程满足平行四边形法则，优化后可以将复杂度降为O（n^2)。

 

Reference: 

http://jsezzxl.wicp.net/Problem_Show.asp?id=1221

http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/18039073

http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/18043897