算法导论 之 动态规划 - 装配线调度问题[C语言]

1 问题描述

现有两条装配线，Sij表示第i条上完成第j道工序的装配站。汽车完成组装需要依次完成1~n工序。请找出完成装配并离开装配线的最快路线。
符号说明：
①、ei：汽车进入装配线i的时间，i=1,2
②、xi：汽车离开装配线i的时间
③、aij：在装配站Sij完成装配需要的时间
④、tij：在装配站Sij完成后离开第i条装配线，进入另一条装配线需要的转移时间
注意，如果完成工序后，下一个工序还在同一条装配线上，则不需要转移时间。

图1 装配线调度

2 问题分析

我们用Fij表示在第i条装配线上完成第j道工序的最快时间，用F表示完成汽车装配并离开装配线的时间。如果知道F1n和F2n，则有

图2 最小装配时间

而要求出F1n和F2n，又需要知道F1n-1和F2n-1，从而有：

图3 展开公式

依次类推，可得如下递归公式：

图4 递归公式

3 问题求解

3.1 递归求解

递归求解的过程，可是使用如下的树形结构来表示：

图5 树形表示

每个节点里的符号，表示相应的问题，其孩子节点表示在求解该问题时需要求解的子问题。由此我们很容易得出，对于问题Fij，采用递归算法计算时，需要求解的次数为2^(n-j）。

3.2 动态规划

如果反过来，采用自下而上的方式来求解，把求解结果保存起来，后续的计算都依赖之前计算保存的结果，则可有效的减少重复计算，从而极大的提高求解效率。

我们再回头看看问题描述，并自下而上的方式来分析其处理过程：

第1行1列的最短耗时：ms[1][1] = e[1] + a[1][1]

第2行1列的最短耗时：ms[2][1] = e[2] + a[2][1]

第1行2列的最短耗时：ms[1][2] = min{ms[1][1], ms[2][1]+t[2][1]} + a[1][2]，并记录min{ms[1][1], ms[2][1]+t[2][1]}中更小值的行号

第2行2列的最短耗时：ms[2][2] = min{ms[1][1]+t[1][1], ms[2][1]} + a[2][1]，并记录min{ms[1][1]+t[1][1], ms[2][1]}中更小值的行号

第1行3列的最短耗时：ms[1][3] = min{ms[1][2], ms[2][2]+t[2][2]} + a[1][3]，并记录min{ms[1][2], ms[2][2]+t[2][2]}中更小值的行号

第2行3列的最短耗时：ms[2][3] = min{ms[1][2]+t[1][2], ms[2][2]} + a[2][3]，并记录min{ms[1][2]+t[1][2], ms[2][2]}中更小值的行号

....

第1行n列的最短耗时：ms[1][n] = min{ms[1][n-1], ms[2][n-1]+t[2][n-1]} + a[1][n]，并记录min{ms[1][n-1], ms[2][n-1]+t[2][n-1]}中更小值的行号

第2行n列的最短耗时：ms[2][n] = min{ms[1][n-1]+t[1][n-1], ms[2][n-1]} + a[2][n]，并记录min{ms[1][n-1]+t[1][n-1], ms[2][n-1]}中更小值的行号

第1行n列到终点最短耗时：ms[1][n+1] = ms[1][n] + x[1]

第2行n列到终点最短耗时：ms[2][n+1] = ms[2][n] + x[2]

此时如果想知道到达终点的最佳路径，只需比较ms[1][n+1]和ms[2][n+1]中哪个更小，并依据记录的且一列行号反推出最短路径。因整个计算过程中都将{最短耗时，前一列行号}对应的保存了起来，后续输入任何一个坐标，便能依据{最短耗时，前一列行号}找到前一列行号，根据前一行行号又能获取到对应的保存结果{最短耗时，前一列行号}，通过保存结果又可以获取到更前一列行号，依次类推，便能反推出从起点到达查询点的最佳路径，而此过程不用再做任何的耗时计算。

当装配线条数为rows(rows > 2), 装配站个数为cols(cols > 1)时，其处理过程类似：

第r行c列的最短耗时：ms[r][c] = min{ms{1][c-1] + t[1][c-1],ms{2][c-1] + t[2][c-1], ...,ms{r][c-1] + t[r][c-1], ..., ms[rows][cols] + t[rows][c-1]} + a[r][c].其中的同行的转移时间t[r][c-1]=0;

图6 装配示意图

4 代码实现

4.1 结构定义

①、宏定义值都可根据实际情况进行配置

#define DYNC_LINE_NUM       (2)     /* 装配线条数 */
#define DYNC_NODE_NUM       (6)     /* 各装配线装的装配节点（装配站）数 */

#define DYNC_IN_TM_MOD      (9)     /* 进组装线耗时取模 */
#define DYNC_OUT_TM_MOD     (9)     /* 出组装线耗时取模 */
#define DYNC_NODE_TM_MOD    (17)    /* 各结点装线耗时取模 */
#define DYNC_TRANS_TM_MOD   (9)     /* 切换组装线耗时取模 */

代码1 宏定义

②、结构定义

/* 耗时类型 */
typedef enum
{
    DYNC_IN_TM,                     /* 进组装线耗时 */
    DYNC_OUT_TM,                    /* 出组装线耗时 */
    DYNC_NODE_TM,                   /* 各结点装线耗时 */
    DYNC_TRANS_TM,                  /* 切换组装线耗时 */

    DYNC_TM_TYPE_TOTAL              /* 耗时类型 */
}DYNC_TM_TYPE_e;

/* 最优路由信息 */
typedef struct
{
    int spend;                      /* 当前最短花费时间 */
    int lrow;                       /* 上一节点所在行号 */
}dync_optmz_t;

/* 耗时信息表 */
typedef struct
{
    int *in;                        /* 进装配线耗时信息 */
    int *out;                       /* 出装配线耗时信息 */
    int *node;                      /* 各装配线结点耗时信息 */
    int *trans;                     /* 切换装配线耗时信息 */
}dync_time_t;

/* 动态规划结构体 */
typedef struct
{
    int rows;                       /* 装配线条数 */
    int cols;                       /* 单条装配线的结点个数 */
    
    dync_time_t time;               /* 装配线各时间消耗信息 */
    dync_optmz_t *optmz;            /* 最佳路由结果集 */
}dynamic_t;

代码2 结构定义

4.2 代码实现

/******************************************************************************
 **函数名称: dync_init
 **功    能: 动态规划初始化
 **输入参数: 
 **     rows: 装配线条数
 **     cols: 装配站个数
 **输出参数: 
 **     _dync: 动态规划对象
 **返    回: VOID
 **实现描述: 
 **     1. 为对象分配空间
 **     2. 设置各操作耗时情况表
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.06 #
 ******************************************************************************/
int dync_init(dynamic_t **_dync, int rows, int cols)
{
    dynamic_t *dync = NULL;

    do
    {
        /* 1. 为对象分配空间 */
        dync = (dynamic_t *)calloc(1, sizeof(dynamic_t));
        if(NULL == dync)
        {
            break;
        }

        dync->time.in = (int *)calloc(rows, sizeof(int));        /* 入装配线耗时: 个数与装配线条数一致 */
        if(NULL == dync->time.in)
        {
            break;
        }

        dync->time.out = (int *)calloc(rows, sizeof(int));       /* 出装配线耗时：个数与装配线条数一致 */
        if(NULL == dync->time.out)
        {
            break;
        }

        dync->time.node = (int *)calloc(rows*cols, sizeof(int)); /* 装配站耗时：装配线条数*装配站个数 */
        if(NULL == dync->time.node)
        {
            break;
        }
        
        dync->time.trans = (int *)calloc(rows*cols*rows, sizeof(int)); /* 转移耗时：装配线条数*装配站个数*装配线条数 */
        if(NULL == dync->time.trans)
        {
            break;
        }

        /* 长度+1是为了存储最后一个结点至出组装线的总时间 */
        dync->optmz = (dync_optmz_t *)calloc(rows*(cols + 1), sizeof(dync_optmz_t));
        if(NULL == dync->optmz)
        {
            break;
        }

        /* 2. 设置各操作耗时情况表 */
        dync->rows = rows;
        dync->cols = cols;
        set_time(dync->time.in, rows, cols, DYNC_IN_TM, DYNC_IN_TM_MOD);
        set_time(dync->time.out, rows, cols, DYNC_OUT_TM, DYNC_OUT_TM_MOD);
        set_time(dync->time.node, rows, cols, DYNC_NODE_TM, DYNC_NODE_TM_MOD);
        set_time(dync->time.trans, rows, cols, DYNC_TRANS_TM, DYNC_TRANS_TM_MOD);

        *_dync = dync;
        return 0;
    }while(0);

    /* 异常处理: 释放所有内存 */
    if(NULL != dync)
    {
        if(NULL != dync->time.in) { free(dync->time.in); }
        if(NULL != dync->time.out) { free(dync->time.out); }
        if(NULL != dync->time.node) { free(dync->time.node); }
        if(NULL != dync->time.trans) { free(dync->time.trans); }
        if(NULL != dync->optmz) { free(dync->optmz); }
        free(dync), dync=NULL;
    }
    return -1;
}

代码3 动态规划初始化

为了方便快速设置耗时信息，在此使用函数自动处理：

/******************************************************************************
 **函数名称: set_time
 **功    能: 设置耗时信息
 **输入参数: 
 **     rows: 装配线条数
 **     cols: 装配站个数
 **     type: 耗时类型
 **     mod : 耗时取模
 **输出参数: 
 **     node: 各装配站耗时
 **返    回: VOID
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.06 #
 ******************************************************************************/
void set_time(int *tm, int rows, int cols, int type, int mod)
{
    int row = 0, row2 = 0, col = 0, base = 0;

    switch(type)
    {
        case DYNC_IN_TM:
        case DYNC_OUT_TM:
        {
            printf("\nIN/OUT TIME:\n");
            for(row=0; row<rows; row++)
            {
                tm[row] = 0;
                while(0 == tm[row])
                {
                    tm[row] = random()%mod;
                }
                printf("[%03d] ", tm[row]);
            }

            printf("\n\n");
            break;
        }
        case DYNC_NODE_TM:
        {
            printf("\nNODE TIME:\n");
            for(row=0; row<rows; row++)
            {
                printf("[ROW:%02d]\n", row);
                for(col=0; col<cols; col++)
                {
                    while(0 == tm[row*cols + col])
                    {
                        tm[row*cols + col] = random()%mod;
                    }
                    
                    printf("[%03d] ", tm[row*cols + col]);
                }
                printf("\n");
            }
            printf("\n");
            break;
        }
        case DYNC_TRANS_TM:
        {
            printf("\nTRANS TIME:\n");
            for(row=0; row<rows; row++)
            {
                printf("[ROW:%02d]\n", row);
                for(col=0; col<cols; col++)
                {
                    base = row*cols*rows + col*rows;

                    printf("COL:[%03d]-", col);
                    for(row2=0; row2<rows; row2++)
                    {
                        tm[base + row2] = 0;
                        while((0 == tm[base + row2]) && (row != row2))
                        {
                            tm[base + row2] = random()%mod;
                        }

                        printf("[%03d] ", tm[base + row2]);
                    }
                    printf("\n");
                }
                printf("\n");
            }
            break;
        }
    }
}

代码4 耗时设置

    
/******************************************************************************
 **函数名称: dync_proc
 **功    能: 动态规划: 计算最短路径并存储
 **输入参数: 
 **     dync: 动态规划对象
 **输出参数: 
 **返    回: VOID
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.06 #
 ******************************************************************************/
void dync_proc(dynamic_t *dync)
{
    int *spend = NULL;
    dync_optmz_t *best = dync->optmz, *curr = NULL, **line = NULL, *prev = NULL;
    int curr_row = 0, row = 0, col = 0, min_spend = 0, min_row = 0;

    spend = (int *)calloc(dync->rows, sizeof(int));
    if(NULL == spend)
    {
        return;
    }

    line = (dync_optmz_t **)calloc(dync->rows, sizeof(dync_optmz_t*));
    if(NULL == line)
    {
        free(spend);
        return;
    }

    /* 逐列遍历 */
    for(col=0; col<dync->cols; col++)
    {
        memset(spend, 0, dync->rows * sizeof(int));
        
        if(col > 0)
        {
            /* 指向各行前一列 */
            for(row=0; row<dync->rows; row++)
            {
                line[row] = &best[row*(dync->cols+1) + col - 1];
            }
        }

        /* 逐行当前列遍历 */
        for(curr_row=0; curr_row<dync->rows; curr_row++)
        {
            curr = &best[curr_row*dync->cols + col];
            if(0 == col)
            {
                curr->spend = (dync->time.node[curr_row*dync->cols + col] + dync->time.in[curr_row]);
                curr->lrow = -1;
                continue;
            }
            
            /* 统计逐行前列至当前站点耗时 */
            for(row=0; row<dync->rows; row++)
            {
                spend[row] = (line[row]->spend
                    + dync->time.node[curr_row * dync->cols + col] 
                    + dync->time.trans[row * dync->cols * dync->rows + (col - 1) * dync->rows + curr_row]);
            }

            /* 查找最小耗时路径 */
            min_spend = spend[0];
            min_row = 0;
            for(row=1; row<dync->rows; row++)
            {
                if(min_spend > spend[row])
                {
                    min_spend = spend[row];
                    min_row= row;
                }
            }
            
            curr->spend = min_spend;
            curr->lrow = min_row;
        }
    }

    /* 计算装配线最后一节点至出站耗时 */
    for(row=0; row<dync->rows; row++)
    {
        prev = &best[row*(dync->cols+1) + dync->cols - 1];
        curr = &best[row*(dync->cols+1) + dync->cols];

        curr->spend = (prev->spend + dync->time.out[row]);
        curr->lrow = row;
    }

    /* 内存释放 */
    free(spend), spend=NULL;
    free(line), line=NULL;
    return;
}

代码5 动态规划计算

/******************************************************************************
 **函数名称: dync_show
 **功    能: 搜索并显示最佳路径
 **输入参数: 
 **     dync: 对象
 **     row: 行号
 **     col: 列号
 **输出参数: 
 **返    回: VOID
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.06 #
 ******************************************************************************/
void dync_show(const dynamic_t *dync, int row, int col)
{
    const dync_optmz_t *optmz = NULL, *prev = NULL;

    if(row >= dync->rows)
    {
        row = dync->rows - 1;
    }

    if(col > dync->cols)
    {
        col = dync->cols;
    }

    fprintf(stdout, "\n");
    optmz = &dync->optmz[row*(dync->cols+1) + col];

    fprintf(stdout, "[%d][%d] Total: %d\n", row, col, optmz->spend);
    
    while(col >= 0)
    {
        if(-1 == optmz->lrow)
        {
            fprintf(stdout, "[%02d][%02d]: CURR:%03d [PREV:L%02d-IN:%03d] | TOTAL:%03d\n",
                row, col,
                dync->time.node[row * dync->cols + col],
                optmz->lrow,
                dync->time.in[row],
                optmz->spend);
            break;
        }
        else if(dync->cols == col)
        {
            prev = &dync->optmz[optmz->lrow*(dync->cols+1) + (col-1)];
            
            fprintf(stdout, "[%02d][%02d]: OUT:%03d [PREV:L%02d-SPEND:%03d] | TOTAL:%03d\n",
                row, col,
                dync->time.out[row],
                optmz->lrow, prev->spend,
                optmz->spend);
        }
        else
        {
            prev = &dync->optmz[optmz->lrow*(dync->cols+1) + (col-1)];
            
            fprintf(stdout, "[%02d][%02d]: CURR:%03d [PREV:L%02d-SPEND:%03d-TRANS:%03d] | TOTAL:%03d\n",
                row, col,
                dync->time.node[row * dync->cols + col],
                optmz->lrow, prev->spend,
                dync->time.trans[optmz->lrow  * dync->cols * dync->rows
                            + (col - 1) * dync->rows + row],
                optmz->spend);
        }

        col--;
        row = optmz->lrow;
        optmz = &dync->optmz[optmz->lrow*(dync->cols+1) + col];
    }

    return;
}

代码6 显示路径

函数调用示例：

int main(int argc, const char *argv[])
{
    dynamic_t *dync = NULL;
    int ret = 0, row = 0, col = 0;

    if(3 != argc)
    {
        fprintf(stderr, "Please input arguments!\ndynamic 2 3\n");
        return -1;
    }

    row = atoi(argv[1]);
    col = atoi(argv[2]);

    ret = dync_init(&dync, DYNC_LINE_NUM, DYNC_NODE_NUM);
    if(0 != ret)
    {
        fprintf(stderr, "Initialize dync_proc failed!\n");
        return -1;
    }

    dync_proc(dync);

    dync_show(dync, row, col);

    return 0;
}

代码7 调用示例

4.3 结果展示

假设有5条装配线，每条装配线上有9个装配站，则有如下数据：

①、入装配线的耗时分别为：

图7 入装配线耗时

②、出装配线的耗时分别为：

图8 出装配线耗时

③、各装配线的装配站耗时分别为：

图9 各装配站耗时

④、各装配站切换装配线耗时分别为：

图10 切换装配线耗时

⑤、查找最佳路径

输入（4,8）的最佳路径是：起点->L01->L04->L01->L03->L03->L03->L03->L02->(4, 8)

图11 最佳路径

图12 路径绘制

作者： 邹祁峰

2014.03.07 18:00