二进制——负整数

原码
我们在初中时学的正负号，它们长得和加减号一样。比如：+5 表示正5，正号可以省略。负5写成-5, 负号不可以省略。

计算机中，一切数据都是用0和1表示, 正负号也是如此,0表示正号,1表示负号。

一个整数(int）是4个字节，也就是有32位，当仅考虑正整数时，32位都用来表示绝对值的大小，但现在我们需要考虑正负，所以，很自然的，我们要占用一个位来表示正负号。这样，就只剩下31位来表达数的绝对值大小。并且，就像-5中的负号写在最左边一样，计算机采用最左边的那位——专业一点称为：最高位——来表示正负号，重复一下：0表示正号，1表示负号。

（作业：请思考，为什么要用0，而不是1来表示正号？）

如果仅仅根据以上的知识，我们先可以想一下整数中，+1 和 -1 如何用二进制表示（纯粹为了不眼晕，这次我每个字节间加一个空隔）：

00000000 00000000 00000000 00000001 (+1)

10000000 00000000 00000000 00000001 (-1)

区别就是最高位，1个是0,表示正号，1个是1,表示负号……除了这32位实在太长了些以外，一切都很直观嘛！红色的0表示正号，红色的1表示负号。这就是二进制的原码的表示法。

有关计算机正负表达的问题，似乎就这样搞定了，传说中的二进制也没有什么复杂的嘛……且慢！请回想一下，我们为什么要采用二进制？原因在于机器“喜欢”读二进制。所以在最高位用0或1来表示正负的方法，对人倒是直观，但机器却有怨言。

首先来看，0 这个数如何表达？代数老师教育我们，0是个两面派，+0 和 -0 都是0。当用原码来表达0时，这一点也得到直观的体现，请看：

00000000 00000000 00000000 00000000 (+0)

10000000 00000000 00000000 00000000 (-0)

计算机最喜欢的事是“确定”的事，最不喜欢的是“不确定”的事。所以，在“机器语言”这个层面上，对一个数有两种表达方法，这是不可接受的。

这里我们要抬杠一下，说：机器又不是人，它没有感情，我们就强制这样规定不就得了？

真正不能接受的，是运行效率。一个数字有两种表达方法，会造成计算机在判断一个数是不是0时，需要判断两次。

另一个问题就更严重了——在说这个严重问题之前，我们先复习一下小学算术课的竖式加法，请注意，时光倒流，我们回到小学的十进制年代：

123

234 +

----------

347

没有哪位看不懂这个竖式吧？下面我们会遇上好几次这样的竖式，重要的变化是除非特别说明，否则其中加数1、加数2以及和，都是二进制的。并且为了大家计算方便，需要时，我们会在二进制后面，添加一对括号()，其内写上对应的十进制数，或者更详细的说明。

现在来说那个严重问题。假设有+1和-1两个数，计算机如果要相加这两个数，结果将不正确：

00000000 00000000 00000000 00000001 (+1)

10000000 00000000 00000000 00000001 (-1) +

——————————————————－－－－

10000000 00000000 00000000 00000010 (-2)

算出的错误结果是 -2。显然，采用“原码”的话，简单的将各位相加并不能得出正确的结果。相反，必须将用于表示正负号的最高位，和其它位分别处理。由于计算机可处理的最小内存单位是字节这一，对单独一位进行处理，又是一件不利于性能的事情。

事情如何解决，如果是让我来处理，恐怕我没有答案，还好当初的计算机先辈都是数学专家。他们想到了用“补码”来表达负数的这样一个“神奇的”方法。

反码和补码
反码和补码，都仅对负整数而言。对于正整数，我们坚持用原码表示，或才可以认为，正整数的原码、反码和补码，都一个样（就是原码）。

什么叫补码？我们得先从“反码”说起。所谓的反码，就是指对于在负数的原码的基础上，除去最高位以外，其它位全部取反，而取反的意思，就是如果原来是1，变成0；原来是0，则变成1的过程。

假设有一个数，-1,用原码表示，则为：

原码：10000000 00000000 00000000 00000001

反码：11111111 11111111 11111111 11111110

反码中，红色的1是保持不变的符号位（负号）；蓝色的1或0,则是原码中对应位的取反所得。这就是-1的反码表示法。但这并不是我们要的最终结果。我们还需要进一步将反补变换为补码。

再强调一次：正整数的反码表示法不需要进行转换，它等同于原码。现在我们来考虑，如果采用反码，正负零的表示法分别是什么：

00000000 00000000 00000000 00000000 （+0的反码，没变，还是原码）

11111111 11111111 11111111 11111111 （-0的反码，全是1）

结论是用反码表达，0仍然有两种表示法，并且看上去差别更大了……，因此我们说了，反码只是临时产物，最终我们要的补码。

这个神秘的补码如何表达呢？其实很简单，有个公式：补码 = 反码 + 1。

当然，我们仍然要强调一下，对于正整数，补码就是原码。所以+0的补码仍然是0000 0000 0000 0000。而-0呢？它等它的反码加1,所以就是：

11111111 11111111 11111111 11111111 （负0的反码）

00000000 00000000 00000000 00000001 （正1） +

-----------------------------------------------------

00000000 00000000 00000000 00000000 （0）

可能你一下子有些反应不过来？为什么结果全是0了呢？我们说过了，二进制的世界里，数字只有0和1，因此相加时，肯定是逢2进1。如果你对“逢2进1”这个词有些似懂非懂，让我们想想十进制里的“逢10进1吧”，想像999 + 1 这个算式，写在竖式是：

999

   1 +

-------------------

1000

按照这个规则，你再算一下上面的那个竖式：

11111111 11111111 11111111 11111111 （负0的反码）

00000000 00000000 00000000 00000001 （正1） +

-----------------------------------------------------

100000000 00000000 00000000 00000000 （最前面有个1啊？）

最前面，不是有一个1吗？是有个1,但是这个1不在实际运行结果中，因为一个int占用4个字节，最多只能放得下32位我们所看到那个“最高位”的1,已经是超出32位了。就像一个水杯，最多只能放1升水，你再往里倒，只能“溢出”——啊，没错，请记住“溢出”这个计算机术语！

小时候，小伙伴间经常玩这种游戏：你说1,他就说2,你说999,他就说1000,你说1万,他就说1万零1……反正无论你说个多大的数，他就说一个比你大1的数，真是气倒我们……今天，我们学习了二进制，这种游戏可以有个结束了！计算机中的数据是要占用内存资源的。对于一个整数,当你说出“11111111 11111111 11111111 11111111”这个数时，对方就只能闭嘴了，因为若是在这个数上再加1,结果将是：0。


看看我们扯出一大堆话，稍稍回归一下，用补码表示时，正负零是不是一致的？正0自然是32个0,而负0呢？如前面所罗嗦的，它通过负0的反码,再加上1,得到补码，正好也是32个0。

第一个问题解决了，用补码表示时，0的正负数表达方法得到的结果一致！

（作业：请写出以下几个十进制整数的补码：-1、5、-5、-12、-302）

第二个问题，+1 加上 -1,运算过程是否简捷，结果是否正确。

00000000 00000000 00000000 00000001 （+1，补码就是原码）

11111111 11111111 11111111 11111111 (负1的补码) +

------------------------------------------------------------

00000000 00000000 00000000 00000000 （0）

运算过程就是简单把逐位相加，进位，运算结果：(+1) + (-1) = 0。完全正确！原来，第一个问题和第二个问题用到的竖式，是那么的相像。a+b 等于 b+a，加法交换率，我们很小就学会了。不过在这里，它们各有自己的代表的意义。

另外，我们也发现，原来在计算机整数运算中，并不需要特别的减法，仅需把减法换成对减数取负后的加法即可。比如9 - 8的运算过程，就是9 + (-8)的过程。