通过8皇后问题浅析回溯法的递归实现

8皇后问题是一道非常经典的题目。当初我是怎么也不能明白怎么用回溯法来解此题的。现在似乎明白些了，先贴出来。

       题目大家都是知道的，就不多说了。其实，题目就是要找出所有的可能情况，然后排除其中不符合条件的情况，剩下的情况即为所要求的。怎么找出所有的情况呢？对于8皇后，我们可以使用穷举法，穷举出每一种放置方法，然后判断是否符合题意。如果每次放一行，那就需要8重循环才可以解出来。虽然空间复杂度可以小到为0，但是时间复杂度太高。 

        书中一般使用回溯法来解此题。仔细分析此题，可以发现：每一行上只能放置一个皇后，然后后面每行放置的皇后，不能与前面的行上放置的皇后在同一列上或者同一对角线上。所以用一个一维数组就可以存放在棋盘上放置的皇后的行列信息：一维数组的第i个位置存放的数值j就表示，在棋盘的第i行、第j列上放着一个皇后。棋盘的一行就用一个元素来表示，所以不能在同一行就不用判断了。知道了皇后在棋盘的行列位置后，判断是否符合后面的两个条件也比较容易了（对角线只要仔细分析下，两个二维坐标点如果在对角线上，他们的行列坐标将会满足何种情况即可）。

        搞定了数据结构，接着就要考虑如何进行回溯搜索了。回溯一般借用递归来实现。用我的一个ACM非常牛的一个同学的话来说：回溯就是让计算机自动的去搜索，碰到符合的情况就结束或者保存起来，在一条路径上走到尽头也不能找出解，就回到原来的岔路口，选择一条以前没有走过的路继续探测，直到找到解或者走完所有路径为止。就这一点，回溯和所谓的DFS（深度优先搜索）是一样的。那现在的关键是，怎么实现搜索呢？回溯既然一般使用递归来实现，那个这个递归调用该如何来写呢？我现在的理解就是，进行回溯搜索都会有一系列的步骤，每一步都会进行一些查找。而每一步的情况除了输入会不一样之外，其他的情况都是一致的。这就刚好满足了递归调用的需求。通过把递归结束的条件设置到搜索的最后一步，就可以借用递归的特性来回溯了。因为合法的递归调用总是要回到它的上一层调用的，那么在回溯搜索中，回到上一层调用就是回到了前一个步骤。当在当前步骤找不到一种符合条件情况时，那么后续情况也就不用考虑了，所以就让递归调用返回上一层（也就是回到前一个步骤）找一个以前没有尝试过的情况继续进行。当然有时候为了能够正常的进行继续搜索，需要恢复以前的调用环境。

下面贴出8皇后问题的代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

void PrintResult(int *arr, int n)
{
    for (int i = 1; i != n + 1; ++i)
        cout << "(" << i << "," << arr[i] << ")" << " ";
    cout << endl;
}

bool Verify(int *arr, int i)
{
    /* 和前面的i - 1行比较，看当前放置位置是否合法？*/
    for (int k = 1; k != i; ++k)
        if (arr[k] == arr[i] || abs(i - k) == abs(arr[i] - arr[k]))
            return false;
    return true;
}
/* 虽然只用了一个一维数组，但是其中已经保存了足够的信息。
因为每一行只能放一个皇后，所以一维数组的第i个位置存放的
是在第i行的哪一列（第j列）上放置了皇后。这个递归函数
每次处理一行，直到第n行（下标从1开始）。*/
void NQueens(int *arr, int i, int n)
{
    /* 尝试着在第i行的第j列放置一个皇后。*/
    for (int j = 1; j != n + 1; ++j)
    {
        arr[i] = j;
        if (Verify(arr, i))
        {
            /* 这个递归程序的结束条件是第n行放置完毕，
            所以，当递归函数从调用NQueens(arr, i + 1, n)返回时，
            就是回到了第i行，继续搜索合适的位置。当第i + 1行的
            所有位置都不能满足的时候，上面的调用就会返回，也就
            是进行了所谓的回溯。这个回溯不需要显示的恢复以前的
            调用环境，因为所需要的信息没有被破坏。*/
            if (i == n)
                PrintResult(arr, n);
            else
                NQueens(arr, i + 1, n);
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int *arr = new int[n + 1];
    NQueens(arr, 1, n);

    return 0;
}