[转]四元数与旋转问题--网上找来的资料1

Computer Graphics: 四元數與旋轉
在討論「四元數」之前，我們來想想對三維直角座標而言，在物體旋轉會有何影響，可以擴充三維直角座標系統的旋轉為三角度系統（Three-angle system），在Game Programming Gems中有提供這麼一段：

Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a simple local roation. You often see this rotation having "pitched up" 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right.


簡單的說，三角度系統無法表現任意軸的旋轉，只要一開始旋轉，物體本身即失去對任意軸的自主性。

四元數（Quaternions）為數學家Hamilton於1843年所創造的，您可能學過的是複數，例如：a + b i 這樣的數，其中i * i = -1，Hamilton創造了三維的複數，其形式為 w + x i + y j + z k，其中i、j、k的關係如下：


i2 = j2 = k2 = -1
i * j = k = -j * i
j * k = i = -k * j
k * i = j = -i * k


假設有兩個四元數：


q1 = w1 + x1 i + y1 j + z1 k
q2 = w2 + x2 i + y2 j + z2 k


四元數的加法定義如下：


q1 + q2 = (w1+w2) + (x1+x2) i + (y1+y2) j + (z1+z2) k


四元數的乘法定義如下，利用簡單的分配律就是了：


q1 * q2 =

(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x1) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k


由於q = w + x i + y j + z k中可以分為純量w與向量x i + y j + z k，所以為了方便表示，將q表示為(S, V)，其中S表示純量w，V表示向量x i + y j + z k，所以四元數乘法又可以表示為：


q1 * q2 = (S1 + V1)*(S2 + V2) = S1*S2 - V1.V2 + V1XV2 + S1*V2 + S2*V1

其中V1.V2表示向量內積，V1XV2表示向量外積。

定義四元數q = w + x i + y j +ｚ k 的norm為：


N(q) = |q| = x2 + y2 + z2 + w2


滿足N(q) = 1的四元數集合，稱之為單位四元數（Unit quaternions）。

定義四元數定義四元數q = w + x i + y j +ｚk的共軛（Conjugate）為：


q* = 定義四元數q = w - x i - y j -ｚ k = [S - V]


定義四元數的倒數為：


1/ q = q* / N(q)


說明了一些數學，您所關心的或許是，四元數與旋轉究竟有何關係，假設有一任意旋轉軸的向量A(Xa, Ya, Za)與一旋轉角度θ，如下圖所示：



若令q = [S, V] = [cosθ, u*sinθ]，其中u為單位向量，而令q'= [S', V']為一四元數，則經過導證，可以得出q * q' * q^(-1)會使得q'繞著u軸旋轉2θ。

由四元數的矩陣乘法與四元數的旋轉，可以導證出上面的旋轉公式可以使用以下的矩陣乘法來達成：



講了這麼多，其實就是要引出上面這個矩陣乘法，也就是說如果您要讓向量(x', y', z')（w'為0）對某個單位向量軸u(x, y, z)旋轉角度2θ，則w = cosθ，代入以上的矩陣乘法，即可得旋轉後的(x", y", z")，如果為了方便，轉換矩陣的最下列與最右行會省略不寫出來，而如下所示：