【转】负数在计算机中的表示

前言

最近在复习java基础，基本数据类型这一块涉及到负数在计算机中的表示。大学时期《计算机组成原理》已经基本都还给老师了，搜到一篇文章，说的很好，在此摘录部分内容。
感谢原文作者，原文链接：http://blog.csdn.net/njuitjf/article/details/4585247

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基本概念

原码：将一个整数，转换成二进制，就是其原码。如单字节的5的原码为：0000 0101；-5的原码为1000 0101。

反码：正数的反码就是其原码；负数的反码是将原码中，除符号位以外，每一位取反。如单字节的5的反码为：0000 0101；-5的原码为1111 1010。

补码：正数的补码就是其原码；负数的反码+1就是补码。如单字节的5的补码为：0000 0101；-5的原码为1111 1011。

在计算机中，正数是直接用原码表示的，如单字节5，在计算机中就表示为：0000 0101。负数用补码表示，如单字节-5，在计算机中表示为1111 1011。

 

疑问

这儿就有一个问题，为什么在计算机中，负数用补码表示呢？为什么不直接用原码表示？如单字节-5：1000 0101。

从软件上考虑

主要是从表示范围层面考虑

拿单字节整数来说，无符号型，其表示范围是[0,255]，总共表示了256个数据。有符号型，其表示范围是[-128,127]。

先看无符号，0表示为0000 0000，255表示为1111 1111，刚好满足了要求，可以表示256个数据。

再看有符号的，若是用原码表示，0表示为0000 000。因为咱们有符号，所以应该也有个负0（虽然它还是0）：1000 0000。

那我们看看这样还能够满足我们的要求，表示256个数据么？

正数，没问题，127是0111 1111，1是0000 0001，当然其它的应该也没有问题。

负数呢，-1是1000 0001，那么把负号去掉，最大的数是111 1111，也就是127，所以负数中最小能表示的数据是-127。

这样似乎不太对劲，该如何去表示-128？貌似直接用原码无法表示，而我们却有两个0。

如果我们把其中的一个0指定为-128，不行么？这也是一个想法，不过有两个问题：一是它与-127的跨度过大；二是在用硬件进行运算时不方便。

负数是采用补码表示。如单字节-1，原码为1000 0001，反码为1111 1110，补码为1111 1111，计算机中的单字节-1就表示为1111 1111。

单字节-127，原码是1111 1111，反码1000 0000，补码是1000 0001，计算机中单字节-127表示为1000 0001。

单字节-128，原码表示不出来，除了符号位，最大的数只能是127了，其在计算机中的表示为1000 0000。
或者这样理解，-127-1=10000001-1=10000000。

 

note：也可以从数据大小关系上来理解。
还是以单字节数据为例。有符号数中，正数的范围是[1,127]，最大的是127，不考虑符号为，其表示为111 1111；最小的是1，不考虑符号为，其表示为000 0001。

负数中，最大的是-1，我们就用111 1111表示其数值部分。后面的数据依次减1。减到000 0001的时候，我们用它标示了-127。再减去1，就变成000 0000了。还好我们有符号为，所以有两个0。把其中带符号的0拿过来，表示-128，刚好可以满足表示范围。

 

 从硬件上考虑

以上只是从软件的角度进行了分析，当然，从硬件的角度出发，负数使用补码表示也是有其原因的，毕竟计算机中，最终实现运算的还是硬件。主要原因有三：

1、负数的补码，与其对应正数的补码之间的转换可以用同一种方法----求补运算完成，简化硬件。

如：

                    原码                反码                补码

-127 -〉127    1000 0001  -〉 0111 1110  -〉 0111 1111

127 -〉-127    0111 1111  -〉 1000 0000  -〉 1000 0001

-128 -〉128    1000 0000  -〉 0111 1111  -〉 1000 0000

128 -〉-128    1000 0000  -〉 0111 1111  -〉  1000 0000

可以发现，负数和正数求补的方法是一样的。

 

2、可以将减法变为加法，省去了减法器。

在计算机中，我们可以看到，对其求补，得到的结果是其数值对应的负数。同样，负数也是如此。

运算中，减去一个数，等于加上它的相反数，这个小学就学过了。既然其补码就是其相反数，我们加上其补码不就可以了。

如：A - 127，

也就相当于：A + (-127)，

又因为负数是以补码的形式保存的，也就是负数的真值是补码，既然这样，当我们要减一个数时，直接把其补码拿过来，加一下，就OK了，我们也可以放心地跟减法说拜拜了！

当然这也涉及到类型转换的问题，如单字节128，其原码是1000 0000，其补码也是1000 0000。这样我们+128，或者-128，都是拿1000 0000过来相加，这样不混乱掉了？还好，各个编程语言的编辑器对有类型转换相关的限制。

如：（假设常量都是单字节）

1 + 128， 真值的运算是 0000 0001 + 1000 0000 ，如果你将结果赋值给一个单字节有符号正数，编辑器会提示你超出了表示范围。因为运算的两个数据是无符号的，其结果也是无符号的129，而有符号单字节变量最大可以表示的是127。

1 - 128，真知的运算是 0000 0001 + 1000 0000 ，因为-128是有符号，其运算结果也是有符号，1000 0001，刚好是-127在计算机中的真值。

 

3、无符号及带符号的加法运算可以用同一电路完成。

有符号和无符号的加减，其实都是把它们的真值拿过来相加。真值，也就是一个数值在计算机中的二进制表示。正数的真值就是其原码，负数的真值是其补码。所以，有符号和无符号由编译器控制，计算机要做的补过是把两个真值拿过来相加。