数学思想方法揭秘-1(原创)

 作者：王国波

 本系列在iteye上已停止维护，完整系列在本人简书网站数学思想方法揭秘-1(原创)。 

     本系列适合有志于在数学上悟大道的人士，作为数学思想方法论的启蒙。上士闻道勤而行之，要静下心来多实践多领悟。

    本系列为原创,有感于社会上非常多的家长和学生误以为数学和物理难学,不知道数学思想方法和思维方法的重要性。问题的主要原因是社会上、网络上和学校数学教育绝大多数都是误人子弟,偏重于教具体知识,缺少思想方法、思维方法、思维过程的教学。

    首先我们要知晓能力和知识的区别，能力培养和知识传授是教学的两个方面。我们的小初高和大学本科的教育一直是偏重知识的传授，忽视培养解决问题的能力，是跛腿式的教育，只有一条腿在走路，弱化学生思维方法的教育就导致知识也难以学好，即使掌握了很多知识也不会灵活运用，因为没有思想方法论和思维方法做指导，没有在思想上领悟开窍，即使掌握再多的知识仍是没有灵性的书呆子书袋子。没有思想作指导的思维是呆板的片面的胡思乱想，碰到难题往往就束手无策，无所适从，难以产生思路。不知道如何运用，再多的知识也难以转化成能力。思想是灵魂，锻炼出有思想方法做后盾的深度思考能力，有灵魂，知识才能如鱼得水，源头要有活水。至于为何在实际的教学中弱化思想方法的教学，本系列也有说明。

    数学思想方法是数学的灵魂,是数学领域的世界观和方法论，思想比形而下的知识和方法重要。不注重用正确的数学思想方法论来给学生洗脑，没有用正确的思想武装头脑，或根本就没思想，没有思想高度，这样的教学导致学生不同程度存在数学思维障碍。假传万卷书，另一个是数学思想方法书籍和文章在深度和广度不够，有的讲的不全面,有的不接地气太理论化,有的空泛如隔靴搔痒不透彻,高(形而上)不成低不就(形而下),所以根据自身自学数学的经验结合业余时间对一些小孩的数学辅导经历，创作了该系列。

    如何阅读：这个系列偏重讲数学思想方法和思想方法在解题思维过程中的具体运用，从第一篇也就是本篇开始按顺序读，反复多读几遍。

    数学知识在各行各业日常生活中都需要，都有渗透，数学的重要性不用多谈，数学可以给其他学科和各行各业赋能，学好了数学可以反哺其他领域，例如在理工科科研领域，可以运用各种数学知识和数学思维，即使不在科研领域，不需要使用高深的数学知识，我们从数学学习中锻炼熏陶出来的严谨/灵活/系统/批判的数学思维也有助于思考日常生活中的问题。数学是锻炼思维的体操，数学学习，如果不止于满足日常生活中的买菜购物等活动，除了学习基本的知识点之外，更重要的是训练培养良好的数学思维能力，用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。数学思维能力锻炼出来了，不限于数学研究领域，在各行各业中从事工作特别是科研工作都能受益。

思维能力的4个指标

如何才能称得上具有良好的高品质数学思维，其衡量标准主要有4点。

1.数学思维的灵活性

   数学思维必须具有灵活性，拒绝呆板。善于思考，能从多维度多视角去看问题思考问题，碰到难题时能迅速敏捷地调整解题思路/解题策略(广义上就是思维策略)，反思分析总结先前的方法中存在的问题，否定先前的方法，打破先前的思维定势做出调整或彻底改变，一计不成再生一计，迅速找到解题方向和解题方法。数学的灵活性要求必须真懂辩证法，而不只是在哲学中学过但不会在解题实践中运用，要在数学解题实践中运用辩证法来指导思维过程。

2.数学思维的批判性

   注意批判性不是贬义的那种批判或批评，它是指要有辨别力、洞察力、判断力，要有审慎思辨的态度，要讲理性讲逻辑。对已有的解题方法和理论不盲从，不迷信权威，能独立思考，有质疑并验证的习惯。例如在解题过程中根据题目的已知条件检查自己的解题思路，不断地对自己提问来验证自己的思路进而调整纠正取舍；学会对结果进行验算；多总结反思自己解题方法中的问题和不足，加以改进提高。

3.数学思维的严谨性

   思考问题符合逻辑无矛盾、严密、准确精确、考虑问题深刻全面无遗漏。

4.数学思维的广阔性

   思维开阔发散开放，能从多维度多方面多角度考虑问题，例如能一题多解。

   这4个指标是从多维度多层次多角度相互补充的。严谨性体现在逻辑思维上，体现在数学公式数学定理上，体现在塑造实事求是求真务实的态度上；灵活性，在思考问题时不能死板、不能循规蹈矩思维定势、僵化固化和机械教条，要有辩证思维，灵活变通，鲜活开放，系统全面，在数学学习中要深刻理解和运用辩证法和数学解题策略。讲辩证，这是一直被强调和提倡的，而形而上学机械教条，在书本上是经常被批驳的，但如果没有领悟到如何在具体实践中运用辩证法，辩证法很容易变成口头文字上的诡辩，高来高去，空对空不接地气。在本系列中，将主要从实践层面讲述如何把辩证法灵活应用到数学学习和解题思维过程中，让它落地变现，真正能指导实践。

   数学思维能力是如上所述的思维品质在解决问题等实践活动中的具体化和体现，是表象与内在的关系，虚与实的关系。如果思维能力不强，即使再有思维再有灵活性、批判性，面对问题也是束手无策，一筹莫展，抓不住问题的本质和关键，找不出解题方向和突破口，找不出规律和特征。

   在4个思维能力指标上要有长进，必须要用正确的数学思想方法来武装头脑，用它们来引导和驱动自己的思维，展现思维的严谨缜密、逻辑理性而又不失系统全面、灵活辩证、批判性。

数学思想方法

   碰到问题要先有方案和计划，要先搞清楚问题，先知道做什么，然后才是怎么做。对数学题，特别是难题，我们学的数学知识点通常是被动的，是工具，它没有驱动力和生命力或多少智慧，要靠解题方法来驱动它们，指挥它们，利用它们，来把它们串起来组织起来，而解题方法是怎么想出来的怎么探索出来的？

   思想是行动的指南，指明看问题的视角方向。数学思想就是数学的基本观点，是对数学概念和数学方法的本质认识。学的知识多并不意味就有智慧，并不意味会灵活运用。数学考试成绩好，甚至能在数学竞赛中获奖也并不表示数学真正好，真正好是要有智慧，也就是要能领悟到数学思维之道，而数学思想就是数学中的智慧和道，没有悟道，即使小初高阶段能获奖但没有悟道数学思维，也很可能后继乏力。

   大海航行靠舵手，数学思想方法是解决数学难题的金手指、敲门砖、思维的火花塞、金刚钻、桥梁纽带、鱼饵、药引子、催化剂、导火索，是黑暗中的指路明灯。很多数学难题和奥数题的解题方法是怎么想出来的？难题开头难或中间卡壳时，如何探索出解题方向解题思路和解题方法，其实这个也是有章可循的，真不需要有天才的头脑，就是靠一套数学思想方法(包括解题策略)来做指导，运用它们来推导探索出具体问题的解题突破口、解题方法和或看清问题本质，来做已知和未知(包括解题中间环节和答案结论)的沟通桥梁，来穿针引线建立几个对象之间的联系，来穿针引线形成解题思路和解题方法，最终把知识点串起来组织起来解决问题。星星之火可以燎原，对数学难题，没有数学思想方法这个火花，后面的熊熊大火也就是解题思路和解题方法难以产生，数学思想方法也类似小鸡破壳而出前关键的一啄，没有这一步，很难找到题目中隐藏的解题突破口和解题方向。

   训练良好的数学思维能力，主要是在教学中启发引导学生的思路，在教学中渗透数学思想方法，例如联想、类比、归纳、转化、抽象等思想方法，输贯数学思想方法，引导学生在分析问题解决问题过程中运用数学思想方法来探索出题目的解题方法。只有知识没有思想，在解题时对知识的运用是被动的，自发的，盲目的，局限的，而有了思想觉悟，解题就是主动的、自觉的、有意识的、辩证灵动的、高屋建瓴的、批判的、高观点指导下的。掌握了知识不一定掌握思想，例如掌握了方程知识，不一定具有方程思想，就看你是自发还是自觉使用方程来解题，如果在半迷糊蒙昧状态下使用，或还需要题目文字中用'方程'两个字来明确提示你才意识到，那就是自发，还没有这种思想意识，方程思想还没入心入脑。

   知识点是死的，对难题，像迷雾一样看不清前进的道路和方向，很多时候只能模糊猜测到要用哪些知识点，有的根本想不到要用哪些知识点或用上熟悉的知识点也解决不了问题，无法形成和展开自己的解题思路和解题方法，此时就需要有数学思想方法来拨云见日，做开路先锋探路者，来做问题域到解决方案域的桥梁和药引子，运用它们来探索出解题方法和解题过程，使解题方法呈现出来，由隐到显。在探索过程中随着解题方法的逐渐清晰和成形，此时感觉难题已经不太难了，思路脉络和解题方法已经变得清晰明朗可见了，像简单熟悉的题一样，此时自然而然就知道要运用哪些知识点，所以说知识点需要数学思想方法来盘活它们，否则它们就在你脑中沉睡。

   数学思想方法和解题策略是数学领域形而上的大道，是数学思维活动中的方法论和思想规律观点的总结概括。

   撇开高等数学，数学思想方法具体有哪些(有些是思维方式)，总结如下：

   观察、联想、类比 、归纳、演绎、抽象、分类/分组与整合&归并、枚举(穷举)、关系思想、网络化思想、转化(变换、化归）、逆向思维(反证法和反思反省/否定也属于逆向思维)、数形结合/形象思维、隐含条件思想(因果关系、挖掘隐藏的前提条件后置条件、充分必要条件。分析法和综合法也属于因果关系思想)、逻辑演绎推理、符号化思想、集合思想、方程思想、函数思想(对应&映射也属于函数思想)、假设法思想、平衡&中道思想、平均思想、特殊值&极值(临界值)思想(考虑特殊值或极端情况：最大值/最大情况、最小、特殊值、最优值和最优情况、最差值、最理想&最糟糕情况或值、边界&临界值、端点值) 、极限思想、估值思想、实验思想、对称思想和对偶思想、等价思想、算两次思想、周期思想、动态思维/运动过程思维/运动变化(发展变化)思想、阶段思想(过程&流程思想)&中途点思想、递推和递归思想、整体思想/整体观/系统思想、模型建模思想、模式识别思想、模糊思想、秩序/有序化思想、顺序思想、比较思想、归一化思想&比例思想、局部调整思想、逐步逼近(渐进)思想、优化思想、微积分思想、结构化思想、分层(层次)思想、构造法思想(包括重组整合)、算法思想、计算思想(通过计算运算来解题。数形结合中的数就意味着它包含有计算思想。另外有些关系、规律、特征在解题开始阶段看不出来，要经过计算之后才能凸显出来)、分而治之、概率思想&随机思想、采样思想、统计思想、编码思想&标识(编号)思想、功用(效应)思想、直觉思维、灵感思维、合理猜想&设想&想象、传递性思想、核心(中心)思想、对象化&概念化思想、反应思想(化学反应思想)、原子与元化思想、维度思想&最小维度思想、参数化思想、变中有不变思想、相对性思想、单位1思想&统一标准化思想、简单简洁之美思想。在小学阶段就应该开始数学思想方法启蒙，在高中阶段就应该领悟掌握这里面的绝大多数。

 解题策略：就是解题时遵循的总体方法和原则，一般是灵活的，辩证的，柔性的，对思维起到指导、调节、变通作用，在解题中对解题思路和方向进行调整。包括：辩证的转化策略（比如抽象-具体策略&抽象到具体-具体到抽象，碰到抽象问题，如果难以解决就想法具体化，碰到具体问题，如果难以解决就抽象化，一句话抽象不行就具体，具体不行就抽象，要灵活辩证地利用抽象和具体的辩证关系来进行转化变通、直接-间接、复杂-简单简化、一般-特殊、主要-次要、已知-未知、陌生-熟悉、正向-逆向、高次-低次、高维-低维、整体-局部、常量-变量、相等-不等，还有很多，例如内-外，数-形、矛-盾，都是根据辩证法辩证思维中的一些对立统一的概念和矛盾关系或关联关系来采取灵活的变通策略）、基于特征的思维&基于特征的解题策略、基于关系思想的解题策略、基于模式识别的解题策略、基于合理设想猜想的解题策略、基于意图的解题策略等。

  解题策略和数学思想是左右手的关系，好比太极图中的阴阳鱼，一刚一柔，相互配合，此消彼长，相互联系又相互调节制衡，达到一种动态的和谐平衡，一阴一阳之谓道。

   这些数学思想方法和解题策略可以说每一种都提供了思考问题/看问题的不同的视角或观点，从总体上，它们之间也有一定的层次关系和结构，如下图1，有些思想之间是相互渗透交融，其中关系思想和解题策略是最高层次的、形而上的数学思想方法，其他思想方法相对而言都是形而下的，都是从这两个具体化和派生出来的。这些视角或观点指引我们用不同的思维方式来看问题和思考问题，我们从这些思想方法提供的多个思维视角/观点中很可能就能洞见问题本质或解决问题的突破口，所以通过运用数学思想方法来探索难题的解题方法本质就在于此。没有哪种数学思想方法是万能的，在解决具体数学问题时，一般是综合运用多种数学思想方法，有机结合起来使用。

   从小学，初中到高中阶段，通过数学学习，我对这些数学思想方法都有较深的体会，主要是通过做题来体会运用这些数学思想方法，从做题的思维过程中总结提炼数学思想方法。

数学思想方法和解题方法的区别和关系

   数学思想方法和具体问题具体题目的解题方法的关系，就像渔和鱼，难题的解题方法是隐藏在浑水中的鱼，不能一眼看见它，洞见它，此时需要用渔把鱼钓出来，类似地，需要运用数学思想方法把解题方法找出来探索出来，数学思想方法是方法的方法。

   数学思想方法和具体问题的解题方法的关系，也可用另一种方式来比喻，是母与子的关系。数学思想方法是母，具体的解题方法是子，由母产子，要有一套数学思想方法论来做指导。不知母，焉知子？不知母的结果就是难产或产出歪瓜裂枣，就是难以高效地想出解题方法或想出来的是较繁琐的方法。但在我们的多年的教育中，不管是数学还是其他学科，不管是先前的应试教育和现在所谓的素质教育都不注重思想方法的培养。对语文教育例如写作，有写作思想方法论教学生如何写出一篇好作文的教学吗？在数学教育中，有数学思想方法的教学内容吗？不管是学校的教材和教学，以及各种校外奥数培训机构，几乎都不注重训练数学思想方法，最多是挤牙膏似的所谓渗透点数学思想方法，蜻蜓点水轻轻带过。大多教的是知识点和低级低层次的数学方法，例如分数的裂项法、方程的消元法、换元法、配方法，或者让学生死记结论公式，记题型。但学生不知道这些低层次的数学方法体现的是什么数学思想方法，例如不知道消元法体现的是转化这种数学思想，把未知转化成已知(例如把二元一次方程转化成先前学过的已知的一元一次方程)、把不熟悉转化成熟悉、把不好处理转化成好处理。知其然不知其所以然，碰到新的题型，低层次的方法存在较大局限性，适用范围有限，学生就束手无策，傻眼没新思路了，再说学生总要走上社会要独立解决新问题的。不是说这些不重要，这些是低层次的形而下的，有较大局限性，只教这些是不够的，要有普适性指导性强的数学思想方法。

   数学思想方法的三种层次：

 

图1

   前面说过关系思想和解题策略是数学思想方法的最高层次，在这张图中没有很好地体现这一点。

   思想理论指导实践。图1中低层次的数学方法在我们平常的教学中就有传授，它具有实践性，是包含有具体操作步骤的方法，适用面较窄(如待定系数法一般只在多项式分解中使用)，不具有方法论的意义，我们大多把它们称为数学方法而不是数学思想方法，较高层次的数学方法是属于逻辑学中的数学思维方法， 平常的教学中也有传授。而高层的数学思想方法具有理论指导性，适用面教广，层次高。低层和较高层的数学方法体现高层的数学思想，它们是数学思想方法在数学解题中落地实施的手段和工具。数学思想是数学方法的升华。

  在该系列中，我们主要讲述较高层次和高层次的数学思想方法，特别是高层次的数学思想方法。

  这些思想方法还可进一步划分为更精细的层次和结构，其中转化(化归、变化)和构造法是两种基本的思想方法，构造法思想也一定程度上体现了转化思想，所以大体上可以认为其他的数学思想方法都可归结为转化思想的一种实现手段，转化思想是最高的数学思想方法。

   万般神通皆小术，唯有空空是大道，道和术，每个学科每个领域都有形而上的道和形而下的术，都有一套方法论，就看你是否能悟道能领悟它们。先哲说过：以道莅天下，其鬼不神。掌握了大道，牛鬼蛇神还能神奇？  数学思想方法就是数学领域的大道，它不是阳春白雪，不是高高在上高不可攀，一般智力的学生静下心来通过正确思维训练和熏陶模仿，通过在解题中运用体会这些思想方法，大多数人是可以掌握的，即使在小学高年级也是可以学会大部分的，初中或高中理解掌握起来就更容易了，大学就太晚了。这一套数学思想方法论是一得永得，一悟永悟。领悟之后，在小学、初中、高中或以后都能用，其他理工科学习也能借鉴，数学思想方法论是终身受用。

数学思想方法与知识点的关系

    不是说数学知识点和低层次的数学方法不重要，它们是基础很重要。数学知识点和数学思想方法的关系好比鱼和水的关系：只有鱼没有水，那鱼会死，只有知识点，没有数学思想方法，知识点也是死的，不知怎么用到难题上，门都没有，解题思路都没有，还谈啥知识点，皮之不存，毛将焉附。只有水没有鱼，那就是一滩清水，只有数学思想方法却没有掌握足够的知识点和低层次的数学方法，那就是空谈清谈，巧妇难为无米之炊，有心无力，只有将没有兵。数学思想方法是金手指，指方向定战略找解题突破口，是高层次的，知识点和低层次的数学方法是战术执行，高低搭配良好配合才能解决难题。

    综上所述，真要有数学家的头脑或良好的数学思维能力，在数学思维过程中一定要有数学思想方法的教学和运用。那种阉割思维过程，不讲述思维过程，只注重具体题目的解题方法，不让学生明白和领悟解题方法是如何在思维过程中运用数学思想方法探索出来的教学方法，不给学生说明具体的数学方法(例如消元法)体现了什么数学思想方法，这些都是没有思想的教学方法，是教育的失败,是误人子弟。点石成金，有几个人不熟悉金子的，关键是金子怎么来的，是那个能点石成金的手指头，这样的手指头不容易拥有，这个是难点。对数学难题，如果给出了题目的解题方法和解题过程，相信大多数学生自己都能看懂，不需要老师花功夫讲解。但这个解题方法是怎么想出来的，把解题方法想出来的思维过程，这个才是关键才是难点，也是大多数老师和书籍讲不清楚或不愿意讲的，这样好比是直接给你鱼，不传授渔，给你金子而不训练你点石成金的手指头。如果要培养数学头脑数学思维，我们最需要的是点石成金的手指和渔，而不是金子和鱼，虽然金子和鱼也要，数学思想方法指导下的思维过程就是数学领域中的金手指和渔，但这个恰恰在教学过程中和学习实践中被忽视。没有思想的教育，造成培养出来的人自学能力和思维创新能力不足，缺少质疑和否定反思的习惯，绝大多数素质不高，很少有领军人物，这可能也是老校友钱学森提出世纪之问的一个原因。毕竟大多数人不可能自觉悟道数学思想方法，我们的教学方式，导致没有掌握数学思想方法的人很多，即使数学系的学生，还是其他专业的博士还是教授，无论是哪个学校，他们大多只是学的知识点多，就如同看的新闻多而已，没有深度，对数学思想方法有一些模糊朦胧的认识，没有领悟数学思想方法，难以欣赏数学之美。

数学思想方法的重要性

    讲个故事，曾有个学生，在初中开始自学数学，自己领悟数学思想方法。在80年代的农村学校，没有现在随处可见的参考书籍资料，没有网络和电脑，想提高只有自学。高中数学和物理几乎不听老师讲课，也不做老师的作业，因为一看就会，就靠自学几本有些零星数学思想的数学参考书，边学边总结领悟，在高中对数学思想方法有了较深入的领悟，也锻炼了自学能力。小初高数学一直非常好，喜欢研究总结解题规律和数学思想方法。

    那年是高考分数出来再填自愿，语文英语政治成绩一般。填自愿时曾想报考国际数学大师陈省身所在的南开大学数学系，因考虑到身体不好放弃了，听老师建议上了西交大。北大属于理科类大学，在工科类大学中，90年代以及之前，西交大实力只在清华之后。下图是1989年国家教委联合国家权威机构在报纸上公布的工科大学排名，不是现在社会机构的排名。老一辈有一些知道有这样一句话:'北有清华，南有交大'，指的是当时的上海交大，但50年代交大西迁，从上海搬到西安后，交大主体在西交，钱学森本科老师在西交。至于后来的衰落，主要是因为改革开放后经济发展、地理位置、资金投入等原因，孔雀东南飞是趋势。

 

 

  从高中二年级上学期开始接触某个和学习无关的领域，课余看那方面的书籍，有时下晚自习之后外去到河堤树林里练一会，没有多少考大学的焦虑和压力，还真不担心自己能不能考上大学。在大学阶段，更是痴迷于那个领域，很少去上课也很少去图书馆，去图书馆也主要是看那领域的杂志，即使上课也是心不在焉和中途逃课，大学4年绝大多数时间就是看那领域的书籍、打扑克升级和睡觉，学习没放在心上，也不觉得有必要放心上。大学考试时不只是数学，其他理工科课程考前突击学习几天就能考出不错的成绩，别人还以为是天才，数学竞赛也能获奖。数学思维上了层次，其他理工科课程也能受益。这些就是靠上大学之前通过数学思想方法锻炼出来的数学思维能力和自学能力，靠先前锻炼出来的深厚的数学思维内功。

    个人觉得真领悟了数学思想方法，真会自学，大学大多数理工科专业不难，至少本科，都是烂大街的知识，不需要老师教，自学就行，除非是很前沿的并且是没有书籍的才需要精通的老师传授和指点。另外真的把数学自学能力锻炼出来了，一般会识别书籍的质量好坏。理工科的书籍，看看目录，翻几页就知道书籍好不好，书籍作者的功底怎样，好的书籍有较完整的体系，对概念之间、知识点之间的区别与联系讲的比较清楚，对难点和重点讲的比较透彻，有一些方法论，有一定的思想深度，不能只有干巴巴的知识。学校给个课程表，有图书馆等资源，找好书自学比绝大多数老师教的效果好多了，并且还节约时间。

    毕业后6年转行到IT行业，也没觉得软件编程有多难，看了几本核心的书籍，半年就对软件知识体系熟悉了。虽然高中毕业后就没再钻研数学，几十年后，碰到小初高的难题和奥数题，虽然是没见过的题型，绝大多数题仍能运用数学思想方法探索出解题方法。即使是一些小学数学难题或奥数题，没有掌握扎实的数学思想方法和思维方法，博士教授也是束手无策无可奈何。真正数学好不只是难度大的考试分数高，这个只是必要不充分条件，充要条件是掌握数学思想方法，这个真掌握了，考试分数不在话下，考试成绩必然好。悟道了数学思想方法论，才能保证思维灵活上层次，才能反哺其他理工科课程的学习，要感觉学其他理工科课程也轻松，例如物理和其他理工科课程。理工科自学能力和多年后解决新题型数学难题的能力，以及是否能把数学思想方法与哲学思想融汇贯通，相互印证的能力，是验证自己是否真掌握数学思想方法，是否在数学领域真开窍真开悟以及悟道层次的一种有效方式。

   学校正规军都不注重数学思想方法，当今的校外奥数或学习培训机构很多，绝大多数家长自己也不懂的情况下，这些机构不注重数学思想方法训练也是理所当然。

   现在的年代接受初等教育和高等教育是很容易的，现在的文盲不是不识字和没知识的人，而是不会自学，不知道思想方法重要性的人，没有系统掌握思维方法，没有正确思想方法论的人。

是否有必要学奥数

  数学学习，我们除了要掌握数学知识点之外，学有余力且有兴趣在数学思维方面进一步提升自己的同学，在初高中阶段还要注重接受数学思想方法的熏陶和学习，这才是本，学奥数的主要目的也是为了领悟数学思想方法，通常奥数里面的数学思想方法的内容多一些，奥数题也比较适合用来阐释数学思想方法，当然并不一定只有奥数题才能起到这个作用，用一些简单的题或有些难度的题也适合用来阐释数学思想方法，所以学奥数是末，数学思想方法才是关键本质，不要本末倒置。

  大多奥数培训和数学思维培训都是本末倒置和挂羊头卖狗肉，不注重数学思想方法的奥数培训班很多，这就是在忽悠学生和家长，包括学而思新东方和线上的培训。缺少数学思想方法教育的奥数是走邪路，误人子弟。参加这样的培训班，当然比不参加的要强，但因为没有思想方法，所以只是短期有效果，不能走远，难以独立解决新的难题。另外即使打着数学思维培训的幌子，真正有水平的数学思想的培训很少。老师自身素质差是一个原因，本来就没几个悟道数学思想方法，另外即使悟道，有几个愿意去读师范？另一方面是有关部门不作为，教学大纲中缺少数学思想方法的教学，只提及从牙缝里渗透一点数学思想方法，至今没有初高中阶段的数学思想方法课本，只有纯教数学知识点的课本。对老师的数学思想方法的水平也没有作考核和要求。

哲学层面的理解

  数学思想方法是数学思维中的道，但还不是最高的道，它还只是具体学科中的道。哲学研究世界观和方法论，也就是形而上的道，这个就比数学中的道层次要高一些。科学的科学是哲学，任何具体科学或任何学问，没有上升到形而上的哲学层面（道），总是处于形而下（具体学科中的道和术），那通常说明这种科学和学问还没完全成熟，还不完美，境界还不够高，类似地，如果个体/个人没有悟道形而上的道，那就说明他的思维层次还不够高。这里我们来高大上一下，和哲学套下近乎，这些数学思想再升华到哲学上，就是辩证法辩证思维：矛盾观，矛盾对立统一，相互转化；联系观，万物普遍联系/关系，联系的多样性、普遍性、客观性等，联系是桥梁是纽带。以及运动发展观，整体观、质变量变、否定之否定。这些哲学思想必须要能指导具体科学，指导思考过程、帮助人们理解思维规律。

  联想、类比、归纳、抽象等等这些数学思想归根揭底是万物包括数学对象之间存在各种类型的联系和对立统一，才衍生出这些数学思想方法来反应联系的多样性和普遍性。

  即使是知识点和各种概念，也应该要融汇贯通，知晓它们之间的联系关系和区别，要有这样的习惯和意识。简单的如加法和乘法的联系，可能学生们觉得这个联系太简单了，以致于不重视这种习惯。其实应该给他们多讲几个深刻些的例子来重视培养这种习惯。例如，我在教小孩用抽屉原理解题时，忽然联想类比到平均数，意识到抽屉原理和平均数之间的关系，抽屉原理就是离散情况下的平均数，又给他补充讲解离散/量子和连续的区别和关系，借助连续情况下的平均数让他理解抽屉原理中有时加1有时不加1是为什么，这样就把零散的知识点连成片，融汇贯通形成知识网络知识体系结构，借助对容易理解的平均数，加深了对抽屉原理的理解掌握。在教小孩将军饮马问题时，同时教他光反射定律，将军饮马走的最短路线就是光反射时走的路线，告诉他光真聪明，将军或马如果是光，就会自动走最短线路，就不需要你来解将军饮马问题了，让他明白大自然的神奇，也让他明白事物之间存在各种关联和联想类比，再让他总结光反射和将军饮马中都有对称。

数学中研究各种关系包括数量关系，要善于观察发现题目中隐藏的关系，利用好关系。

真能了解万物的普遍联系，建立了关系网络，融汇贯通，没有孤岛，又加上没有知识盲点，那就会游刃有余，左右逢源，随心所欲，思维岂能不灵活？

   碰到问题时和解题碰壁时，要多方面多维度反思：反思先前的观察和审题的视角是否有问题，是否能从新的角度来观察和审题；反思是否用好和用足了已知条件和结论；反思先前的思想方法和解题行动。在反思基础上做出调整。

   数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,必须具有思维的发散性、灵活变通性：善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案，碰壁时能及时反思，调整变换思路，这就是解题策略或思维策略。

   思维要灵活变通，很大程度上离不开辩证思维，解题策略：如抽象化原则，利用抽象与具体的辩证关系来解题(抽象化原则：当觉得陷入具体化的泥潭中时，要对问题进行抽象，去粗取精去伪存真，过滤剥离一些非本质的噪声和干扰因素，得到本质的抽象的问题描述和本质的问题模型，在抽象的基础上进行研究，再把研究结果运用到原来的问题上；具体化原则：当对抽象的问题没有经验，缺少感性认识和理性认识时，以退为进，先研究具体的简单的简化的情况，得到感性认识、经验、启发、规律，有一些经验或理性认识之后再回到抽象问题上。总体上，灵活运用抽象和具体的关系进行变通就是一句话：抽象不行就具体，具体不行就抽象)，利用一般与特殊的辩证关系来解题。解题策略不全是辩证思维，一些解题策略如基于特征的思维、合理设想猜想、基于意图的思维等就不属于辩证思维，但通常在解题中要结合辩证思维。

    古代典籍例如道德经和易经中就处处体现辩证思维，例如道德经第二章中的'有无相生、难易想成'。反者道之动，我们要善于运用辩证法中矛盾的对立统一相互联系相互转化来解题。在解题过程中包括反思过程中，辩证法的矛盾观，对立统一，以及普遍联系观等都对我们的解题思维有助益和指导，在解题中要灵活运用如下存在对立统一辩证关系的概念来帮助思考问题，这是一套辩证思维词汇表，指导我们思考过程中的解题策略，勇于用开放的心态有意识的打破思维定势和机械教条，走出思维死胡同，多维度多角度全面思考问题，数学中特有的逆运算和概念以及存在相互联系、相互转化的、相对的、相反的概念和知识点就不列出了，例如加与减、加与乘、函数与反函数、方程与函数、方程&等式与不等式、抽屉原理与平均数（存在类比相似性）：

   对立与统一、互补与互斥、具体与抽象、特殊与一般、直接与间接、感性认识与理性认识、逻辑思维与直觉思维(逻辑与直觉)、个性与共性、泛化与窄化、同构与异构、模式与同构、融合与冲突(分歧)、现象(表象)与本质、原因与结果、条件与结论(题设、已知条件与目标结论/答案，证明题中的结论也相当于是已知条件)、充要条件与必要条件&充分条件、归纳与演绎、内容与形式、体与用、形而上与形而下、主要(关键、重点)与次要、平等与等级(尊卑、歧视)、自由与约束(制约)、孤立&独立与联系(联合)、依赖与独立、部分(个体/局部)与整体(群体、系统)、元素与集合、点与线、线与面、符合(满足)与违背违反（不成立）、质变和量变、定量与定性、包容与排斥、通用与专用、分裂&分类与统一、线性与非线性、灵活与呆板、破与立、进与退、粗略与细致、良性与恶性、肤浅与深刻、简单与复杂、难与易、已知与未知、熟悉与陌生、变量与常量、顺应与同化、障碍&矛盾与助益、（目标）意图与（功能）功用、变化与恒定(稳定)、严谨与猜想(想象设想)、严格与宽松、完备与欠缺、通用与专用、一元与多元(一与多)、增与减&递增与递减、高维与低维、目标意图与功能实现、美与丑、平衡与失调(倾向)、平均与参差、公平(均衡、中庸调和)与偏向、深度与广度、和谐与杂乱、耦合与解耦、松散与紧密、分解(单元化)与组合(聚和)、分析与综合、内(里)与外(表）、内在与外在、形(象)与质、主观与客观、主动与被动、自变量与因变量、绝对与相对、时间与空间、统一与分裂(分化)、偶然与必然、战略与战术、本(基础)与末、根源与末流、聚与散、先与后、头与尾、开始与结束、虚与实、新与旧、有与无、递推与递归、前驱与后继、过去与现在(未来)、先天与后天、无为与有为、平衡与失衡、来与往、凸与凹、直与曲、横向与纵向、数与形(象)、代数与几何、结构与功能、结构和性质、性质与特征、真与假、成与败、得与失、长与短、显与隐(潜)、明与暗、阴与阳、左与右、顺与逆、上与下、升维与降维、升次与降次、弱化(退化)与强化、叠加与分离、开放(开)与封闭(闭)、分(开)与合、分散(分布)与集中、发散与收敛&定向、宽泛与严格、允许与禁止、连续与离散、连贯与跳跃、相同(统一)与不同 (差异)、区别与联系、有限与无限、极大与极小、精确与近似(估值)、清晰与模糊、有序与无序(混乱)、动(运动)与静(静止)、割(拆)与补(合、添)、裁剪(忽略)与保留、正面与反(侧)面、放与缩/放大与缩小/扩张推广&收缩内聚、正与反、顺与逆、损与益、消与长、彼与此、优与劣、好与坏、快与慢、大与小、最大与最小、程式化模式化与个性化&灵活性、微与著(见微知著)、宏观与微观、强与弱、强化与弱化、多与少、远与近、利与弊、有界与无界、广义与狭义、矛与盾、巧与拙、肯定与否定、经验与创新、马甲与本真、what与how、and与or（与和或）、and与not等。

  上面列出的一长串存在辩证关系的每对概念(概念对)，它们都是在数学中可能用来帮助探索解题途径的，启发我们灵活思维的，不可小看，在解题中要能想到这些，时刻提醒自己要辩证看问题，在数学知识学习过程中也会碰到很多这样存在对立统一或相对的、相互联系的或有相似性的一些概念和运算，例如乘法与除法、加与减、相反数、倒数、递增与递减、最大值与最小值、各种反函数和逆运算。每个学数学的都应该有类似如上的一套词汇表，当然也不限于这些，在实践中要不断地丰富它完善它，或根据具体问题、具体题目的已知条件、结论在数与形方面的各种特征来联想出&提取出存在辩证关系(存在相对的、相似的、相反的、相互联系的)概念对。辩证地看问题绝不是很多人理解的那样，认为是一句空话，是耍滑头的诡辩，在第三篇文章中将看到我们实实在在地利用一些辩证关系在帮助解题，例如抽象与具体，一般与特殊，直接与间接、数形结合(数与形)、图上特征上的封闭与展开(数学思想方法揭秘3-3中第3题的具体与抽象、第7题中的封闭与展开等)。再比如常量(已知数)和变量(未知数)，它们的界限和划分不是一成不变的，在解题时有时要把常量看成变量，看成变量的一个具体取值，把题目中的变量看成常量，变量和常量角色相互转化，这个常量与变量的辩证关系也有具体的解题例子来作示范。先前讲到的抽象和具体的灵活运用，正向思维和逆向思维，都是说明要灵活辩证的看问题，不要固化僵化自己的观点、视角、思维。这套词汇表和辩证思维是指导我们灵活变通思考问题的，在解题反思、解题策略制定、数学思想方法的运用上它们都能发挥战术战略上的指导作用。解题反思的核心是总结和识别解题过程中的经验和教训，肯定要有辩证思维。解题策略例如正难则反，正向不好解决问题就倒过来、逆向思维、基于特征的思维(基于特征展开思维，进行联想类比等思维活动)。还有直接不行就间接，抽象不行就具体，具体不行就抽象，这些解题策略其实都是来源于这套词汇表，那一个不体现辩证思维？数学思想方法中的转化，将复杂转化成简单、不熟悉变成熟悉，这些也是来自这套词汇表，都体现了辩证思维。在比如数形结合思想，也是因为有数与形的辩证关系。

  真体会到如何利用辩证法来解决数学问题，真在数学解题中有实证，就能体会到辩证法在数学思维过程中的巨大指导作用，它可帮助我们制定解题策略(广义上就是思维策略)。学以致用，理论要用于实践，学了辩证法却在具体的学科中例如数学中不会运用它，没有实际体会到它的作用的人，学的是死的辩证法，碰到难题，连纸上谈兵都不如，我们要活学活用灵活使用。数学思想方法体现了辩证法，数学思想方法结合辩证法在数学中的灵活运用见数学思想方法揭秘-3，将会看到如何利用辩证法中的一些观点，例如矛盾观点来指导我们的解题策略，例如具体与抽象、特殊与一般、直接与间接。

   从数学问题域到解决方案域，就是从起点(已知条件)到目标终点(答案)的状态空间的逐步迁移，在起点到目标终点(答案)之间，存在很多路径或者不知道有什么路径，特别是最开始的路径，此时我们要善于运用数学思想方法和解题策略来探索/发现解题路径解题思路，一步步接近终点。

 

数学思想方法不神秘

    学习数学一定要思维灵活，拒绝呆板，而数学思想方法论和解题策略乃至数学中对辩证法的运用，都是为了塑造思维的灵活性，塑造多维度深度思考的能力。

   这些数学思想中的绝大多数是我们日常生活中都会用到的，核心本质就是从多个维度多个层面探索各种形式的变化，要会千变万化，当然这些变化是要有数学思想方法来指导的，不是无目的无逻辑无头绪的随意变化。变化的最后，连思想方法自身都要变，这种思想方法不行就换另一种思想方法，就是变法，历史上就存在变法运动，不要有思维定势。

   辩证法中的万物普遍联系观，任何事物万事万物包括人都不是孤立存在的，相互之间存在千丝万缕的联系，形成关系网络。我们的社会是关系的社会，日常生活中很多人办事喜欢找关系和拉关系，找熟人托关系，路就通了事就好办了。常说的蝴蝶效应也是因为事物之间存在关系。

   任何两个事物之间都存在一种或多种类型的联系，就看你是否能发现这些联系。有联系就可能产生关系，关系是事物相互联系的必要因素，不同关系表现着事物、特性的不同联系方式。关系无处不在，例如各种社会关系：父子关系、师生关系、同事关系；另外还有人和环境的关系、人和生物的关系、各种事物之间的关系、电场与磁场的关系。数学问题数学对象中也存在各种关系，例如数学对象的大小关系(一个数大于另一个数、算术平均数大于等于几何平均数)、倍数关系、乘积关系、相反数关系、倒数关系、垂直关系、平方关系等。知识点和知识点之间有关系、联系、关联，例如乘法和除法、抽屉原理和平均数，知识点和数学题之间也有关系和联系，数学题之间也有关系和联系，在一道数学题内部更是存在多种关系和联系。对数学问题中关系的处理就体现了数学思维的功底。数学主要研究的是各种关系包括数量关系(数)和空间形式(形)、各种抽象的模式、次序、结构。日常生活中我们找关系走关系利用关系是为了好办事，在数学研究和解题中我们也要找关系走关系利用关系，我们把数学对象和它们之间的关系用数学语言刻画表达出来或换一种表示形式（例如代数问题转化成几何图形，数形结合）、翻译出来、或进行建模，例如用数学概念、数学符号、图形、图像、图表、公理、定理、公式、算式、 等式、不等式、集合、方程式、函数、微积分等表示出来，借助数学语言，便于我们记忆思考或各种数学上的操作处理，例如等式变形、解方程等等。联想、类比、抽象也是因为两个对象（事物、概念）之间有某种联系，我们才能由此及彼的进行联想，其他数学思想方法也体现了这种万物普遍联系的多样性。两个任意的事物，当我们想探寻它们的联系时，那它们就肯定存在联系。关系具有传递性，假设A和B有关系，B和C有关系，则可得出A和C有关系(A-C关系类型不一定类似A-B、B-C的关系)，通过传递性产生A-B-C关系链。既然有联系有关系，那我们就可利用关系和它的传递性、关系链来牵线搭桥，架起从已知条件(题设)到结论，上一步到下一步，未知到已知、不熟悉到熟悉、复杂到简单，从一种形式到另一种形式的桥梁，也就是转化了问题，变化了问题，没有关系变不了，最终有助于形成解题链路解题思路，有助于探索解题思路。规则也是一种关系，一定程度上可以说没有关系就没有推理和转化，转化一般要基于关系来进行，例如相等关系，等价关系、比例关系，可见关系的重要性。

   方程对应地在数学思想中有方程思想，函数有函数思想，关系作为数学研究的主题，但奇怪的是在数学思想中却没有对应的关系思想。还没有哪本数学书籍对关系思想的定义和本质内涵做出深刻的讲述，对此，本人提出在数学思想中增加关系思想。数学书籍上关于关系的讲述，一般是用函数、集合来加以说明什么是关系，外加等价关系的定义和三个性质：自反性、对称性、传递性，在百度百科上有一篇关于数学中关系思想的网文，期刊上有两篇关系思想的文章，虽然标题中有‘’关系思想‘’，象其他数学书籍一样，也是用函数、集合来说明什么是关系。没错，函数是关系的一种形式。关系和关系思想虽然有联系，但它们是两件事，是不同的概念，就像方程和方程思想一样是两件事，熟悉方程并不意味着有方程思想。所以它们实际上讲述的仍是关系而不是真正的关系思想，更谈不上揭示关系思想的核心内涵。

     本系列文章对关系思想的本质和内涵作了初步探讨。本人觉得非常有必要把它加进来，关系思想是一种非常重要的思想方法，应该名正言顺地加入到数学思想方法体系中。

    关系思想的本质涵义：数学是研究数量关系和空间形式以及模式结构的，从这个本质出发，结合辩证法中的普遍联系观，我们可以进一步得到关系思想的本质内涵：从关系入手，始终把关系作为重点关注对象，牢牢抓住关系不放，围绕关系做文章，要善于研究关系和处理关系：善于发现关系&找关系&识别出关系，看穿看透关系，善于表达关系(用数学语言例如方程、函数、图像、图形、等式、不等式、集合等把关系表示出来，描述刻画出来。善于充分挖掘和表达已知条件的内涵，例如已知条件中说A点是圆上一点，那我们通常会在圆心和A点之间连一条线段，这条线段就从视觉上充分表达出A点是圆上一点这个已知条件的内涵)、善于改善关系，缺少关系时要善于主动创造(新)关系&建立关系&拉关系&主动发生关系、善于强化关系&弱化关系(解耦)、善于繁衍关系、善于变换关系&转化关系、善于组合关系、善于利用关系，善于反思关系(当解题没有思路或解题受阻时，要反思题目中是否还有一些关系没有发现，是否有一些关系没有利用上或没用利用好或有另一种利用方式，是否能设法创建新关系&拉关系)。没有领悟关系思想是学不好数学的。在后续文章中会对如何运用关系思想，通过数学题来进一步说明。

   网络化思想：网络化思想和前面的辩证法联系观和关系思想是一脉相承的，在日常生活中，我们有人脉和各种关系网，有四通八达的道路交通网络和电信网络，现代社会更少不了互联网和物联网。

   在数学中，我们也要有网络化思想和由该思想驱动的网络化思维。把数学的知识形成一个紧密联系的融汇贯通的知识网络知识体系，对每个知识点要熟悉和掌握它和关联知识点的区别和联系和它在知识体系中的层次。在学习过程中把知识整理出思维导图的形式，也体现了网络化结构化思想。

  各种数学思想方法之间也存在各种联系和层次结构，我们也要掌握这些数学思想方法的网络体系。不要有孤岛、各种墙和隔离，打通知识网络和思想方法网络，这样整个能力和知识之间都是联通的，如果做到这样，思维怎可能不灵活？怎可能有过多的思维障碍和思维之墙？思想怎可能不深邃？

   矛盾分析法：和上面的关系思想一样，矛盾分析法也是来自辩证法。在数学中因为我们熟知分析法和综合法，这种一般的分析法就不提了。在生活中，经常碰到理想和现实的矛盾：我想...却...，我想飞却没有翅膀。在数学题中的矛盾一般存在于已知条件和结论之间，也可能是已知条件之间，表现形式是：已知条件有很便于解题的特征或关系，但却有一些因素妨碍我们直接利用它，或有一些因素和它有形式上的对立；或表现为要利用某个设想的意图来解题来消除解题障碍，但已知条件或结论却和我们的设想不协调不呼应不咬弦。矛盾分析法在数学中用来凸显理想(结论和一些设想)和现实(已知条件)之间的矛盾，矛盾就是差异落差，或者说矛盾主要是一些制造解题障碍的因素或解题的拦路虎。通过理想与现状的比较来凸显矛盾后，哪里存在这种解题的拦路虎和解题障碍，那就消除或转化哪里的，就要想法缩小差异，化解矛盾、简化矛盾、转化矛盾、转移矛盾。具体如何用矛盾分析法，在第三篇文章中会有介绍。如果要消除矛盾制造的解题障碍，一般要进行合理的设想，设想一些目标意图，例如某道数学题中通过矛盾分析法，识别出根号是解题障碍，那我们就要设想如何消除根号，消除根号就是设想的目标意图，再根据这个意图进行联想，联想那些具有能消掉根号的知识和方法(它们具有消除根号的功用&功能&作用)。

   观察：这个在日常生活中须臾不可缺少，视觉听觉上时刻在观察在感受，我们通常说眼睛要亮要尖就是指要善于敏锐地观察。在数学中很多情况下是基于特征展开思维(基于特征的思维)，各种特征（条件特征、结论特征、数值特征、结构特征、形式特征、关系特征、图形特征、范围特征等；特征还可以从其他维度进行分类，例如整体特征、局部特征.）怎么得到？主要依靠观察和归纳。在解题过程中，观察一般是观察发现已知条件和结论在数和形方面的各种特征特点，不只是在解题开始需要观察，在整个解题过程中都要运用观察，随时发现新的特征特点，就像我们开车一样，在从起到终点的全程都要注意观察路况，解题时还要前后联系起来观察。观察的主要内容包括：识别发现数学题中代数式、方程式、几何图形等的性质、形状、形式、结构、位置、数量、相互关系联系、个性(不同)、共性、特点、特征(包括利于解题的和不利于解题的)。另外观察角度要是多维度的多层次的，立体的，例如要横向和纵向观察（上下左右前后观察），总体到局部观察，内外观察。观察和审题是数学解题中的第一步，为解题过程中后续的联系、类比、转化、归纳、比较、抽象等思想方法提供信息输入，其实观察和这些方法不是割裂的，没有明显的界限，例如观察中有比较，比较中有观察，观察中有联想，联想后再去观察，应该是融合的，水乳胶融的。观察要结合其他数学思想方法，有时通过观察能直接发现题目中隐藏的特征、关系、矛盾(差异)、规律，有时通过观察最多只能发现蛛丝马迹的一些线索，还要通过运用联想、类比、归纳、比较、抽象、转换、形象思维数形结合等数学思想方法或更具体的方法例如换元法来让隐藏的模糊的规律、性质、关系、特征现形，让它们进一步凸显明晰出来。

   对观察发现的特征和规律，要把它们用适当的数学语言表达出来，写在纸上，例如发现几个数学对象之间存在某种关系，我们就要选取适当的数学语言把这个关系显式表示出来，比如用等式或不等式。怎样做了之后，它们就成为我们解题的已知条件和已知信息，可能帮助我们解题。

   联想：由此及彼，睹物思人，触景生情；由黑想到白(相反的联想)，想到黑夜黑板，想到颜色或其他颜色，回想起我们先前的经验和知识；从一个知识点想到和它有关联的、类似的、或相反的知识点或相关问题，从数学对象(数学对象可大可小，例如一个完整的题目、或题目中的一个或几个表达式、一个未知数、一个解析式，一个方程、一个等式、或方程的左边或右边)想到存在联系的某些对应物。

   联想大致可分为如下几种类型：基于特征的联想、类似联想、见微知著联想、接近联想、相反联想、新旧联想、因果联想、相关联想、结构联想。

   观察和联想是数学解题的基本功，一定要掌握好。一般是基于题目中的词语或关键词，根据已知条件和结论在数形两方面的各种特征特点来进行联想。在这里强调基于特征的联想和见微知著联想，它们都属于解题策略。基于特征的联想，根据题目中的各种特征来展开联想和合理设想想象，顺应特征，在这些特征上面做文章，思考和反思如何利用好这些特征。数学题中具有各种特征：数值特征、关系特征、结构特征包括位置特征、形上的特征、性质特征、规律规则特征。数值特征，在解题时要关注推敲题目中的特征数值，不要视而不见，例如题目中的数值0.5、1、2、7、16，或一组数如3、4、5或5、12、13，或角度15度、30度、75度、90度等特殊值、极端值，当然并不是说所有题目中的所有数值都要这样关注，有的题目中的数值就是一个单纯的数，不具有展开联想的价值。性质特征：数学概念和数学对象性质关联的特征，例如题目中出现三角形，我们要联想到三角形这个概念具有的各种共性的性质(例如三角形两边之差小于第三边，之和大于第三边)以及这个特定的三角形对象的特有性质。

   见微知著从蛛丝马迹中联想和猜想，窥一斑而见全豹，从小见大，从局部到整体的联想，例如在几何题中要有大局观整体观，看到题目的图形(这个图形其实是残缺的)，能想到完整的图形，能很快意识都要通过作辅助线补成完整的图形。和见微知著相反，也存在整体到局部的联想和推理，例如我们在已知整体具有某种性质的情况下，可以联想和推断整体中的各组成部分(局部对象)也具有某种性质。

   类似联想，同声相应，同气相求。在数学联想中，也有类似的思维共鸣，例如几何题中由已知条件中的中点，由此及彼联想到另一条线段的中点（该中点不在已知条件中，是我们解题过程中联想出来的），再联想到中位线，再继续思维发酵，像滚雪球一样。

   类比：也是经常在生活中用到，就是基于相似性的推理类推，举一反三；用来进行类比的对象一般是通过联想来获得，联想要把两个对象联系起来思考，有时也离不开类比，特别是相似相近对象，因此联想类比往往是交织在一起的。

   通过丰富的合理的联想、类比和设想想象，我们在问题和自己熟悉的知识点、经验之间穿针引线，架起一座联系沟通的桥梁，或移植借鉴已有的经验和方法，实现未知到已知、不熟悉到熟悉、复杂到简单的转化，启发促进我们形成解题思路。

   合理猜想&设想&推理&直观想象：数学思维不全是严谨性，除了需要灵感和直觉，在解题方案层面，也要有大胆的灵活的活泼的合情合理的猜想、设想、想象、推理，合理设想是创新性的探索型思维。在日常中，我们会根据掌握的情况进行一些猜测、设想和想象，对美好理想的设想 ，对日常生活中某件事情如何发展的设想，在破案中对案情的设想和推理。在数学解题中，除了广泛利用联想来探索解题途径，很多场景下，也要运用猜想、设想、理想化的想象来探索解题方案，高屋建瓴指方向定目标，从纷繁的或混沌的状态中找出几条比较可能的解题途径和解题方向进行探索，例如因式分解中的待定系数法也运用了合理设想，几何题中也经常会大胆运用合理设想直观想象来帮助作辅助线和几何变换。大胆猜想，严谨验证，对数学解题中的猜想，后面要经过严谨完备的证明和验证。

  符号化思想：符号在现实生活中处处可见，例如象形文字、图腾符号、吉祥图案都是符号。数学符号是人们在研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的，它是一种抽象概括。一个数学符号一旦产生并被广泛应用，它就具有明确的含义，就能够进行精确的数学运算和推理证明，因而它具有精确性。数学符号使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点。特别是国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。

  比较：在日常生活中我们经常把自己的孩子和别人家的孩子比来凸显差距差异，购物时货比三家。总的来说就是在两个或多个事物之间进行多维度多方面的对比。在数学解题中，也要运用比较，将两个(或多个)数学对象进行比较(例如已知条件与结论，某个代数式和目标代数式),就知道了差异,有差异就有了不统一，就有了辩证法中的矛盾。要进行比较，首先要找出做比较的目标对象。目标对象可能就在题目中(例如有时结论就是目标对象，或代数式中的某个片段对象)，也可能是学过的知识点例如某个公式、定理、模式、关系、结构或某个几何模型，也可能是做过的一些题目，也可能是通过观察、联想、类比、分析综合、矛盾分析、合理设想猜想等找出来的一些对象。有了目标对象并比较知晓了差异之后，就知道了行动方向，通常是想办法采取行动，缺啥补啥，例如进行代数式变形，缩小和目标对象的差异，向目标对象靠近，贴近对齐目标对象。如果比较的目标对象是知识点，那就运用找出来的知识点，例如对照知识点对题目中的代数式或几何图形进行变形、变化和改造。比较可以是在粒度大小接近的对象之间，也可以是在粒度不同的对象之间，例如拿局部和整体比较，类似于见微知著，例如看到较小的A对象，根据其形态，特征、特点联想到较大的B对象(目标)，然后比较A和B的差异，知道差异后，想办法(采取行动，例如运用变形和某些数学方法，例如平方等)把A转化成B，和B对齐，相反也可以从大到小的方向比较和采取行动。有时用来比较的目标对象在题目中就存在，例如题目中的最终结论和中途点就是目标对象，或很容易发现，有时需要我们联想、类比出来或设想出来(这和日常工作中找对标目标和假想目标类似)，合情合理的设想出来，猜想出来。

在解题思维过程中，比较有时还和选择和择优联系在一起，例如分析法中，我们从结论倒推对应的充分条件时，如果有多个充分条件，我们通常要比较或根据题目的已知条件和已学知识，选择一种充分条件。

  分类：分门别类，把人分亲疏贵贱也是很熟练。在数学中，通过分类，把混沌的、难以统一处理问题划分为转化为多个相对好解决的较小的问题，也体现了化整为零、分而治之的思想，有时还要进行多级分类。分组，通常也体现了分类。一些具体的分类运用，例如合并同类项，表现为高内聚。

  转化(化归)：也叫化归或转换，这是一种非常重要的思想方法。换各种马甲面具来装，变化变换变通。孙悟空和二郎神斗法七十二变是变熟悉为不熟悉好骗过二郎神，我们在数学中运用转化思想是把问题中的已知条件或约束等翻译成用数学符号表达的数学语言数学对象，或把不熟悉的问题变成熟悉的问题，把未知转化成已知，把不好处理的变成相对好处理的，把具体特殊的变成抽象一般的或相反、把晦涩隐藏的关系、结构、特征变成凸显，明确清晰的、把难点/复杂变成不太难/简单/简化，化繁为简(化繁琐到简单便利)，化难为易，也就是把题目中的难点和矛盾(此处的矛盾是辩证法中的矛盾不是逻辑矛盾，在第三篇中的矛盾分析法中有介绍)进行转化和改造和消除，把不好的关系进行改造或转化，从一种形式变成另一种形式，例如几何题添加辅助线和几何变换就是为了改造几何图形中难以处理的关系和创造新的关系；基于已知条件和掌握的知识点、经验，结合分析综合法进行推理，把问题或目标、已知条件等从一种类型/形式变成另一种类型/形式，把A问题变成B问题。转化相比其他数学思想方法(例如联想类比等)和解题策略，它是高层的思想方法，也就是我们运用其他大多数数学思想方法的终极目的就是为了实现转化。辩证法矛盾的相互转化，在数学题的条件和条件之间、条件和结论之间就存在矛盾，而转化的目的就是转化矛盾消除差异，进而解决矛盾。

  解题要随形就势，顺应题目中的规律、关系、特征加以利用，题目中有的特征和关系比较好利用，比较顺手，有的不便于直接使用，对这些妨碍解题的矛盾的特征和关系要进行改造化解和转化。

   转化与关系思想的关系前面已经有讲解，在运用转化、关系传递性、关系链时，思维表现上有一定的跳跃性，其实是有连贯性的，要注意上下文中的各种关系，特别是横向和纵向方向的关系、关联，思维要能快速连续切换。

  抽象：抽象思维是必须要掌握的极其重要的思想方法。抽象思维是人们在认识活动中运用概念、判断、推理等思维形式，对客观现实进行间接的、概括的反映的过程。属于理性认识阶段。现实生活中，抽取事物共同的（共性）本质的属性形成各种概念名词，利用筛子过滤杂质，留下需要的。在数学中通过抽象，我们把具体问题特殊问题转化成抽象问题，一般问题。对题目中的共性和同构特征，我们一般会抽象出统一的模型。

  形象思维&数形结合：一图胜千言，我们在日常生活中利用图形/图像/图表的直观性来说明问题和解决问题,艺术家特别是画家最为娴熟形象思维。在数学物理等学科中也经常用到，数学、物理课本中的各种示意图，物理中的磁力线，数学中的二次曲线。在小学低年级，对一些应用题，在没学过解方程的情况下，我们把题目中的已知条件和结论用线段和其他图形表示出来，利用图形的直观性来更好地理解问题，来发现对象之间的关系。在初中阶段，解几何题时，我们运用形象思维，观察几何图形，结合已知条件，激发我们进行合理的想象和设想，找感觉，在图上画一画，帮助我们探索如何作辅助线和几何变换。数学中，数形结合是一种重要的思想方法，在第3篇系列文章中有具体运用。

  归纳：从有限个具体情况总结概括出一般结论和规律，是从具体、特殊到一般的过程。我们有时要以退为进，从抽象或复杂的问题退到具体的或简单的问题，研究清楚了具体简单的之后，再回到抽象复杂的问题上。

  整体思想/系统思想：在生活中例如购物时用大塑料袋将购买的多个小商品装起来，打包整体处理，在回家途中暂时不用关心包中的多个小商品。系统中的各个部分是相互联系的，我们追求整体最优或全盘全局综合考虑问题，系统化的思考问题，而不是陷入到局部/部分中出不来，看不清问题。做数学题，不要着急，要把题目看完整了，把前后对象(元素或问题)之间的关系搞清楚了再开始做题；有时要把题目中一些复杂的多个部分看成一个整体，例如方程或代数式中的换元法就体现了整体思想。转变思路，从整体视角看问题，把零散的或相互联系的对象看成一个有机的整体来思考问题。在几何题中要有大局观和见微知著(从部分到整体)的联想想象能力，能敏锐地从残缺不全的图形结构想到完整的几何图形，也就是作辅助线或几何变换把几何结构补全。

   整体思维和大局观在解题中的一种表现是在解题上下文中，在解题过程推进到当前位置时，不能记住前面的一些已知条件和中间结论和关系，特别是在开头位置的，纵向横向的都要能时刻敏锐地关联起来，要瞻前顾后回顾下，前后有机地结合起来才能顺利推进解题过程。前面的一般是为当前或后面的做铺垫和输入的，你忘了那就难以走下去了，所以不能顾此失彼忘记前面的一些已知条件、中间结论和关系。

  局部调整：在幼儿园小朋友从低到高排队时，让两个小朋友(少数人)彼此交换位置，经过若干次后，整个队列就有序了；小朋友玩魔方也是从一个初始状态一步步调整，最终到目标状态。如果问题涉及到多种因素或多维度，我们固定大多数因素不变，只考虑少数因素变化时的影响，这样就简单了，或先得到一个初步结果(初步答案），在这个结果基础上进行调整优化，逐步逼近最终结果。

  逐步逼近思想：也可称作贴近&靠近思想。我们在日常中有些事情或目标不能直接一步到位，往往需要多次或一个过程来一步步接近设想的目标，例如旅行，一般是先确定目的地和方向，规划线路和交通工具，一步步到达目的地，还有工作中制定各种计划，一般也是多阶段实现最终的计划目标。在数学中有时也会利用逼近思想，例如割圆术、求最大公约数的辗转相除法、近似计算中的各种迭代算法，数学中的局部调整也体现逐步逼近，它是固定一些变量来进行调整和逼近。

   要运用好逼近思想，首先要找出目标，一般是通过观察、比较、联想类比、合理设想、模式识别等思想方法，找出目标：发现题目中的一些对象和题目中的另一些对象的结构模式比较接近，或者题目中的一些对象和某个知识点的结构形式比较接近，或结论与已知条件或结论与中间结论或结论与学过的知识点例如某公式或原题与先前做过的题之间存在局部的相似性，虽然比较接近或相似，但还是存在差异，此时我们可以综合运用比较思想、对应思想、转化思想、模式识别思想、合理设想、局部调整、逐步逼近思想，变出和目标越来越接近的形式，逐步缩小差距，和目标越来越靠近，最终达到形式上的一致，从而解决问题。

   代数式，方程式的灵活变形，一般是先确定目标或方向，再通过各种拼凑、拆补、等式左右两边移项等手段来接近目标，大多也体现逐步逼近思想。

  模式识别思想：生活中，如果一个动物看起来像鸭子（原型）、走起路来像鸭子、叫起来像鸭子，那它就是鸭子。这里的原型（抽象概念上的鸭子）就是一种模式&模型，我们把这个动物和原型进行对比匹配，识别出它是一只鸭子。数学中的模式识别就是指对于一些数学问题，根据题目中的条件和结论的一些特征，联想已有的原型(学过的知识、问题、经验)，迅速和已知的熟悉的问题和知识进行相似性近似性匹配（这种相似性可以是局部的也可能是整体的），识别出问题的类型，把问题转化化归为熟悉问题和熟悉方法,重用原型来解决数学问题。它和观察、比较、联想、类比、关系思想、抽象（抽取本质共性或相似性、同构、识别同构模式，形成统一的模型），同化与顺应、逐步逼近思想都有关系，一般在解题中要综合使用这些思想。

  有序化 (秩序)：日常生活中我们按一些规则和标准对乱序的事物进行调整，让它们恢复秩序，显得有条理。例如整理凌乱的房间、对队伍按身高排序。

  逆向思维：在生活中反其道而行，反传统反常规，青春期的叛逆和逆反心理，在行动和心理上偏偏和大人教导的相反。转变思维方向，把常规思考问题的顺序 (从已知条件到结论)颠倒一下，改成从结论开始往前思考和计算推理；分析法中通过结果来反推出原因，通过结果反推出充要条件；碰壁失败后质疑先前的方法，总结失败方法的特点之后才能真正做到打破思维定势，迷途知返，否定先前的方法，调整先前的方法，或干脆跳到其他解决方案和方法上，这其中也用到逆向思维；反证法也是一种逆向思维。辩证法中各种对立的矛盾双方的相互转化也包含有逆向思维思想,例如从抽象到具体，从具体到抽象，从一般到特殊，从特殊到一般，直接到间接，数形结合中的从数到形，或从形到数，从开到关，从关到开，正难则反。有时对边界约束，如果我们看不清临界点处的情况，此时我们反而要考察超出临界点的情况，得到启发和经验后，再反过来就很容易看清临界点的情况，这里也有否定之否定的意思。

  反思也属于逆向思维。在日常生活中和解决问题过程中，通常会碰到挫折和走一些弯路，我们通过反思这些挫折和弯路，从而帮助我们找到正确的方法。在探索数学解题方法的过程中，反思调整几乎也是必不可少的，非常重要。失败是成功之母，失败是有价值的，不要害怕失败，要利用好失败，要辩证的看待失败和成功，不要对失败的方法弃之不理，而是要对失败的方法进行反思分析，在此基础上对失败或不理想的解题方法进行多维度深入评估、调整、否定之后，通常能帮助我们找到正确的方法，吃一堑 长一智，做到一计不成再生一计。在解题过程中思路受阻时，要反问反省目前的状态，反问自己：是否利用完了所有的已知条件，还有哪些条件没用？是否利用好了已知条件？如何利用好已知条件？目前的方法有什么特点和局限？是否能换个角度跳出思维定势来调整下目前的方法或如何基于目前方法的特点来否定该方法而得出新的方法？是否能在题目中找出一些新的关系、创造关系(想法让数学对象之间发生关联，产生关系，例如把两个方程式相乘来创造出新的关系，或作辅助线来沟通关系或凸显关系或创造关系，再利用这些关系来解题，来转化问题)？是否能转化问题？还能联想到什么？还能类比什么？还有哪些数学思想方法和解题策略没用使用？

   解题完成之后，也要进行反思总结，看存在哪些问题。是自己的某些知识点没掌握好？计算出错？审题不仔细？没有运用好数学思想方法？在失败方法基础上反思过程出现问题，没有反思出需要改进调整的地方？解题总结：通过解这道题，我学到了什么，哪些地方需要改进，这题运用了哪些数学思想方法，能总结出哪些思想方法和解题技巧或思维技巧。

  运动(动态)思想：辩证法中说运动是绝对的，运动就是变化，就是发展。体育锻炼就是通过运动来锻炼身体，在数学中有函数、微积分来刻画和研究事物变化的规律，另外在解题时，我们除了研究静态情况，还要通过动态分析来找到隐藏的规律、特征和解题突破口，例如让题目中的一些对象沿某些轨迹运动或某些变量值从小到大或从大到小变化，在运动变化过程中发现考察隐藏其中的规律。运动在数学中是无处不在的，我们从已知条件到结论的整个过程(或相反，从结论进行逆向分析)中进行各种变形各种变换(例如代数式的变形、因式分解的分分合合、几何图形的平移、旋转)，各种逻辑推理和运算，都是体现了运动变化，包括我们的思维也在运动变化，例如从一个事物联想到另一个事物，思考的内容从抽象转到具体，或从具体转到抽象，从一般转到特殊。另外运动发展观也提醒我们不要墨守成规，不能固化自己的思想，要有大胆创新精神。

  构造法：构造法最能体现创新思维。在日常生活中，当家庭人口增多而居住条件不能满足需求时，在有资金和土地及审批许可下，我们通常会建新房而不是在原来的老房子上想办法。类似地，在数学也存在这种创新性的活动，解题中我们有时也会重起炉灶，根据题目的特点，返本归元返本溯源，对应地构建一个新的数学模型或数学对象(例如几何图形、图表、方程、函数、数列、等式、不等式、集合、行列式等)，围绕这个新构建的模型来思考问题，从而转化问题，消除矛盾，最终解决原问题。例如数形结合中的代数问题转化成几何图形，我们根据代数式的几何意义，构造出对应的几何图形，根据图形的直观性来得出需要的结论。在抽象思维和归纳思维中，我们根据多个具体的实例来构造出统一的模型或结论。在解几何题时，通过加辅助线或几何变换(旋转、平移、对称等)对几何题中结构格局不好的地方进行图形结构上的改造，或将几何题中图形的结构关系和数量关系重新进行组合，整合产生新的几何结构或拉近多个几何对象之间的关系(例如通过旋转、平移或其他方式把一些分散的、位置上相隔较远的几何对象几何元素或关系不密切的几何对象集中在一起，集中在熟悉的几何模型中)，这些也属于构造法的运用。

  分析与综合：这个在日常事务中不可缺少，在辩证法中还有矛盾分析法，其实在数学中矛盾分析法也是大有用武之地，难题之所以成为难题，很可能是因为题目中存在一些矛盾的地方，矛盾就是差异或不协调不配合，例如条件与条件之间的矛盾、条件与结论的矛盾，在没有进行深入的矛盾分析之前，我们只是总体上感觉题目难解，对解题方向几乎比较茫然，当我们通过矛盾分析法，把棘手的矛盾找出来后就能确定下一步的行动方向，即想法朝着化解矛盾转化矛盾的方向努力。

  算两次思想：日常生活中，收银员或财务人员对大额现金，一般会算两次，一次是手工数，一次是用点钞机，当然还有附加功能，可以验证假币。将同一个量或关系从两个不同角度计算两次，正所谓殊途同归，从而建立等式关系(两条不同的途径算出来的表达式在等号的左右两边)。这个思想经常用来列方程式或其他等式时经常用到，等号左右两边的式子就是分别从不同的角度对同一个量的计算。对数学题中的一些不变量，例如年龄差，也是用算两次来列等式；相似三角形中的两个三角形对应边的比(相似比)不变。

  实验法：日常生活中我们对把握较小的事情会做实验，走一步看一步，根据情况随时调整方案。有些题，开始阶段不一定看得清楚，这时我们根据直觉、经验和问题中的一些蛛丝马迹进行合理的设想，在草稿纸上写一写，画一画，有时这样做一下，下一步可能就找到解题突破口了，不要坐在那干想，要动一下。

  模糊化思想：日常生活中常说难得糊涂，该放下的就放下。什么？数学不是讲严谨和缜密吗？这个不矛盾，对一些数学难题，解题过程中的思路和框架开始阶段是不怎么明确的，有时是大的方面相对明确或整体上是相对明确的，但小的方面如一些细节还比较模糊或不确定，但最终的结果是明确的严谨的。其实假设法、估值、设未知数解方程、待定系数法都活动或多或少体现了模糊思想，先抓大放小，从总体上大范围上把握问题。另外还有一门分支叫模糊数学。

  对象化&概念化思想：万事万物都是对象，对象之间存在各种联系和关系。软件行业中有面向对象的分析、设计和编程。概念，下定义也是很常见的，包括概念的内涵和外延。数学解题中，除了在数学知识中碰到的对象和题目中明显出现的对象，还要主动发现和识别出题目中隐藏的对象或主动创造一个对象，在脑子中把一些几何或代数结构或对象关系看成一个对象。一般来说可顺应问题中已知条件和结论来发现这些新对象。

   概念化&对象化思想就是识别出数学题中隐藏的重要的概念和对象，对它们进行命名，方便研究和处理。和软件中的对象一样，数学中的对象也可有属性，例如求m+n的最大值，名不正则言不顺，不对这个组合体m+n单独取名字会导致解题受阻和对解题过程的描述复杂化，所以我们把m+n看做一个对象，令m+n=a，给这个对象一个名分，用符号a来命名&指代&代表这个对象，把它纳入对象系统、对象模型结构、对象关系中，在后续的解题过程中利用a参与和其他对象的各种交互：运算、处理、转换、变形等。最大值可以理解成是a的一个属性。对象化体现了代数思想、整体思想、符号化思想、编码标识思想，而我们常用的换元法体现和运用了对象化思想。

  维度思想：维度分析，识别决定事物的维度，例如决定矩形大小需要两维；决定从多个维度来看问题，一题多解就是运用了维度思想。识别出维度，变化&切换维度视角、变换角色、维度思想。在实际运用过程中，为了降低复杂性，有时要降维、最小化维度，参数化思想其实也是为了降维，减少数学问题中涉及到的变量的数量。

   功用思想：功用思想也可称为效应思想。生活中需要了解事物的功用或效应&效果，以备不时之需，例如电阻丝通电后有热效应，我们如果正巧需要加热，那就可以利用这种热效应例如电炉电烤箱，还有很多效应，如化学效应、组合效应、蝴蝶效应、光电效应、边缘效应、端点效应。类似地，在数学学习中，我们在学习知识时除了要掌握知识的含义，还要注重掌握知识的功用或效果，每个知识通常具有多种功用，这其中的绝大多数功用是课本上不会提到的副作用(副作用不是贬义)，并不是该知识独立固有的主体功用，这些副作用很多要靠自己整理和积累，这些作用的发挥一般是有外界条件配合的，也就是要应景，要具体问题具体分析，通常要和具体数学问题解题方案中设想的意图相匹配。在解题时如果需要实现某个设想的意图(例如想消除根号)，如果事先知晓某些知识具有对应的功能(能消除根号)可以实现这个意图，那就很容易联想到用这些知识来实现解题意图。

    我们平时要从功用的维度来学习知识，通过功用和意图来驱动，在实践中整理功用目标的实现手段。在解题过程中和矛盾分析法、合理设想解题方案、合理设想解题（目标）意图（例如想证明某个中间结论&中途点、想消除某个变量、想去掉根号等）结合起来(合理设想猜想在前面讲述过)使用。还是拿消除二次根号的意图来举例，哪些知识具有对应的功用来实现这个意图？很容易想到平方法，其实根据具体问题场景，还有一些，例如某不等式题中有4个根号相加，其中一个是，通过矛盾分析法识别出根号是个解题障碍，是个拦路虎，需要去掉，想去掉根号把x解放出来就是解题方案中合理设想的目标意图，如果此时不适合用平方法，那进一步的设想意图就是把变成平方式或与某个平方式接近，还有哪些知识具有消除根号或变出平方式的作用？如果事先知晓(注意这个不等式右边的分子为平方式)或柯西不等式具有这样的副作用，或更正确的说法：具有平方的副作用。那我们就会想到这样的解题行动操作：,右边变成了x+3,去掉了根号，解放出了x。

     用柯西就是这样: 

 

    世事洞明皆学问，其中有精，其中有信，其中有数，其中有象，其中更有道。可见道在日用，大道至简，这些思想在我们日常生活中一点不神秘，只是百姓日用而不知，大家没意识到这些思想的重要性或没有养成善于从具体实践(日常生活和学习、工作)中总结提炼规律和方法的习惯,没有悟道的习惯和意识。

   上士闻道勤而行之，我们如果想培养数学思维，那就要在解数学题的过程中有意识的运用和领悟数学思想方法。在具体的学科中例如数学中，涉及到把这些思想和具体学科的特殊性结合的问题，如何在具体学科中实际运用的问题。这些在数学思想方法揭秘-3-1中将有实际的运用。

   数学解题思维的最高准则最高宗旨就是变换(变化)。解题过程中的每一步都是在变化，一步步变出结论和答案。在解题过程中，不仅大脑中的思维模式和思维内容要变化，例如联想，进行由此及彼的联想、从具体到抽象的切换、转化，变换问题的形式和目标。大脑思维从此跳到彼就是变化；而且在解题中还要善于对题目中的数学对象进行各种变化，例如几何图形添加辅助线，对几何图形进行旋转平移等变换。对代数式进行各种变形、对多个数学对象进行组合变换，例如两个方程式相减、相加、相乘。数学思想方法和解题策略以及辩证法和辩证思维词汇表都是为了更好地指引我们进行合理的有章法的灵活的变化。

   数学思想方法的种类是开放的发展的，不限于前面总结的那些，可以根据实践从日常生活和其他领域借鉴移植到数学领域，进而丰富发展数学思想方法的种类。例如化学中的化学反应(化学变化)或组合效应，与此类比，例如在数学中我们把俩个或多个式子相乘或相减，产生出/变化出一个新的式子，也就是通过某种数学运算法则，将几个数学对象或数学元素进行某种组合，让它们发生关系，繁衍(创新)产生一个新的数学对象和新关系。那我们在数学中，为了自己记忆理解或传授给别人，我们就给这个思想取个名字，称为化学反应思想或组合思想。再比如化学反应中的催化剂体现的媒介思想、计算机科学中的间接层思想和自动控制理论中的正负反馈，也可能应用在数学中。另外易经中的三原则：变易、简易、不易也对我们理解和体会数学思想方法论有帮助，有兴趣的可以自己去看这个三原则，例如这篇文章。

   一句合头语，千古系驴橛，也不要拘泥于或执着固定于哪一种或哪几种数学思想方法，要具体问题具体分析，根据情况来灵活辩证运用各种数学思想方法。

    我不是从事数学教育的，对数学思想方法在具体思想方法层面、哲学层面(辩证法)和传统文化层面、实践层面的一些感悟和经验主要来自初高中阶段的自学。光说不练是不行的，理论要经过实践的反复检验，知行合一，后面我会用业余时间教家里孩子或其他人做的数学难题奥数题来讲解思维过程中如何运用数学思想方法包括解题策略来探索出解题方法。

   本系列目的是传授数学思想方法，讲述如何用数学思想方法来指导点拨自己的思维过程思维活动，不是为了讲数学题，再说数学思想方法和培养出的数学思维也不只局限于数学中，在其他各种领域也有运用。只不过为了把抽象的数学思想讲清楚，在传授过程中借助数学题的具体解题过程来说理而已。  

   数学解题的主要目的是锻炼数学思维，每解一题，都要在思维方面有所收获，都要总结反思在解题思维过程中的得失，只关注题目的解题方法，而忽视解题过程中的思维活动，是买椟还珠，丢西瓜捡芝麻。

   著名数学家华罗庚说过，学数学不解题，如入宝山而返。波利亚说"掌握数学意味着什么？那就是善于解题"。每个学习数学的人都希望自己能高效简洁地解决各种数学问题，但因为没有掌握解题之道，也就是没有掌握数学思想方法，导致很多人对数学有恐惧感，觉得数学难学。大家在领悟数学思想方法时，不能只看不练，一定要在解题过程中运用数学思想方法进行实践来训练数学思维。入门阶段要有耐心，要坚持，对有难度的题卡壳一时做不出来，格物致知，不能轻易放弃，你就按这套数学思想方法论中的思想去思考，这套数学思想方法论就是大脑中的一个工具箱，里面的工具就是前面提到的思想和策略，解题时根据题目的实际情况，选取适合的思想工具，例如按照关系思想来指导思考，解题卡壳或觉得自己的方法很麻烦，那就想：是不是有些关系没发现或没利用好。接下来就按关系思想教导的那样，它教导我们要重视关系的作用，具体而言就是找关系、没有关系或关系不够就创建(构造)关系(关系不够用，就设法让题目中的数学对象发生关联，发生关系)、利用好关系，那你就再去仔细观察题目特征，发现题目中的新关系，去找明显和隐藏的各种关系(例如几何题中的相似关系)，去想法创建关系，这样找到关系后，利用关系来解题，此外还要注意用数学语言(例如方程、等式等)表达关系描述关系。再比如按照抽象思想方法的教导，去对题目做抽象(动词)，把它转化为抽象形式，或反过来，对题目中的抽象形式用其对应的具体形式来获得感性认识。即使你最后实在做不出来，那就看答案，对照答案反思总结，重新思考一遍答案中的解题方法要运用这套方法论的哪些思想想出来，或学习解题方法中使用的思想，反问我当时为何没想到用这些或这样用。当然做不出来也可能是知识点的问题，知识点没掌握好不熟悉。如此这般实践，你一旦找到感觉，那就有些进步了，就这样逐步来训练，让它们嵌入你的潜意识中成为思维习惯，那就真正悟道数学思维了。

 

   下一篇：数学思想方法揭秘-2。

   作者王国波  2018.7.8于广州