自学算法之路

现在真的在自学算法，努力按照以下阶段复习中，争取做到倒背如流

首先，先介绍两本算法书：1.<Introduction to Algorithms>，这本是算法最 经典教材，几乎所有学习算法都用的这本书。2.<Mastering Algorithms with Perl>，因为本人极度喜欢Perl，所以推荐这本书，内容也不错。

以下归入正题：

第一阶段：练经典常用算法，下面的每个算法给我打上十到二十遍，同时自己精简代码， 

因为太常用，所以要练到写时不用想，10-15分钟内打完，甚至关掉显示器都可以把程序打 

出来. 

1.最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord) 

2.最小生成树(先写个prim,kruscal要用并查集，不好写) 

3.大数（高精度）加减乘除 

4.二分查找. (代码可在五行以内) 

5.叉乘、判线段相交、然后写个凸包. 

6.BFS、DFS,同时熟练hash表(要熟，要灵活,代码要简) 

7.数学上的有：辗转相除（两行内），线段交点、多角形面积公式. 

8. 调用系统的qsort, 技巧很多，慢慢掌握. 

9. 任意进制间的转换 

 

第二阶段：练习复杂一点，但也较常用的算法。 

如： 

1. 二分图匹配（匈牙利），最小路径覆盖 

2. 网络流，最小费用流。 

3. 线段树. 

4. 并查集。 

5. 熟悉动态规划的各个典型：LCS、最长递增子串、三角剖分、记忆化dp 

6.博弈类算法。博弈树，二进制法等。 

7.最大团，最大独立集。 

8.判断点在多边形内。 

9. 差分约束系统. 

10. 双向广度搜索、A*算法，最小耗散优先. 

 

 

相关的知识 

 

图论 

 

  路径问题 

        0/1边权最短路径 

        BFS 

        非负边权最短路径（Dijkstra） 

            可以用Dijkstra解决问题的特征 

        负边权最短路径 

        Bellman-Ford 

            Bellman-Ford的Yen-氏优化 

            差分约束系统 

        Floyd 

            广义路径问题 

            传递闭包 

            极小极大距离 / 极大极小距离 

        Euler Path / Tour 

            圈套圈算法 

            混合图的 Euler Path / Tour 

        Hamilton Path / Tour 

            特殊图的Hamilton Path / Tour 构造 

 

    生成树问题 

        最小生成树 

        第k小生成树 

        最优比率生成树 

        0/1分数规划 

        度限制生成树 

 

    连通性问题 

        强大的DFS算法 

        无向图连通性 

            割点 

            割边 

            二连通分支 

            有向图连通性 

            强连通分支 

            2-SAT 

            最小点基 

 

    有向无环图 

        拓扑排序 

            有向无环图与动态规划的关系 

 

    二分图匹配问题 

        一般图问题与二分图问题的转换思路 

        最大匹配 

            有向图的最小路径覆盖 

            0 / 1矩阵的最小覆盖 

        完备匹配 

        最优匹配 

        稳定婚姻 

 

    网络流问题 

        网络流模型的简单特征和与线性规划的关系 

        最大流最小割定理 

        最大流问题 

            有上下界的最大流问题 

                循环流 

        最小费用最大流 / 最大费用最大流 

 

    弦图的性质和判定 

 

 

组合数学 

 

    解决组合数学问题时常用的思想 

        逼近 

        递推 / 动态规划 

    概率问题 

        Polya定理 

 

 

计算几何 / 解析几何 

 

    计算几何的核心：叉积 / 面积 

    解析几何的主力：复数 

 

    基本形 

        点 

        直线，线段 

        多边形 

 

    凸多边形 / 凸包 

        凸包算法的引进，卷包裹法 

 

    Graham扫描法 

        水平序的引进，共线凸包的补丁 

 

    完美凸包算法 

 

    相关判定 

        两直线相交 

        两线段相交 

        点在任意多边形内的判定 

        点在凸多边形内的判定 

 

    经典问题 

        最小外接圆 

            近似O(n)的最小外接圆算法 

        点集直径 

            旋转卡壳，对踵点 

        多边形的三角剖分 

 

 

数学 / 数论 

 

  最大公约数 

        Euclid算法 

            扩展的Euclid算法 

                同余方程 / 二元一次不定方程 

                同余方程组 

 

    线性方程组 

        高斯消元法 

            解mod 2域上的线性方程组 

        整系数方程组的精确解法 

 

    矩阵 

        行列式的计算 

            利用矩阵乘法快速计算递推关系 

 

    分数 

        分数树 

        连分数逼近 

 

    数论计算 

        求N的约数个数 

        求phi(N) 

        求约数和 

        快速数论变换 

        …… 

 

    素数问题 

        概率判素算法 

        概率因子分解 

 

 

数据结构 

 

    组织结构 

        二叉堆 

        左偏树 

        二项树 

        胜者树 

        跳跃表 

        样式图标 

        斜堆 

        reap 

 

    统计结构 

        树状数组 

        虚二叉树 

        线段树 

            矩形面积并 

            圆形面积并 

 

    关系结构 

        Hash表 

        并查集 

            路径压缩思想的应用 

 

    STL中的数据结构 

        vector 

        deque 

        set / map 

 

 

动态规划 / 记忆化搜索 

 

  动态规划和记忆化搜索在思考方式上的区别 

 

    最长子序列系列问题 

        最长不下降子序列 

        最长公共子序列 

        最长公共不下降子序列 

 

    一类NP问题的动态规划解法 

 

    树型动态规划 

 

    背包问题 

 

    动态规划的优化 

        四边形不等式 

        函数的凸凹性 

        状态设计 

        规划方向 

 

 

线性规划 

 

常用思想 

 

    二分          最小表示法 

 

串 

 

    KMP                              Trie结构 

    后缀树/后缀数组            LCA/RMQ 

    有限状态自动机理论 

 

排序 

    选择/冒泡        快速排序        堆排序            归并排序 

    基数排序        拓扑排序        排序网络 

 

 

中级: 

一.基本算法: 

    (1)C++的标准模版库的应用. (poj3096,poj3007) 

    (2)较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706) 

二.图算法: 

    (1)差分约束系统的建立和求解. (poj1201,poj2983) 

    (2)最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195) 

    (3)双连通分量(poj2942) 

    (4)强连通分支及其缩点.(poj2186) 

    (5)图的割边和割点(poj3352) 

    (6)最小割模型、网络流规约(poj3308, ) 

三.数据结构. 

    (1)线段树. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750) 

    (2)静态二叉检索树. (poj2482,poj2352) 

    (3)树状树组(poj1195,poj3321) 

    (4)RMQ. (poj3264,poj3368) 

    (5)并查集的高级应用. (poj1703,2492) 

    (6)KMP算法. (poj1961,poj2406) 

四.搜索 

    (1)最优化剪枝和可行性剪枝 

    (2)搜索的技巧和优化 (poj3411,poj1724) 

    (3)记忆化搜索(poj3373,poj1691) 

 

五.动态规划 

    (1)较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等) 

        (poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034) 

    (2)记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185) 

    (3)树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140) 

六.数学 

    (1)组合数学: 

        1.容斥原理. 

        2.抽屉原理. 

        3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026). 

        4.递推关系和母函数.  

    (2)数学. 

        1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222) 

        2.概率问题. (poj3071,poj3440) 

        3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理) (poj3101) 

    (3)计算方法. 

        1.0/1分数规划. (poj2976) 

        2.三分法求解单峰(单谷)的极值. 

        3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070) 

        4.迭代逼近(poj3301) 

    (4)随机化算法(poj3318,poj2454) 

    (5)杂题. 

        (poj1870,poj3296,poj3286,poj1095) 

七.计算几何学. 

        (1)坐标离散化. 

        (2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用). 

            (poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004) 

        (3)多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335) 

        (4)几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)  

高级: 

一.基本算法要求:  

      (1)代码快速写成,精简但不失风格  

          (poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306) 

      (2)保证正确性和高效性. poj3434 

二.图算法: 

      (1)度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639) 

      (2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解) 

        (poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446 

      (3)最优比率生成树. (poj2728) 

      (4)最小树形图(poj3164) 

      (5)次小生成树. 

      (6)无向图、有向图的最小环    

三.数据结构.  

      (1)trie图的建立和应用. (poj2778) 

      (2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和 在线算法 

          (RMQ+dfs)).(poj1330) 

      (3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的 

          目的). (poj2823) 

      (4)左偏树(可合并堆).  

      (5)后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点). 

        (poj3415,poj3294) 

四.搜索  

      (1)较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426) 

      (2)广搜的状态优化:利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法. (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482) 

      (3)深搜的优化:尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法. (poj3131,poj2870,poj2286) 

五.动态规划  

      (1)需要用数据结构优化的动态规划. 

        (poj2754,poj3378,poj3017) 

      (2)四边形不等式理论. 

      (3)较难的状态DP(poj3133) 

六.数学  

      (1)组合数学. 

        1.MoBius反演(poj2888,poj2154) 

        2.偏序关系理论. 

      (2)博奕论. 

        1.极大极小过程(poj3317,poj1085) 

        2.Nim问题. 

七.计算几何学.  

      (1)半平面求交(poj3384,poj2540) 

      (2)可视图的建立(poj2966) 

      (3)点集最小圆覆盖. 

      (4)对踵点(poj2079) 

      八.综合题. 

      (poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263) 

 

初期: 

一.基本算法: 

    (1)枚举. (poj1753,poj2965) (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586) 

    (3)递归和分治法.                  

    (4)递推. 

    (5)构造法.(poj3295)            

    (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996) 

二.图算法: 

    (1)图的深度优先遍历和广度优先遍历. 

    (2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra) 

        (poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240) 

    (3)最小生成树算法(prim,kruskal) 

        (poj1789,poj2485,poj1258,poj3026) 

    (4)拓扑排序 (poj1094) 

    (5)二分图的最大匹配 (匈牙利算法) (poj3041,poj3020) 

    (6)最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436) 

三.数据结构. 

    (1)串 (poj1035,poj3080,poj1936) 

    (2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299) 

    (3)简单并查集的应用. 

    (4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash)    

        (poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503) 

    (5)哈夫曼树(poj3253) 

    (6)堆 

    (7)trie树(静态建树、动态建树) (poj2513) 

四.简单搜索 

    (1)深度优先搜索 (poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251) 

    (2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414) 

    (3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129) 

五.动态规划 

    (1)背包问题. (poj1837,poj1276) 

    (2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书 page149): 

      1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533) 

      2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列)    

        (poj3176,poj1080,poj1159) 

      3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题) 

六.数学 

    (1)组合数学: 

        1.加法原理和乘法原理. 

        2.排列组合. 

        3.递推关系. 

          (POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942) 

    (2)数论. 

        1.素数与整除问题 

        2.进制位. 

        3.同余模运算. 

          (poj2635, poj3292,poj1845,poj2115) 

    (3)计算方法. 

        1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122) 

七.计算几何学. 

    (1)几何公式. 

    (2)叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等). (poj2031,poj1039) 

    (3)多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交) 

        (poj1408,poj1584) 

    (4)凸包. (poj2187,poj1113)