微积分之屠龙宝刀学习笔记6——画函数图像：如何当个专家

chapter15：画函数图像：如何当个专家

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导数在画函数图像方面能否给我们一些帮助。如果已知某函数的导数在某处是个正数，表示通过该点的切线的斜率为正，或函数图像在该点的斜率为正，也就是该函数正在递增。反过来，如果都输在某处为负值，则表示该函数在递减（如下图）

 

所以，假如你身为某帐篷公司的财务经理，走进会议室向董事们作报告时说，“各位先生们女士们，我有个不太好的消息要报告给大家，我们的利润函数的导数目前是负值”。你马上就会看到董事们开始面色沉重，你的意思并不是说公司目前在赔钱，正好相反，大家还是赚钱，只不过公司的利润正在下滑。

 

要是函数在某个x值的导数既非正也非负，而是等于0呢？

这表示该函数既不递增，也不递减，而是停留在一个平台上。如果看看x的两侧之后，你会发现x可能位于高点，也可能位于低点，或者是一个转折点。但如来如何，经过该点的切线一定是水平的。

 

我们把导数等于0的那个x坐标，叫做“临界点”。

 

如果一个函数在各处都有定义，那么在该函数的高点或低点：f`（x） = 0

我们称高点为函数的局部极大值，低点为函数的局部极小值。

 

 

 
 

 

 

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二阶导数检测

刚才我们看到，若在点x = a，f'（x）=0，而且对x<a,f'（x）>0,表示此函数在a的左边是递减的，而对x>a,f'（x）<0，表示此函数在a的右边是递减的），则点x=a一定是函数f(x)的局部极大值。不过，每次都要在临界点左看右瞧，也真够烦人的。幸好，我们有一个代用办法，可以更快的知道该点是极大值还是极小值。

可以用著名的”二阶导数检测“。

 

 

 

凹性

如何度量曲线的凹性？也就是判断向上或向下凹？——二阶导数即可。

二阶导数是一阶导数的导数，也就是一阶导数的变化率；另一种说法是，它是切线的变化率，如果f”（x）是个正值，切线的斜率递增，也就是表示函数图形的凹口向上，如下图。

 如果二阶导数f”（x）是负值，表示切线的方向也在逐渐变化，斜率正在递减，因此曲线的凹口是向下的。

 如果f”（x）值很大，不管正负，都表示切线斜率的变化很大；反之，如果f”（x）值很小，表示切线斜率的变化很缓慢，图上个点的切线指着差不多同一个方向，因此曲线只是稍微弯曲。

曲线从凹口向上变成凹口向下，或者反之的点，我们成为拐点，在拐点上，只有两种情形：f”（x）=0，或f”（x）根本不存在。