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许剑伟 莆田十中
［摘要］：行星运动理论有很多种，遗憾的是国内并没有公开发表的系统的行星理论。因此，要想计算行星位置，只能使用国外的或历史上天文学家的天体运动理论进行计算。本文介绍法国天文台的VSOP行星理论，非常适合职业天文学家、业余天文学家甚至普通高中生使用，可得到高精度的行星位置坐标。
［正文］：
随着新课程的推进，我们发现高中物理所涉及的内容越来越广泛，它与现代科学、技术结合得越来越紧密了。比如，现行的高中课程中已涉及半导体技术，然而，不了解半导体技术的教师却不是少数；再比如，高中课程中已讲述了完整的牛顿运动定律、开普勒定律等，大家似乎完全围绕着高考完成教学工作，很少人利用这些定律进行真正的天文计算方面的研究，以至我们的学生根本就不知道这方面的计算是如何进行的，相反，在国外却可找到大量适合中学生掌握的天文计算方法。在这种背景下，中学物理教育工作者有必要更广泛学习、研究现代科学方法，扎实推进新课程改革。本文介绍一种非常容易实现的现代的行星位置计算方法。
一、选择适当的理论：
目前，人们已掌握多种大行星运动理论，可供我们选择的方法分类如下：
1）直接利用开普勒行星三定律。此类方法属运动学范畴，可获0.01度的黄经精度；
2）拉普拉斯等牛顿的忠实信徒们，利用牛顿定律，结合适当的数学方法得到的行星位置的解析解，此类方法属动力学范畴，称为解析法；
3）运用牛顿定律，直接利用计算机进行数值积分得到超高精度的结果(现代方法)。比较著名的是美国国家航空航天局下属的喷气推进实验室的DE系列星历表。2005年以后的中国紫金山天文台出版的《中国天文年历》就是利用DE405星表推算的。
4）改良前人的解析法解法，使之适合计算机计算(现代方法)，此类方法常称为半解析法。这些方法的精度已经非常接近DE系列星历表。
适合中学生及教师的方法是第1种及第4种方法。当然，还须做适当的简化处理，以方便大家理解。本文重点介绍著名的是半解析法VSOP87行星理论，利用它可取得非常高的精度。
二、计算方法:
1982年，巴黎的P.Bretagnon发表了他的行星理论VSOP82。VSOP是“Variations Seculaires des Orbites Planetaires”的缩写。VSOP82由大星行(水星到海王星)的长长的周期项序列组成。给定一个行星及一个时间，对它的序列取和计算，即可获得密切轨道参数。
不过VSOP82方法有个不便之处是，当不需要完全精度时，应在何处截断？幸运的是，1987年 Bretagnon 和 Francou 创建了VSOP87行星理论，它提供了直接计算行星日心坐标的周期序列项。也就是说可直接算得：任意时刻的日心黄经L、日心黄纬B、行星到太阳的距离R。
要注意的是，L是行星的的真黄经，不是轨道经度。如图，x’是行星的真位置，x是平位置(所谓平位置可理解为把行星运动看匀速圆周运动得到的位置)，轨道经度是γN + NX'，这两段角度分别在两条不同的轨道上。通过行星的真位置x'垂直画一条黄经线，在黄道上交于x"，那么γx"就是黄经L。虽然VSOP82及VSOP87方法已在国际天文文献上发表，但与其相关的数据是保存在电脑磁盘上的，而且数据量非常大，对于我们来说，并不要求超高精度计算，所以需通过适当变换，截取主要周期项进行计算。笔者通过适当的数学方法，提取了地球的主要周期项数据（详见附表），再通过本文的方法可得到3角秒的精度（-2000至6000年范围内）。这种方法本质上与VSOP87方法是相同的，主要不同之处是做了数据截断处理，计算量非常小。
附表中提供了地球的各个子序列数据表，序列表标号分别为L0，L1，L2…；B0，B1…；R0，R1…。
计算黄经L使用序列表L0、L1…；计算黄纬使用序列表B0、B1……；计算距离R使用序列表R0、R1……。直得注意的是，黄纬计算相关的子表B0、B1……都是0，所以未列出，地球的日心黄纬的变化范一般不超过2”，所以B表都是0。
每个表是一组周期项，包含四列数字：
1)序号：这不是计算所必须的，仅是提供一个参考。
2)三个数字：分别命名为A、B、C
设给定的时间JDE是标准的儒略日数，τ是千年数，则τ表达如下：
τ = (JDE - 2451545.0) / 365250
则每项(表中各行)的值计算表达式是：
A*cos(B+C*τ)
例如L0表的第9行算式为：
1324*cos(0.7425 + 11506.7698*τ)
附表中B、C的单位是弧度。系数A的单位是：10^-8弧度(适用于黄经和黄纬)，10^-8天文单位(适用于距离)。
按如下算式，可得到行星的Date黄道坐标中的黄经。对L0表各项取和计算，对L1表各项取和计算，其它表类推。接下来用下式得到黄经(单位是弧度)：
L = (L0 + L1*τ + L2*τ^2 + L3*τ^3 + L4*τ^4 +L5*τ^5)/10^8 ……1式
式中τ^2表示τ的2次方，同理τ^3表示τ的3次方。
用同样的方法继计算B和R。
注1：可能有些读者对儒略日数不太了解，造成无法计算出τ。那可按如下方法计算τ：对于某时刻，先算出该时刻距2000年1月1日12：00：00的偏离日数D，那么τ= D/365250
注2：时间表达为力学时，而为是手表时，手表时与地球自转同步，因地球自转速度是不均匀的，并有变慢的趋势，所以手表时也有变慢的趋势。力学时则是非常均匀的（相当于原子时），计算天体位置时均使用力学时。力学时与手表时的转换可用一组经验公式完成，但这已超出本文的内容。
到此为止，我们得到行星在动力学Date平黄道坐标(Bretagnon的VSOP定义的)中的日心黄经L、黄纬B。这个坐标系与标准的FK5坐标系还有细微差别。按如下方法可将L和B转到FK5坐标系中，其中T是世纪数而不是千年数，T=10τ。
先计算：L' = L - 1°.397*T - 0.00031*T^2
然后计算L和B的修正值：
ΔL = -0".09033 + 0".03916*( cos(L') + sin(L') )*tan(B)
ΔB = +0".03916*( cos(L') - sin(L') )
仅在十分精确计算时才需进行修正，如果按本文附表提供的序列进行计算，则无需修正。
三、举个例子：
例31.a ——计算地球的日心Date平黄道坐标, 时间2008年1月1日12时(力学时)
该日期转为儒略日数是：JDE 2454467
这样可得： τ = (2454467 – 2451545)/365250=0.0080000000
计算τ时要保留足够的小数位数，6位小数是远远不够的(除非所需的地球黄经的精度要求很低)，注意：τ表达为儒略千年数，所以T误差0.000001相当于0.37日。
对于地球，附表中，其序列L0有27项(在原VSOP87理论中有很多很多项)，L1、L2、L3、L4、L5分别是：14、8、4、3、1项。这些序列取和计算后得到：
L0 = +175 194 034 L3 = 311
L1 = +628 331 778 761 L4 = -119
L2 = +57343 L5 = -1
因此，由1式即可得到地球的日心黄经
L = 52.01848268弧度 = 1.75300022弧度 = 100°26’ 22”
用同样的方法计算日心黄纬B及距离R。表中没有地球的B0、B1等项，所以B=0。
四、结果的精度
当我们要取得更高精度时，VSOP87方法收敛得很慢。当我们截取部分序列进行计算时，那么产生的误差的数量级是多少呢?
以下经验公式已经由Bretagnon和Francou给出：
如果n是保留项数，A是保留项中最小的值，那么当前截断的序列的误差为：
η*sqrt(n)*A， 式中η小于2，sqrt()是开方函数
举例来说，让我们来考虑一下地球的日心黄经。在附表中，其L0包含27项，最小系数是156*10^-8弧度。因此，我们可以估计其最大可能误差约为：
2*sqrt(27)*156*10^-8弧度 = 3".3
当然序列L1、L2等也有截断误差，用同样的方法进行误差估计，分别为0".54*τ，0".1*τ^2等。
五、说明：
以上计算得到的是Date平黄道（当日平黄道）坐标中的行星真位置坐标，而不是视位置坐标，欲获得视位置，还应转换到地心坐标并补上章动修正及光行差修正。
六、参考资料：
1、本文涉及一些天文学术语，可参考《球面天文学》相关著作
2、要想取得VSOP完整的理论及数据表，可利用www.google.cn搜索引，在国外网站上查找。
3、本文仅提供地球数据，要取得其它行星数据可在笔者的网站上下载。这个文件包含了完整的VSOP87数据，以及笔者提截取主要周期项用的程序。
http://www.fjptsz.com/xxjs/xjw/rj/fj/114.rar
打开文件包中的a.htm，并适当修改其中的JavaScript程序，可提取你所需要的各种数据。当然，在提取数据前，你应先进行误差分析，以便提取出理想的数据。
文件包中的Dmer、Dven、Dear、Dmar、Djup、Dsat、Dura、Dnep分别是水星、金星、地球、木星、土星、天王星、海王得的完整的VSOP87序列表
六、附表：地球数据
行星标识:Earth 表名:L0
=====================
1 175347046 0 0
2 3341656 4.6692568 6283.07585
3 34894 4.6261 12566.1517
4 3497 2.7441 5753.3849
5 3418 2.8289 3.5231
6 3136 3.6277 77713.7715
7 2676 4.4181 7860.4194
8 2343 6.1352 3930.2097
9 1324 0.7425 11506.7698
10 1273 2.0371 529.691
11 1199 1.1096 1577.3435
12 990 5.233 5884.927
13 902 2.045 26.298
14 857 3.508 398.149
15 780 1.179 5223.694
16 753 2.533 5507.553
17 505 4.583 18849.228
18 492 4.205 775.523
19 357 2.92 0.067
20 317 5.849 11790.629
21 284 1.899 796.298
22 271 0.315 10977.079
23 243 0.345 5486.778
24 206 4.806 2544.314
25 205 1.869 5573.143
26 202 2.458 6069.777
27 156 0.833 213.299
行星标识:Earth 表名:L1
=====================
1 628331966747 0 0
2 206059 2.678235 6283.07585
3 4303 2.6351 12566.1517
4 425 1.59 3.523
5 119 5.796 26.298
6 109 2.966 1577.344
7 93 2.59 18849.23
8 72 1.14 529.69
9 68 1.87 398.15
10 67 4.41 5507.55
11 59 2.89 5223.69
12 56 2.17 155.42
13 45 0.4 796.3
14 36 0.47 775.52
行星标识:Earth 表名:L2
=====================
1 52919 0 0
2 8720 1.0721 6283.0758
3 309 0.867 12566.152
4 27 0.05 3.52
5 16 5.19 26.3
6 16 3.68 155.42
7 10 0.76 18849.23
8 9 2.06 77713.77
行星标识:Earth 表名:L3
=====================
1 289 5.844 6283.076
2 35 0 0
3 17 5.49 12566.15
4 3 5.2 155.42
行星标识:Earth 表名:L4
=====================
1 114 3.142 0
2 8 4.13 6283.08
3 1 3.84 12566.15
行星标识:Earth 表名:L5
=====================
1 1 3.14 0
行星标识:Earth 表名:R0
=====================
1 100013989 0 0
2 1670700 3.0984635 6283.07585
3 13956 3.05525 12566.1517
4 3084 5.1985 77713.7715
5 1628 1.1739 5753.3849
6 1576 2.8469 7860.4194
7 925 5.453 11506.77
8 542 4.564 3930.21
9 472 3.661 5884.927
10 346 0.964 5507.553
11 329 5.9 5223.694
12 307 0.299 5573.143
13 243 4.273 11790.629
14 212 5.847 1577.344
15 186 5.022 10977.079
16 175 3.012 18849.228
行星标识:Earth 表名:R1
=====================
1 103019 1.10749 6283.07585
2 1721 1.0644 12566.1517
3 702 3.142 0
行星标识:Earth 表名:R2
=====================
1 4359 5.7846 6283.0758
2 124 5.579 12566.152
3 12 3.14 0
4 9 3.63 77713.77
行星标识:Earth 表名:R3
=====================
1 145 4.273 6283.076
2 7 3.92 12566.15
行星标识:Earth 表名:R4
=====================
1 4 2.56 6283.08
节气及农历计算程序 VSOP87+ELP/MPP02
http://www.fjptsz.com/xxjs/xjw/rj/113.htm
《天文算法》译著——许剑伟
http://www.fjptsz.com/xxjs/xjw/rj/117/index.htm
寿星万年历
http://www.fjptsz.com/xxjs/xjw/rj/115.htm
［摘要］：行星运动理论有很多种，遗憾的是国内并没有公开发表的系统的行星理论。因此，要想计算行星位置，只能使用国外的或历史上天文学家的天体运动理论进行计算。本文介绍法国天文台的VSOP行星理论，非常适合职业天文学家、业余天文学家甚至普通高中生使用，可得到高精度的行星位置坐标。
［正文］：
随着新课程的推进，我们发现高中物理所涉及的内容越来越广泛，它与现代科学、技术结合得越来越紧密了。比如，现行的高中课程中已涉及半导体技术，然而，不了解半导体技术的教师却不是少数；再比如，高中课程中已讲述了完整的牛顿运动定律、开普勒定律等，大家似乎完全围绕着高考完成教学工作，很少人利用这些定律进行真正的天文计算方面的研究，以至我们的学生根本就不知道这方面的计算是如何进行的，相反，在国外却可找到大量适合中学生掌握的天文计算方法。在这种背景下，中学物理教育工作者有必要更广泛学习、研究现代科学方法，扎实推进新课程改革。本文介绍一种非常容易实现的现代的行星位置计算方法。
一、选择适当的理论：
目前，人们已掌握多种大行星运动理论，可供我们选择的方法分类如下：
1）直接利用开普勒行星三定律。此类方法属运动学范畴，可获0.01度的黄经精度；
2）拉普拉斯等牛顿的忠实信徒们，利用牛顿定律，结合适当的数学方法得到的行星位置的解析解，此类方法属动力学范畴，称为解析法；
3）运用牛顿定律，直接利用计算机进行数值积分得到超高精度的结果(现代方法)。比较著名的是美国国家航空航天局下属的喷气推进实验室的DE系列星历表。2005年以后的中国紫金山天文台出版的《中国天文年历》就是利用DE405星表推算的。
4）改良前人的解析法解法，使之适合计算机计算(现代方法)，此类方法常称为半解析法。这些方法的精度已经非常接近DE系列星历表。
适合中学生及教师的方法是第1种及第4种方法。当然，还须做适当的简化处理，以方便大家理解。本文重点介绍著名的是半解析法VSOP87行星理论，利用它可取得非常高的精度。
二、计算方法:
1982年，巴黎的P.Bretagnon发表了他的行星理论VSOP82。VSOP是“Variations Seculaires des Orbites Planetaires”的缩写。VSOP82由大星行(水星到海王星)的长长的周期项序列组成。给定一个行星及一个时间，对它的序列取和计算，即可获得密切轨道参数。
不过VSOP82方法有个不便之处是，当不需要完全精度时，应在何处截断？幸运的是，1987年 Bretagnon 和 Francou 创建了VSOP87行星理论，它提供了直接计算行星日心坐标的周期序列项。也就是说可直接算得：任意时刻的日心黄经L、日心黄纬B、行星到太阳的距离R。
要注意的是，L是行星的的真黄经，不是轨道经度。如图，x’是行星的真位置，x是平位置(所谓平位置可理解为把行星运动看匀速圆周运动得到的位置)，轨道经度是γN + NX'，这两段角度分别在两条不同的轨道上。通过行星的真位置x'垂直画一条黄经线，在黄道上交于x"，那么γx"就是黄经L。虽然VSOP82及VSOP87方法已在国际天文文献上发表，但与其相关的数据是保存在电脑磁盘上的，而且数据量非常大，对于我们来说，并不要求超高精度计算，所以需通过适当变换，截取主要周期项进行计算。笔者通过适当的数学方法，提取了地球的主要周期项数据（详见附表），再通过本文的方法可得到3角秒的精度（-2000至6000年范围内）。这种方法本质上与VSOP87方法是相同的，主要不同之处是做了数据截断处理，计算量非常小。
附表中提供了地球的各个子序列数据表，序列表标号分别为L0，L1，L2…；B0，B1…；R0，R1…。
计算黄经L使用序列表L0、L1…；计算黄纬使用序列表B0、B1……；计算距离R使用序列表R0、R1……。直得注意的是，黄纬计算相关的子表B0、B1……都是0，所以未列出，地球的日心黄纬的变化范一般不超过2”，所以B表都是0。
每个表是一组周期项，包含四列数字：
1)序号：这不是计算所必须的，仅是提供一个参考。
2)三个数字：分别命名为A、B、C
设给定的时间JDE是标准的儒略日数，τ是千年数，则τ表达如下：
τ = (JDE - 2451545.0) / 365250
则每项(表中各行)的值计算表达式是：
A*cos(B+C*τ)
例如L0表的第9行算式为：
1324*cos(0.7425 + 11506.7698*τ)
附表中B、C的单位是弧度。系数A的单位是：10^-8弧度(适用于黄经和黄纬)，10^-8天文单位(适用于距离)。
按如下算式，可得到行星的Date黄道坐标中的黄经。对L0表各项取和计算，对L1表各项取和计算，其它表类推。接下来用下式得到黄经(单位是弧度)：
L = (L0 + L1*τ + L2*τ^2 + L3*τ^3 + L4*τ^4 +L5*τ^5)/10^8 ……1式
式中τ^2表示τ的2次方，同理τ^3表示τ的3次方。
用同样的方法继计算B和R。
注1：可能有些读者对儒略日数不太了解，造成无法计算出τ。那可按如下方法计算τ：对于某时刻，先算出该时刻距2000年1月1日12：00：00的偏离日数D，那么τ= D/365250
注2：时间表达为力学时，而为是手表时，手表时与地球自转同步，因地球自转速度是不均匀的，并有变慢的趋势，所以手表时也有变慢的趋势。力学时则是非常均匀的（相当于原子时），计算天体位置时均使用力学时。力学时与手表时的转换可用一组经验公式完成，但这已超出本文的内容。
到此为止，我们得到行星在动力学Date平黄道坐标(Bretagnon的VSOP定义的)中的日心黄经L、黄纬B。这个坐标系与标准的FK5坐标系还有细微差别。按如下方法可将L和B转到FK5坐标系中，其中T是世纪数而不是千年数，T=10τ。
先计算：L' = L - 1°.397*T - 0.00031*T^2
然后计算L和B的修正值：
ΔL = -0".09033 + 0".03916*( cos(L') + sin(L') )*tan(B)
ΔB = +0".03916*( cos(L') - sin(L') )
仅在十分精确计算时才需进行修正，如果按本文附表提供的序列进行计算，则无需修正。
三、举个例子：
例31.a ——计算地球的日心Date平黄道坐标, 时间2008年1月1日12时(力学时)
该日期转为儒略日数是：JDE 2454467
这样可得： τ = (2454467 – 2451545)/365250=0.0080000000
计算τ时要保留足够的小数位数，6位小数是远远不够的(除非所需的地球黄经的精度要求很低)，注意：τ表达为儒略千年数，所以T误差0.000001相当于0.37日。
对于地球，附表中，其序列L0有27项(在原VSOP87理论中有很多很多项)，L1、L2、L3、L4、L5分别是：14、8、4、3、1项。这些序列取和计算后得到：
L0 = +175 194 034 L3 = 311
L1 = +628 331 778 761 L4 = -119
L2 = +57343 L5 = -1
因此，由1式即可得到地球的日心黄经
L = 52.01848268弧度 = 1.75300022弧度 = 100°26’ 22”
用同样的方法计算日心黄纬B及距离R。表中没有地球的B0、B1等项，所以B=0。
四、结果的精度
当我们要取得更高精度时，VSOP87方法收敛得很慢。当我们截取部分序列进行计算时，那么产生的误差的数量级是多少呢?
以下经验公式已经由Bretagnon和Francou给出：
如果n是保留项数，A是保留项中最小的值，那么当前截断的序列的误差为：
η*sqrt(n)*A， 式中η小于2，sqrt()是开方函数
举例来说，让我们来考虑一下地球的日心黄经。在附表中，其L0包含27项，最小系数是156*10^-8弧度。因此，我们可以估计其最大可能误差约为：
2*sqrt(27)*156*10^-8弧度 = 3".3
当然序列L1、L2等也有截断误差，用同样的方法进行误差估计，分别为0".54*τ，0".1*τ^2等。
五、说明：
以上计算得到的是Date平黄道（当日平黄道）坐标中的行星真位置坐标，而不是视位置坐标，欲获得视位置，还应转换到地心坐标并补上章动修正及光行差修正。
六、参考资料：
1、本文涉及一些天文学术语，可参考《球面天文学》相关著作
2、要想取得VSOP完整的理论及数据表，可利用www.google.cn搜索引，在国外网站上查找。
3、本文仅提供地球数据，要取得其它行星数据可在笔者的网站上下载。这个文件包含了完整的VSOP87数据，以及笔者提截取主要周期项用的程序。
http://www.fjptsz.com/xxjs/xjw/rj/fj/114.rar
打开文件包中的a.htm，并适当修改其中的JavaScript程序，可提取你所需要的各种数据。当然，在提取数据前，你应先进行误差分析，以便提取出理想的数据。
文件包中的Dmer、Dven、Dear、Dmar、Djup、Dsat、Dura、Dnep分别是水星、金星、地球、木星、土星、天王星、海王得的完整的VSOP87序列表
六、附表：地球数据
行星标识:Earth 表名:L0
=====================
1 175347046 0 0
2 3341656 4.6692568 6283.07585
3 34894 4.6261 12566.1517
4 3497 2.7441 5753.3849
5 3418 2.8289 3.5231
6 3136 3.6277 77713.7715
7 2676 4.4181 7860.4194
8 2343 6.1352 3930.2097
9 1324 0.7425 11506.7698
10 1273 2.0371 529.691
11 1199 1.1096 1577.3435
12 990 5.233 5884.927
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行星标识:Earth 表名:L1
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2 7 3.92 12566.15
行星标识:Earth 表名:R4
=====================
1 4 2.56 6283.08
节气及农历计算程序 VSOP87+ELP/MPP02
http://www.fjptsz.com/xxjs/xjw/rj/113.htm
《天文算法》译著——许剑伟
http://www.fjptsz.com/xxjs/xjw/rj/117/index.htm
寿星万年历
http://www.fjptsz.com/xxjs/xjw/rj/115.htm
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