针对文档匹配时为何选择乘法的理由

搜索引擎排序不也是这样吗，既要考虑网页内容与用户查询的匹配程度，又要考虑网页本身的质量。但是，怎么把这两种因素结合起来，得到一个，而不是两个或多个排序标准呢？假如我们把这两种因素表示成数值，最终的排序依据是把这两个数值加起来，还是乘起来，或是按决策树的办法把它们组织起来？如果是加起来，是简单相加，还是带权重加呢？

　　我们可以根据直觉和经验，通过试错的办法，把这两个因素结合起来。但更好的办法是我们能找到一个明确的依据，最好能跟数学这样坚实的学科联系起来。说起来，依据朴素的经验，人类在古代就能建造出高楼；但要建造出高达数百米的 摩天大厦，如果没有建筑力学、材料力学这样坚实的学科作为后盾，则是非常非常困难的。同理，依据朴素的经验构建的搜索引擎算法，用来处理上万的网页集合应该是没问题的；但要检索上亿的网页，则需要更为牢固的理论基础。

　　求医，病人会优先选择诊断准确、治疗效果好的医生；对于搜索引擎来说，一般按网页满足用户需求的概率从大到小排序。如果用q表示用户给出了一个特定的查询，用d表示一个特定的网页满足了用户的需求，那么排序的依据可以用一个条件概率来表示：

P(d|q)

这个简单的条件概率，将搜索引擎排序算法与概率论这门坚实的学科联系了起来，这就像在大海中航行的船只装备了指南针一样。利用贝叶斯公式，这个条件概率可以表示为：

贝叶斯公式

可以清楚地看到，搜索引擎的排序标准，是由三个部分组成的：查询本身的属性P(q)；网页本身的属性P(d)；两者的匹配关系P(q|d)。对于同一次查询来说，所有网页对应的P(q)都是一样的，因此排序时可以不考虑，即

正比相关性

公式左边，是已知用户的查询，求网页满足该用户需求的概率。搜索引擎为了提高响应用户查询的性能，需要事先对所有待查询的网页做预处理。预处理时，只知道网页，不知道用户查询，因此需要倒过来计算，即分析每个网页能满足哪些需求，该网页分了多大比例来满足该需求，即得到公式右边的第一项P(q|d)，这相当于上文介绍的医生的专门程度。比如，一个网页专门介绍牙病，另一个网页既介绍牙病又介绍胃病，那么对于“牙疼”这个查询来说，前一个网页的P(q|d)值就会更高一些。

　　公式右边的第二项P(d)，是一个网页满足用户需求的概率，它反映了网页本身的好坏，与查询无关。假如要向一个陌生人推荐网页（我们并不知道他需要什么），那么P(d)就相当于某个特定的网页被推荐的概率。在传统的信息检索模型中，这一个量不太被重视，如传统的向量空间模型、BM25模型，都试图只根据查询与文档的匹配关系来得到排序的权重。而实际上，这个与查询无关的量是非常重要的。假如我们用网页被访问的频次来估计它满足用户需求的概率，可以看出对于两个不同的网页，这个量有着极其巨大的差异：有的网页每天只被访问一两次，而有的网页每天被访问成千上万次。能够提供如此巨大差异的量，竟长期被传统的搜索引擎忽略，直到Google发明了pagerank并让它参与到排序中。Pagerank是对P(d)值的一个不错的估计，这个因素的加入使搜索引擎的效果立即上升到了一个新的台阶。

　　这个公式同样回答了上文提出的问题，网页与查询的匹配程度，和网页本身的好坏，这两个因素应该怎样结合起来参与排序。这个公式以不可辩驳的理由告诉我们，如果网页与查询的匹配程度用P(q|d)来表示，网页本身的好坏用P(d)来表示，那么应该按它们的乘积来进行排序。在现代商业搜索引擎中，需要考虑更多更细节的排序因素，这些因素可能有成百上千个，要把它们融合起来是更加复杂和困难的问题。