数理统计中样本方差公式N-1的原因与奥妙

今天看为了准备排队论考试复习了下概率论，看到样本的方差公式除数是n-1,对此很不解。因此查了一些资料并请教了一个学数学出身的朋友。

S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1)

X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n

 

以下是我的理解（感性的认识）：

要求总体分布的方差，而我们使用的是样本。计算的是样本值和样本均值的距离。但是如果客观来说，我们应该计算样本值和u的距离。也就是说，我们用样本值代表u是有一定误差的。为了减小这个误差，我们使用了n-1.

 

 

 

百度知道的回答：

首先，用真正的（Xi-μ）^2来看，方差本应该是与μ的差，而不是样本均值的差，增加一个数，就多一个（Xi-μ）^2，n个数据，这n个数据与μ是无关的，就该是n个这相加后除n。也就是自由度是n 

但是，用样本均值来减，从这来看X1+X2+...+Xn＝nX，这个地方也就是说n个数据与X相关，这就少了一个自由度，从而，用（Xi-X）^2计算时，会相当少了一个原本（Xi-μ）^2。故除n-1。其实这讲得也不太准确，我也不知道怎么说好。 

主要还是X1+X2+...+Xn＝nX，这个计算出的X，Xi-X这所有相加为0，也就是少了个了，少了什么，我也不知怎么说，自己想吧

 

 

 

验证n-1的正确性

总体方差为σ2

均值为μ

S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1)

X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n

设A=(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2

E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]

=E[(X1)^2-2X*X1+X^2+(X2)^2-2X*X2+X^2+(X2-X)^2....+(Xn)^2-2X*Xn+X^2]

=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(X1+X2+...+Xn)]

=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(nX)]

=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2-nX^2]

 

而

E(Xi)^2=D(Xi)+[E(Xi)]^2

=σ2+μ2 E(X)^2

=D(X)+[E(X)]^2

=σ2/n+μ2

 所以

E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]

=n(σ2+μ2)-n(σ2/n+μ2)

=(n-1)σ2

所以为了保证样本方差的无偏性

S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1)

E(S)=(n-1)σ2/(n-1)=σ2