海明码的初识

海明码是一位纠错码，即如果数据在传输过程中有一位出错，则可以知道出错的位数并通过取反将其改正过来。
海明码的基本意思是给传输的数据增加r个校验位，从而增加两个合法消息（合法码字）的不同位的个数（海明距离）。

海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。

码字(Code Word) 按如下方法构建：

1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)

2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)

3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性，其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。

位置1：校验1位，跳过1位，校验1位，跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)

位置2：校验2位，跳过2位，校验2位，跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)

位置4：校验4位，跳过4位，校验4位，跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)

位置8：校验8位，跳过8位，校验8位，跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)

…

如果全部校验的位置中有奇数个1，把该奇偶校验位置为1；如果全部校验的位置中有偶数个1，把该奇偶校验位置为0.

举例说明：

一个字节的数据：10011010

构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0

计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):

位置1检查1,3,5,7,9,11:

? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置1设为0，即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0

位置2检查2,3,6,7,10,11:

0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置2设为1，即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0

位置4检查4,5,6,7,12:

0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置4设为1，即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0

位置8检查8,9,10,11,12:

0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置8设为0，即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0

因此码字为: 011100101010.

查找并纠错一位错误

上例中构建了一个码字 011100101010，假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。方法就是验证每一个校验位。记下所有出错的校验位，可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来，对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置.

 

    看一道微软的面试题。

    面试题：

    把1K个苹果分到10个篮子里（当然苹果分到

    篮子里后就不能再动了，只能分一次）。
    要求：
    用这10个篮子能够组成1-1000任意一个数字 。

    这是个考察二进制思想的题目，让每个篮子里的苹果数等于二进制位的权重就可以了，即分别放1，2，4，8，……各苹果。

    换到海明码里也是这样，为了让r个校验码（r个篮子）表示n个信息位（n个苹果），且无论哪一位错误都能表示出来（能够组成任意一个数字），先将码字的位从左到右标号，分别为1，2，3，……。显然要将校验位安排在第1，2，4，8，……编号上，数据放在其他的编号上。为了能够将n位信息全部表示出来还应该有2r-1>=n。每个数据位影响几个校验位，譬如编号11

对应的数据影响编号1、2、8对应的校验位,因为11=1+2+8。为了更清楚理解上面的意思，让我们来看一个例子：将1001000编码成海明码。

    因为编号1、2、4、8处是校验位，所以3、5、6、7、9、10、11处是数据位，将要传输的数据与编号对应如下：

3    5    6    7    9    10    11

1    0    0    1    0     0    0

    数据位影响的校验位如下：

    编号3处的数据位影响编号1、2处的校验位，

    编号7处的数据位影响编号1、2、4处的校验位，

    经偶校验的校验位1、2的值为0，校验位4的值

    为1，其他校验位均为0。所以对应的海明码

    为：00110010000。