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关于求含有奇数个因素的数的面试题

 
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最近遇到的一个面试题目:

依次排列有1-k号的门,门有两种状态:开或关,初始状态都为关。然后一个人手里有k张牌,上面依次标有1-k的数字,现在这个人依次拿手中的牌上得数字去除k个门上的号码,如果能整除,则将门的状态改变,即由关变为开,或由开变为关,问最后门的状态分别是什么?

 

 

分析问题:对于每一扇门,将门号分别除以1-k中的每一个数,如果能整除,则门的状态变一次,其实就是求1-k中有多少个数是该门号的因数,例如,k取30,对于20号门,1-30中能整,20的数包括1,20,2,10,4,5,为6个,偶数个则门的状态不变,对于16号门,1-30中能整除16的数包括1,16,2,8,4,为奇数个,则16号门的状态改变。

通过列举发现规律:凡门号为完全平方数的门在1-门号的范围内存在能整除该数的因素一定为奇数个,因为,完全平方数一定含有一个因数x,使得x*x=门号,则此时的因素为x,为一个,但是对于其他的因素一定是X*Y=门号的形式,X和Y一定不相等,存在一对,则,这样完全平方数的因素为奇数个。

 

 

 

所以,1-k号门最后的状态是,门号为完全平方数的门的状态为开,其他门为关。

 

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