所有关于函数式编程的介绍中都指明 lambda演算是函数式编程的数学基础。死了不少脑细胞研究了一下维基百科上关于lambda演算的介绍文章。
参考:http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus
普通的数学运算用这个纯抽象的符号演算来定义,计算结果只能在脑子里存在。所以写了点代码,来验证文章中介绍的演算规则。
我们来验证文章里介绍的自然数及自然数运算规则。说到自然数,今天还百度了一下,据度娘说,1993年后国家规定0是属于自然数。先定义自然数及自然数的运算规则:
用lambda表达式定义自然数(邱齐数)
0 := λf.λx.x
1 := λf.λx.f x
2 := λf.λx.f (f x)
3 := λf.λx.f (f (f x))
...
上面定义直观的意思就是数字n, 是f(x)的n阶函数。1就是f(x), 2就是f(f(x))....,严格来说,这样表述并不准确。其实每个邱奇数都是一个二阶函数,它有两个变量f和x。用二元命名函数来表达就是:
0 -> num0(f,x)=x
1 -> num1(f, x)=f(x)
2 -> num2(f,x)=f(f(x))
3 -> num3(f,x)=f(f(f(x)))
...
其中参数f是一个函数。这一段有点绕,但是不能理解这个,对后面的lambda演算理解会比较困难。
首先用递归法,定义邱齐数(自然数)
用代码表达就是:
NUM0=lambda f: lambda x:x
SUCC=lambda n: lambda f: lambda x: f(n(f)(x))
后面则是定义运算符,包括加法,乘法,减法和幂。维基文章里没有介绍除法,估摸着除法定义比较复杂,一时讲不清楚。那我们也不验证了。
################################################
#define number calculus rules
################################################
#define Church numeral inductively.
#0 := λf.λx.x
#1 := λf.λx.f x
#2 := λf.λx.f (f x)
#3 := λf.λx.f (f (f x))
#...
NUM0=lambda f: lambda x:x
SUCC=lambda n: lambda f: lambda x: f(n(f)(x))
#define Operator
PLUS=lambda m: lambda n: m(SUCC)(n)
MULT= lambda m: lambda n: m(PLUS(n))(NUM0)
#define predecessor to obtain the previous number.
PRED= lambda n: lambda f: lambda x: n(lambda g: lambda h: h(g(f)))(lambda u:x)(lambda u:u)
SUB=lambda m: lambda n: n(PRED)(m)
POW=lambda b: lambda e: e(b)
定义完了什么是自然数和自然数的运算子。那么自然数的运算,就可以用lambda演算的方式计算了。
问题是上面的定义都是抽象的符号演算,我们需要有一个编码器来把上面的抽象的Church numeral符号编码成可以人来阅读的形式,还需把人输入的数字解码成抽象符号。
################################################
#create encoder to input/output Church numeral
################################################
class LambdaEncoding:
@staticmethod
def encoding(exp,encoder):
return encoder().encoding(exp)
@staticmethod
def decoding(s, decoder):
return decoder().decoding(s)
class NumEncoder:
def encoding(self,num):
f=lambda x:x+1
return str(num(f)(0))
def decoding(self,s):
n=int(s)
num=NUM0
for i in range(n):
num=SUCC(num)
return num
嗯,有了编码器,就可以方便的来验证了。
################################################
#calculus demo
################################################
print("demo number calculus.\n"
"don't input large number,"
"it will cause to exceed maximum recursion depth!\n")
n1=input('input a number: ')
n2=input('input anohter number: ')
#decode string to Church numeral
num1=LambdaEncoding.decoding(n1,NumEncoder)
num2=LambdaEncoding.decoding(n2,NumEncoder)
#add
result=PLUS(num1)(num2)
print('{0} + {1} = {2}'.format(
n1,
n2,
LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder)))
#mult
result=MULT(num1)(num2)
print('{0} X {1} = {2}'.format(
n1,
n2,
LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder)))
#sub
result=SUB(num1)(num2)
print('{0} - {1} = {2}'.format(
n1,
n2,
LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder)))
#POW
result=POW(num1)(num2)
print('{0} ^ {1} = {2}'.format(
n1,
n2,
LambdaEncoding.encoding(result, NumEncoder)))
测试结果如下:
>>>
demo number calculus.
don't input large number,it will cause to exceed maximum recursion depth!
input a number: 4
input anohter number: 3
4 + 3 = 7
4 X 3 = 12
4 - 3 = 1
4 ^ 3 = 64
>>>
神奇吧。
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