为什么要用补码来做存储

看了些补码的知识，摘抄了些，自己整理了些。

顺便带着两个小问题：

INT_MAX = 2147483647 ;

cout<<INT_MAX+1<<endl; //正确结果为-2147483648

UINT_MAX = 4294967295；

cout<<UINT_MAX+1<<endl; //正确结果为0

开始正文：

负数在计算机中如何表示？

举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？

很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。

但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用2的补码（Two's Complement）表示负数。

什么是2的补码？

它是一种数值的转换方法，要分二步完成：

第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，00001000的相反值就是11110111。

第二步，将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。

所以，00001000的2的补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。

不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？

为什么要用2的补码

首先，要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种最方便的方式。

2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。

还是以-8作为例子。

假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？

随便写一个计算式，16 + (-8) = ?

16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：

　０００１００００
[phone]
－－－－－－－－－
　１００１１０００

可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。

现在，再来看2的补码表示法。

　０００１００００
[phone]
－－－－－－－－－
１００００１０００

可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

2的补码的本质及正确性

我们要看先一下模的概念

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范

　　围，即都存在一个“模”。例如：

　　时钟的计量范围是0～11，模=12。

　　表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。

　　“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的

　　余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

　　例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：

　　你可以往回拨4个小时，也可以向前拨8个小时（12-10+6，在钟表系统里模是12）

　　在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。

　　对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特

　　性。共同的特点是两者相加等于模。

　　对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再

　　加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的

　　模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以

　　了。

       再次重申一下这句话：

      在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。      

      所以对于模为10000 0000的8位系统来说，减去b和加上10000 0000-b是一个道理，而（10000 0000-b）是什么？恰好就是b的补码

补码怎么求，“取反加一”这口诀怎么来的？

承认了8 - 5 = 8 + （-5的补码）这个事实后，我们来看-5的补码怎么求，“取反加一”怎么来的

其实看完了上面的模的问题，该问题的答案基本已经出来了

-5的补码是 10000 0000 - 5 = 1111 1111 + 1 -5 = （1111 1111 - 5） + 1

1111 1111减去一个数事实上就是在对这个数取反，后面那个是+1

两个小问题的解释：

(1)

32位系统里，int的最大值为01111111 11111111 11111111 11111111，加1之后为

10000000   00000000   00000000   00000000。这个数是什么？

首先这是个负数-->负数在计算器里都是补码形式存放-->这是个补码-->那么真值是？--> -2147483648（已知负数的补码求该负数，不会求的百度一下吧。。。）

(2)

对于unsigned，最大值（32个1）加1后最前面的1自然丢失，剩下32个0，所以就是0。

结束。

评论

1 楼 damoqiongqiu 2013-04-15  

非常好的文章，很透彻

不过有一句话小僧腆着脸补充一下：

“1111 1111减去一个数事实上就是在对这个数取反”

这句话的原理如下：

+5的原码为0000 1010，反码为1111 0101
-5的原码为1000 1010，反码为1111 0101 （按位取反，符号位不变）

因此，绝对值相等的两个正负整数，补码是相同的

+5的反码又可以这样算：
1111 1111-0000 1010=1111 0101

故，用1111 1111减去一个正数，即为此正数（包括对应的负数）的反码

因此：
-5的补码=10000 0000 - 5 = 1111 1111 + 1 -5 = （1111 1111 - 5） + 1
成立

即，负数的补码等于其反码+1