负数与补码

转自：http://blog.csdn.net/wenhui_/article/details/7071993

负数在计算机中如何表示？

举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？

很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。

但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用2的补码（Two's Complement）表示负数。

什么是2的补码？

它是一种数值的转换方法，要分二步完成：

第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，00001000的相反值就是11110111。

第二步，将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。

所以，00001000的2的补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。

不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？

为什么要用2的补码

首先，要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种最方便的方式。

2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。

还是以-8作为例子。

假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即1 1111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？

随便写一个计算式，16 + (-8) = ?                     1 0001000 取反 1 1110111    加1    +1 = 1 1111000   再取反  1 0000111  + 1  = 1 0001000 取反不不包括符号位两次取反得到原值                                                                         正数的补码是其本身 负数的补码是符号位不变 其他位取反之后加1 

                                                                             连着变换两次相当于没有做任何操作
16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：                                                       
　０００１００００                                                                                                                                 
[phone]
－－－－－－－－－
　１００１１０００

可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。

现在，再来看2的补码表示法。

　０００１００００
[phone]
－－－－－－－－－
１００００１０００

可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

2的补码的本质及正确性

我们要看先一下模的概念

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范

　　围，即都存在一个“模”。例如：

　　时钟的计量范围是0～11，模=12。

　　表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。

　　“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的

　　余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

　　例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：

　　你可以往回拨4个小时，也可以向前拨8个小时（12-10+6，在钟表系统里模是12）

　　在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

　　对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特

　　性。共同的特点是两者相加等于模。

　　对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再

　　加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的

　　模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以

　　了。

       再次重申一下这句话：

      在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。     

      所以对于模为10000 0000的8位系统来说，减去b和加上10000 0000-b是一个道理，而（10000 0000-b）是什么？恰好就是b的补码

补码怎么求，“取反加一” 这口诀怎么来的？

承认了8 - 5 = 8 + （-5的补码）这个事实后，我们来看-5的补码怎么求，“取反加一”怎么来的

其实看完了上面的模的问题，该问题的答案基本已经出来了

-5的补码是 10000 0000 - 5 = 1111 1111 + 1 -5 = （1111 1111 - 5） + 1

1111 1111减去一个数事实上就是在对这个数取反，后面那个是+1

两个小问题的解释：

(1)

32位系统里，int的最大值为01111111 11111111 11111111 11111111，加1之后为

10000000   00000000   00000000   00000000。这个数是什么？

首先这是个负数-->负数在计算器里都是补码形式存放-->这是个补码-->那么真值是？--> -2147483648（已知负数的补码求该负数，不会求的百度一下吧。。。）

(2)                                                                                                                                                                     再取反就得到原来的值
对于unsigned，最大值（32个1）加1后最前面的1自然丢失，剩下32个0，所以就是0。