小波变换网文精粹：傅里叶变换与小波变换（二）

小波变换网文精粹：傅里叶变换与小波变换（二）

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四、时频分析

对于平稳信号，傅里叶再好不过了。它反映的是信号总体的整个时间段的特点。在频率上，是点频的。而对于非平稳信号，它就无能为力了。而小波恰好对此派上用场。小波是反映信号，某个时间段的特点的。在频域上，是某个频率段的表现。但小波，作为频谱分析确实存在很多问题。但我们确实可以做出很多的小波满足这个特点。大家可以看冉启文的《小波变换与分数傅里叶变换》书，这里我不再赘述。还有，我们老是说小波是近似频域二分的，这在DSP上是怎样的，最近我也在思考。

五、压缩、消噪、特征提取

傅里叶变换的压缩，已经广泛应用了。它的简化版本就是DCT变换。而小波包的提出，也就使DCT有些相形见拙。首先，它提出代价函数，一般就是熵准则。其次，一个自适应树分解。再次，基于矩阵范数或较少位编码的稀疏化策略。这些使小波包的压缩近乎完美。小波包是从频域上实现的。从时域上，我们也可采用类似的分裂和并算法，来实现信号最优的表达，这种可变窗小波成为MALVAR小波。记住，压缩是小波最大的优势。

消噪，一般的傅里叶算法，一般可以是IIR滤波和FIR滤波。两者各有优缺点。而小波的消噪，一般也是由多层分解和阈值策略组成。我们需要的是信号的特点，噪声的特点，然后确定用不用小波，或用什么小波。这点上，小波的优势并不是很明显。

特征提取。这是小波的显微镜特点很好地运用。利用模极大值和LIPSCHITZ指数，我们可以对信号的突变点做分析。但这里面的问题也是很多。首先，在不同尺度上，噪声和信号的模极大值变化不同。再次，一般我们用求内积方法，求模极大值，而不用MALLET算法，或者改用叫多孔算法的东西来做。这点，我没任何体会，希望大家多讨论吧。

这里，我不能谈应用很多的细节。但我们必须明确：

1、你要对小波概念有着明确的理解。对诸如多分辨率，时频窗口与分析，框架，消失矩，模极大值，LIPSCHITZ指数等有着清醒地认识。

2、你必须考虑小波在此问题上的可行性，这点尤为重要，小波不是万能的。

3、你必须考虑什么样的小波是合适的。

4、你必须给出一个评价的标准。（熵准则，模极小则等）。

5、你必须确定一种算法，是用小波还是小波包或是类小波。（MALLET，直接求内积，多孔，模极大值重构）。

6、最后，你要把你做的效果还其他人的作比较，看看有没有优势。

7、自己编写几乎所有程序，不依靠TOOLBOX里任何的函数。（一些常用的除外）。这样相信你会获益不少。