单位冲激函数（图）

上一回说到，单个矩形脉冲的时域波形如下图：

 

图1 单个矩形脉冲信号

根据傅里叶变换可求出其频谱函数

（1）

频谱函数的图像（频域分布曲线）如下图：

 

图2 单个矩形脉冲的频谱函数

一、特殊的单个矩形脉冲信号

如果我们令单个矩形脉冲信号的脉幅在数值上取

（2）

则无论脉宽τ 怎样变化，函数图象下面的面积恒等于1，即

（3）

如下图所示：

 

图3 特殊的单个矩形脉冲

这个特殊的单个矩形脉冲信号的数学表达式为

（4）

因而其傅立叶变换由式（1）得

（5）

这是一种最大幅值为1的抽样函数，其频域曲线如下图

 

图4 特殊的单个矩形脉冲的频谱

二、单位冲激函数的定义

对图3和式（4）表示的特殊的单个矩形脉冲，如果我们令脉宽τ趋于0，取极限，则单个矩形脉冲变成在t＝0处持续时间无限小、幅度无限大、面积仍为1的特殊信号（或广义函数）。科学界把这个广义函数叫做单位冲激函数或狄拉克（Dirac）函数。记为

（6）

单位冲激函数的图象如下图所示

 

图5 单位冲激函数的图象

单位冲激函数是一种广义函数，它的幅值为无穷大，图象只能用带箭头的射线表示。但通常不标出其幅值∞ ，而是只用括号标出其冲激强度（S），即面积。由式（3）和（6）可知其面积（冲激强度）为1，所以称之为“单位”冲激函数。此外，单位冲激函数的自变量不仅仅限于时间t，可以是任何物理量x 。

实际上还常用延迟的单位冲激函数，数学表达式如下：

（7）

其图象为

 

图6 延迟的单位冲激函数的图象

三、单位冲激函数的性质

根据单位冲激函数的定义，它具有下列最基本的性质：

1、广义积分归一性：

（8）

2、筛分性质：单位冲激函数与任意函数乘积，等于只筛选出t=t0时刻f（t）的值作为冲激强度。

（9）

3、抽样性质：

（10）

更一般地，有

（11）

即通过与δ函数（或延时的δ函数）乘积的积分，把任意的连续函数f（t）抽样为t＝t0处的一个函数值。

4、微积分性质：δ函数的累计积分等于单位阶跃函数ε（t）。

（12）

反过来单位阶跃函数的微商等于单位冲激函数：

（13）

其中单位阶跃函数为

（14）

其图象为

 

图7 单位阶跃函数的图象

四、单位冲激函数的频谱

由单位冲激函数的定义和抽样性质，其频谱密度函数（傅里叶变换）为：

（15）

频谱如下图：

 

图8 单位冲激函数的频谱

实际上，由式（5）和图5可以看出，当特殊的单个矩形脉冲信号的持续时间τ趋于无穷小时，频谱图5中的零点趋于无穷远处，即

（16）

则很容易看出图5的频谱曲线就转化成图8的水平线。可见单位冲激函数的频带宽度为无穷大，科学界称这样的频谱密度为“均匀谱”或曰“白色谱”。

五、连续函数的冲激表示

引进冲激函数概念，为信号的时域分析和频域分析提供了极大的方便。比如任何一个连续函数f（t）都可以表示为无穷多个不同加权的冲激函数之和，即加权积分：

（17）

单位冲激函数是连续函数与离散函数之间相互转换的桥梁，因此在工程技术尤其是IT领域至关重要。具体应用且听下回分解。

（作者：周法哲2009-7-13于广东）