具有无穷小的连续统（ continuum)或数轴

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回顾数学发展史，人们对（物理）连续统（Continuum）的认识不断深化，最后才将无穷小（Infinitesimals）逻辑地”吸纳”进连续统的概念。数学家们接受无穷小概念是长期而又痛苦的认识过程。

早在阿基米德（Archimede）时代，人们就使用无穷小的原始观念来进行几何量的“计算”（比如切线、面积与体积等）。经过历史资料的考证，“Infinitesismal(无穷小)”这个词是在1670年被德国大数学家莱布尼兹(Leibniz)首次使用。直到16世纪，SimonStevin引入”小数“（Decimal)表示法，为（实数）连续统（RealContinuum）奠定了基础。

实际上，莱布尼使在其著作中大量采用启发式的原则（heuristicprinciple）使用无穷小概念。整个18世纪，数学家们大量使用无穷小进行创作，取得了许多重要的研究成果，比如：欧拉（Euler)与拉格朗日（Lagrange)，哥西（Cauchy）等。这一历史时期，数学家们弄清了函数的连续性（Continuity）概念。康托尔（Cantor）与德得金（Dedekind)发展一种较为抽象的连续统概念。Pauldu Bois Reymond写了一大批关于富有无穷小的连续统（”infinitesimal-enriched continua“（连续统的复数)》的学术论文，影响了一大批数学家，比如：Emile Borel与Thoral Skolem等。

1934年，Skolem创立”非标准算术“（Non standard arithmetic），打响了新世纪”非标准模型“的第一炮。紧接着，1961年，A. Robinson将非标准模型引入数学分析（微积分），创建了连续统的非标准模型。至此，基于超实数*R（Hyperreals）的”an infinitesimal-enriched continuum“(富有无穷小的连续统)终于建立起来了。

这一切有什么实际意义呢？设想，在初级中学教授物理学的”质点运动“内容，如果采用富有无穷小的连续统数轴，效果如何？说句不该我说的话，这种非标准数轴（包含无穷小数量）已经严格地确立起来了，用与不用是你的事情。数学并没有国界。在非标准微积分里面，数轴原点O变成了零的单子（Monad(0))，其无穷小的倒数集合叫”无穷大“集合，也叫”银河（Galax）。奇怪的是，这些”银河“相互不能”连通“，只能遥遥相望，牛郎织女，各处一方。且听下回分解也。