进制转换

进制转换是人们利用符号来计数的方法，包含很多种数字转换。进制转换由一组数码符号和两个基本因素（“基”与“权”）构成。

一、正数
　　在高速发展的现代社会，计算机浩浩荡荡地成为了人们生活中不可缺少的一部分，帮助人们解决通信，联络，互动等各方面的问题。今天我就给大家讲讲与计算机有关的“进制转换”问题。
　　我们以（25.625）（十）为例讲解一下进制之间的转化问题。
1. 十 -----> 二
　　给你一个十进制，比如：6，如果将它转换成二进制数呢？
　　10进制数转换成二进制数，这是一个连续除2的过程：
　　把要转换的数，除以2，得到商和余数，
　　将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。
　　听起来有些糊涂？我们结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。
　　“把要转换的数，除以2，得到商和余数”。
　　那么：要转换的数是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余数是0。
　　“将商继续除以2,直到商为0……”
　　现在商是3，还不是0，所以继续除以2。
　　那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。
　　“将商继续除以2，直到商为0……”
　　现在商是1，还不是0，所以继续除以2。
　　那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，余数是1
　　“将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列”
　　好极！现在商已经是0。
　　我们三次计算依次得到余数分别是：0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是：110了！
　　6转换成二进制，结果是110。
　　把上面的一段改成用表格来表示，则为：
　　被除数 计算过程 商 余数
　　6 6/2 3 0
　　3 3/2 1 1
　　1 1/2 0 1
　　（在计算机中，÷用 / 来表示）
2. 二 ----> 十
　　二进制数转换为十进制数
　　二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方……
　　所以，设有一个二进制数：0110 0100，转换为10进制为：
　　下面是竖式：
　　0110 0100 换算成 十进制
　　" ^ " 为次方
　　第0位 0 * 2^0 = 0
　　第1位 0 * 2^1 = 0
　　第2位 1 * 2^2 = 4
　　第3位 0 * 2^3 = 0
　　第4位 0 * 2^4 = 0
　　第5位 1 * 2^5 = 32
　　第6位 1 * 2^6 = 64
　　第7位 0 * 2^7 = 0 ＋
　　---------------------------
　　100
　　用横式计算为：
　　0 * 2 ^ 0 + 0 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 0 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 + 0 * 2 ^ 7 = 100
　　0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位：
　　1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 = 100
3. 十 ----> 八
　　10进制数转换成8进制的方法，和转换为2进制的方法类似，唯一变化：除数由2变成8。
　　来看一个例子，如何将十进制数120转换成八进制数。
　　用表格表示：
　　被除数 计算过程 商 余数
　　120 120/8 15 0
　　15 15/8 1 7
　　1 1/8 0 1
　　120转换为8进制，结果为：170。
4. 八 ----> 十
　　八进制就是逢8进1。
　　八进制数采用 0～7这八数来表达一个数。
　　八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方……
　　所以，设有一个八进制数：1507，转换为十进制为：
　　用竖式表示：
　　1507换算成十进制。
　　第0位 7 * 8^0 = 7
　　第1位 0 * 8^1 = 0
　　第2位 5 * 8^2 = 320
　　第3位 1 * 8^3 = 512
　　--------------------------
　　839
　　同样，我们也可以用横式直接计算：
　　7 * 8^0 + 0 * 8^1 + 5 * 8^2 + 1 * 8^3 = 839
　　结果是，八进制数 1507 转换成十进制数为 839
5. 十 ----> 十六
　　10进制数转换成16进制的方法，和转换为2进制的方法类似，唯一变化：除数由2变成16。
　　同样是120，转换成16进制则为：
　　被除数 计算过程 商 余数
　　120 120/16 7 8
　　7 7/16 0 7
　　120转换为16进制，结果为：78。
6. 十六----> 十
　　16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这五个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。字母不区分大小写。
　　十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……
　　所以，在第N（N从0开始）位上，如果是是数 X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小为 X * 16的N次方。
　　假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢？
　　用竖式计算：
　　2AF5换算成10进制:
　　第0位： 5 * 16^0 = 5
　　第1位： F * 16^1 = 240
　　第2位： A * 16^2 = 2560
　　第3位： 2 * 16^3 = 8192 ＋
　　-------------------------------------
　　10997
　　直接计算就是：
　　5 * 16^0 + F * 16^1 + A * 16^2 + 2 * 16^3 = 10997
　　(别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15)
　　现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。
　　假设有人问你，十进数 1234 为什么是 一千二百三十四？你尽可以给他这么一个算式：
　　1234 = 1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0
7. 二 ----> 八
　　（11001.101）（二）
　　整数部分： 从后往前每三位一组，缺位处用0填补，然后按十进制方法进行转化， 则有：
　　001=1
　　011=3
　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：31，那么这个31就是二进制11001的八进制形式
　　小数部分： 从前往后每三位一组，缺位处用0填补，然后按十进制方法进行转化， 则有：
　　101=5
　　然后我们将结果部分按从上往下的顺序书写就是：5，那么这个5就是二进制0.101的八进制形式
　　所以：（11001.101）（二）=（31.5）（八）
8. 八 ----> 二
　　（31.5）（八）
　　整数部分：从后往前每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数，缺位处用0补充 则有：
　　1---->1---->001
　　3---->11
　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：11001，那么这个11001就是八进制31的二进制形式
　　说明，关于十进制的转化方式我这里就不再说了，上一篇文章我已经讲解了！
　　小数部分：从前往后每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数，缺位处用0补充 则有：
　　5---->101
　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：101，那么这个101就是八进制5的二进制形式
　　所以：（31.5）（八）=（11001.101）（二）
9. 十六 ----> 二 ；二 ----> 十六
　　二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十六进制数，反之亦然。
　　我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。
　　首先我们来看一个二进制数：1111，它是多少呢？
　　你可能还要这样计算：1 * 2^0 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。
　　然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，：8、4、2、1。即，最高位的权值为2^3 ＝ 8，然后依次是 2^2 ＝ 4，2^1＝2， 2^0 ＝ 1。
　　记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。
　　下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值（中间略过部分）
　　仅4位的2进制数 快速计算方法 十进制值 十六进值
　　1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F
　　1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E
　　1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D
　　1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C
　　1011 = 8 + 0 + 2+ 1 = 11 B
　　1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A
　　1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 9
　　....
　　0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1
　　0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0
　　二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。
　　如(上行为二制数，下面为对应的十六进制)：
　　1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011
　　F D ， A 5 ， 9 B
　　反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢？
　　先转换F：
　　看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这五个数），然后15如何用8421凑呢？应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。
　　接着转换 D：
　　看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8 + 4 + 1,即：1101。
　　所以,FD转换为二进制数，为： 1111 1101
　　由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。
　　比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数:
　　被除数 计算过程 商 余数
　　1234 1234/16 77 2
　　77 77/16 4 13 (D)
　　4 4/16 0 4
　　结果16进制为： 0x4D2
　　然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式： 0100 1101 0010。
　　其中对映关系为：
　　0100 -- 4
　　1101 -- D
　　0010 -- 2
　　同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。
　　下面举例一个int类型的二进制数：
　　01101101 11100101 10101111 00011011
　　我们按四位一组转换为16进制： 6D E5 AF 1B
编辑本段

二、负数
　　负数的进制转换稍微有些不同。
　　先把负数写为其补码形式（在此不议），然后再根据二进制转换其它进制的方法进行。
　　例：要求把-9转换为八进制形式。则有：
　　-9的补码为11110111。然后三位一划
　　111---->7
　　110---->6
　　011---->3
　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：367，那么367就是十进制数-9的八进制形式。
　　补充：
　　最近有些朋友提了这样的问题“0.8的十六进制是多少？”
　　我想在我的空间里已经有了详细的讲解，为什么他还要问这样的问题那
　　于是我就动手算了一下，发现0.8、0.6、0.2... ...一些数字在进制之间的转化
　　过程中确实存在麻烦。
　　就比如“0.8的十六进制”吧！
　　无论你怎么乘以16，它的余数总也乘不尽，总是余8
　　这可怎么办啊，我也没辙了
　　第二天，我请教了我的老师才知道，原来这么简单啊！
　　具体方法如下：
　　0.8*16=12.8
　　0.8*16=12.8
　　.
　　.
　　.
　　.
　　.
　　取每一个结果的整数部分为12既十六进制的C
　　如果题中要求精确到小数点后3位那结果就是0.CCC
　　如果题中要求精确到小数点后4位那结果就是0.CCCC
　　现在OK了，我想我的朋友再也不会因为进制的问题烦愁了！
　　下面是将十进制数转换为负R进制的公式：
　　N=(dmdm-1...d1d0)-R
　　=dm*(-R)^m+dm-1*(-R)^m-1+...+d1*(-R)^1+d0*(-R)^0
　　15=1*(-2)^4+0*(-2)^3+0*(-2)^2+1*(-2)^1+1*(-2)^0
　　=10011(-2)
　　其实转化成任意进制都是一样的
　　初学者最容易犯的错误！！！！！！！
　　犯错：（-617）D=（-1151）O=（-269）H
　　原因分析：如果是正数的话，上面的思路是正确的，但是由于正数和负数在原码、反码、补码转换上的差别，所以按照正数的求解思路去对负数进行求解是不对的。
　　正确的方法是：首先将-617用补码表示出来，然后再转换成八进制和十六进制（补码）即可。
　　注：二进制补码要用16位。
　　正确答案：：（-617）D=（176627）O=（fd97）H
　　负数十进制转换成八进制或十六进制方法
　　如（-12）10=（　）8=（　）16
　　第一步：转换成二进制
　　1000 0000 0000 1100
　　第二步：补码，取反加一　
　　注意：取反时符号位不变！　
　　1111 1111 1111 0100
　　第三步：转换成八进制是三位一结合：（177764）8
　　转换成十六进制是四位一结合：（fff4）16
编辑本段

C程序代码：（支持负进制）
　　#include <stdio.h>
　　#include <math.h>
　　main()
　　{
　　long n,m,r;
　　while( scanf( "%ld%ld",&n,&r)!=EOF){
　　if (abs(r)> 1 && !(n <0 && r> 0)){
　　long result[100];
　　long *p=result;
　　printf( "%ld=",n);
　　if (n!=0){
　　while(n!=0){
　　m=n/r;*p=n-m*r;
　　if (*p <0 && r <0){
　　*p=*p+abs(r);m++;
　　}
　　p++;n=m;
　　}
　　for (m=p-result-1;m>=0;m--){
　　if (result[m]> 9)
　　printf( "%c",55+result[m]);
　　else
　　printf( "%d",result[m]);
　　}
　　}
　　else printf( "0");
　　printf( "(base%d)\n",r);
　　} }
　　return 0;
　　}
　　以下为10进制以下转换。。。
　　用函数，可直接拷贝。。。
　　(VS2008环境下C++控制台代码)
　　#include "stdafx.h"
　　#include <stdio.h>
　　int x[100];
　　int jzzh(int y,int ml)
　　{
　　int i,j;
　　i=ml;
　　x[0]=0;
　　for(int a=1;;a++)
　　{
　　if(i!=0)
　　{
　　x[a]=i%y;
　　x[0]++;
　　}
　　else
　　break;
　　i=i/y;
　　}
　　return x[0];
　　}
　　int main(int argc, char *argv[])
　　{
　　printf("Hello, world\n");
　　long int y,ml;
　　long int a;
　　printf("请输入需要转换至进制数：");
　　scanf("%d",&y);
　　printf("请输入数字：");
　　scanf("%d",&ml);
　　jzzh(y,ml);
　　for(a=x[0];a>=1;a--)
　　printf("%d",x[a]);
　　printf("\n");
　　return 0;
　　}