Stein算法的简单描述以及C++/Java的三种实现源代码

在欧几里德算法的简单描述以及C++与Java的各自实现代码中介绍的欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来。
一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然现在已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过 64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算 128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

由J. Stein 1961年提出的Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法，为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：
gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

根据上面的规律，Stein算法如下：
如果A=0，B是最大公约数，算法结束
如果B=0，A是最大公约数，算法结束
设置A1 = A、B1=B和C1 = 1
如果An和Bn都是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn /2，Cn+1 =Cn *2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1 =Bn /2，An+1 =An ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
如果An和Bn都不是偶数，则An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)，Cn+1 =Cn ，n++，转4

看到这里，我们已经可以给出Stein算法和欧几里德方法效率上的差别了：
在欧几里德算法的简单描述以及C++与Java的各自实现代码中可以知道，欧几里德算法最恶劣的情况是，每次迭代a = 2b -1,这样，迭代后，r= b-1。如果a小于2N，这样大约需要 4N次迭代。而Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤ ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数Stein将更有优势。

●下面是C++/java 实现（由于是函数体，语法一样）

int gcd(int a,int b){
    if(a<b)
    {
        //arrange so that a>b 
        int temp = a;
        a = b;
        b=temp;
    } 

    if(0==b)//the base case 
        return a; 

    if(a%2==0 && b%2 ==0)//a and b are even 
        return 2*gcd(a/2,b/2); 

    if ( a%2 == 0)// only a is even 
        return gcd(a/2,b); 

    if ( b%2==0 )// only b is even 
        return gcd(a,b/2); 

        return gcd((a+b)/2,(a-b)/2);// a and b are odd 

} 

 

下面是C++的另一种实现：

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
unsigned int gcd(unsigned int a,unsigned int b)
{
if(a == 0)
return b;
if(b == 0)
return a;
int p = 0;
label: while((!(a % 2)) && (!(b % 2)))
{
a /= 2;
b /= 2;
p ++;
}
while(!(a % 2))
{
a /= 2;
}
while(!(b % 2))
{
b /= 2;
}
if((b % 2) && (a % 2))
{
unsigned int temp;
temp = a;
a = b;
b = temp > b ? temp - b:b - temp;
}
if(b != 0)
goto label;
return a * pow(2,p);
}
int main(){
unsigned int i = gcd(456789988888,77888888888);
cout<<i;
system("pause");
}
int g_cd2(int a,int b)
{
  int c=1;
  int m=a,n=b;
  while(m!=0&&n!=0)
  {
    if (m%2==0&&n%2==0)
    {
      m /= 2;
      n /= 2;
      c *= 2;
      continue;
    }
    if (m%2==0&&n%2!=0)
    {
      m /= 2;
      continue;
    }
    if (m%2!=0&&n%2==0)
    {
      n /= 2;
      continue;
    }
    if (m%2!=0&&n%2!=0)
    {
      int i=m;
      m= m>n ? m-n:n-m;   //m=abs(m-n);
      if(i<n)
          n=i;
      continue;
    }
  }
  if (m==0)
    return n*c;
  if (n==0)
    return m*c;
}