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我们平时经常会有一些数据运算的操作,需要调用sqrt,exp,abs等函数,那么时候你有没有想过:这个些函数系统是如何实现的?就拿最常用的sqrt函数来说吧,系统怎么来实现这个经常调用的函数呢?
虽然有可能你平时没有想过这个问题,不过正所谓是“临阵磨枪,不快也光”,你“眉头一皱,计上心来”,这个不是太简单了嘛,用二分的方法,在一个区间中,每次拿中间数的平方来试验,如果大了,就再试左区间的中间数;如果小了,就再拿右区间的中间数来试。比如求sqrt(16)的结果,你先试(0+16)/2=8,8*8=64,64比16大,然后就向左移,试(0+8)/2=4,4*4=16刚好,你得到了正确的结果sqrt(16)=4。然后你三下五除二就把程序写出来了:
view sourceprint?01 //用二分法
02 float SqrtByBisection(float n)
03 {
04 //小于0的按照你需要的处理
05 if(n < 0)
06 return n;
07 float mid,last;
08 float low,up;
09 low=0,up=n;
10 mid=(low+up)/2;
11 do
12 {
13 if(mid*mid>n)
14 up=mid;
15 else
16 low=mid;
17 last=mid;
18 mid=(up+low)/2;
19 }
20 //精度控制
21 while(abs(mid-last) > eps);
22 return mid;
23 }
然后看看和系统函数性能和精度的差别(其中时间单位不是秒也不是毫秒,而是CPU Tick,不管单位是什么,统一了就有可比性)。二分法和系统的方法结果上完全相同,但是性能上整整差了几百倍。为什么会有这么大的区别呢?难道系统有什么更好的办法?难道。。。。哦,对了,回忆下我们曾经的高数课,曾经老师教过我们“牛顿迭代法快速寻找平方根”,或者这种方法可以帮助我们,具体步骤如下。
求出根号a的近似值:首先随便猜一个近似值x,然后不断令x等于x和a/x的平均数,迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。例如,我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4,虽然错的离谱,但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了:
view sourceprint?1 ( 4 + 2/4 ) / 2 = 2.25
2 ( 2.25 + 2/2.25 ) / 2 = 1.56944..
3 ( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
4 ( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
5 ....
这种算法的原理很简单,我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根,这个函数的导数是2x。也就是说,函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么,x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x),也就是(x+a/x)/2。
相关的代码如下:
view sourceprint?01 float SqrtByNewton(float x)
02 {
03 // 最终
04 float val = x;
05 // 保存上一个计算的值
06 float last;
07 do
08 {
09 last = val;
10 val =(val + x/val) / 2;
11 }
12 while(abs(val-last) > eps);
13 return val;
14 }
牛顿迭代法性能提高了很多,可是和系统函数相比,还是有这么大差距,这是为什么呀?想啊想啊,想了很久仍然百思不得其解。突然有一天,我在网上看到一个神奇的方法,于是就有了今天的这篇文章,废话不多说,看代码先:
view sourceprint?01 float InvSqrt(float x)
02 {
03 float xhalf = 0.5f*x;
04 int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
05 i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
06 x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
07 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
08 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
09 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
10
11 return 1/x;
12 }
这次真的是质变了,结果竟然比系统的还要好。到现在你是不是还不明白那个“鬼函数”,到底为什么速度那么快吗?不急,先看看下面的故事吧:
Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错,而且即使计算机配置低,也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克(John Carmack)。事实上早在90年代初DOS时代,只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候,John Carmack就推出了石破天惊的Castle Wolfstein, 然后再接再励,doom, doomII, Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效,几乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见,修改了不少API。
最近,QUAKE的开发商ID SOFTWARE 遵守GPL协议,公开了QUAKE-III的原代码,让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。这是QUAKE-III原代码的下载地址: http://www.fileshack.com/file.x?fid=7547。我们知道,越底层的函数,调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。那么找到最底层的数学运算函数(在game/code/q_math.c), 必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数,很多都令人惊奇,估计我们几年时间都学不完。在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒,经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍:
view sourceprint?01 float Q_rsqrt( float number )
02 {
03 long i;
04 float x2, y;
05 const float threehalfs = 1.5F;
06
07 x2 = number * 0.5F;
08 y = number;
09 i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
10 i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
11 y = * ( float * ) &i;
12 y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
13 // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
14
15 #ifndef Q3_VM
16 #ifdef __linux__
17 assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
18 #endif
19 #endif
20 return y;
21 }
函数返回1/sqrt(x),这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。注意到这个函数只用了一次叠代!(其实就是根本没用叠代,直接运算)。编译,实验,这个函数不仅工作的很好,而且比标准的sqrt()函数快4倍!要知道,编译器自带的函数,可是经过严格仔细的汇编优化的啊!
这个简洁的函数,最核心,也是最让人费解的,就是标注了“what the fuck?”的一句:i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
再加上y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
两句话就完成了开方运算!而且注意到,核心那句是定点移位运算,速度极快!特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上,这样做是极其高效的。
算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f(x)/f'(x)来不断的逼近f(x)=a的根。
没错,一般的求平方根都是这么循环迭代算的但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df 来计算那个猜测值,就是我们加注释的那一行,那一行算出的值非常接近1/sqrt(n),这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。好吧如果这个还不算NB,接着看:
普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣,决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人,在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值,和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛,他是外星人吗?
传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意,于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛,看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。
最后Lomont怒了,采用暴力方法一个数字一个数字试过来,终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字,虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似,这个暴力得出的数字是0x5f375a86。
Lomont为此写下一篇论文,"Fast Inverse Square Root"。 论文下载地址:http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf ,http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf。
最后,给出最精简的1/sqrt()函数:
view sourceprint?1 float InvSqrt(float x)
2 {
3 float xhalf = 0.5f*x;
4 int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
5 i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
6 x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
7 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
8 return x;
9 }
大家可以尝试在PC机、51、AVR、430、ARM、上面编译并实验,惊讶一下它的工作效率。
前两天有一则新闻,大意是说 Ryszard Sommefeldt 很久以前看到这么样的一段 code (可能出自 Quake III 的 source code):
view sourceprint?1 float InvSqrt (float x)
2 {
3 float xhalf = 0.5f*x;
4 int i = *(int*)&x;
5 i = 0x5f3759df - (i>>1);
6 x = *(float*)&i;
7 x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
8 return x;
9 }
他一看之下惊为天人,想要拜见这位前辈高人,但是一路追寻下去却一直找不到人;同时间也有其他人在找,虽然也没找到出处,但是 Chris Lomont 写了一篇论文 (in PDF) 解析这段 code 的算法 (用的是 Newton’s Method,牛顿法;比较重要的是后半段讲到怎么找出神奇的 0x5f3759df 的)。
PS. 这个 function 之所以重要,是因为求 开根号倒数 这个动作在 3D 运算 (向量运算的部份) 里面常常会用到,如果你用最原始的 sqrt() 然后再倒数的话,速度比上面的这个版本大概慢了四倍吧… XD
PS2. 在他们追寻的过程中,有人提到一份叫做 MIT HACKMEM 的文件,这是 1970 年代的 MIT 强者们做的一些笔记 (hack memo),大部份是 algorithm,有些 code 是 PDP-10 asm 写的,另外有少数是 C code (有人整理了一份列表)。
好了,故事就到这里结束了,希望大家能有有收获:)
虽然有可能你平时没有想过这个问题,不过正所谓是“临阵磨枪,不快也光”,你“眉头一皱,计上心来”,这个不是太简单了嘛,用二分的方法,在一个区间中,每次拿中间数的平方来试验,如果大了,就再试左区间的中间数;如果小了,就再拿右区间的中间数来试。比如求sqrt(16)的结果,你先试(0+16)/2=8,8*8=64,64比16大,然后就向左移,试(0+8)/2=4,4*4=16刚好,你得到了正确的结果sqrt(16)=4。然后你三下五除二就把程序写出来了:
view sourceprint?01 //用二分法
02 float SqrtByBisection(float n)
03 {
04 //小于0的按照你需要的处理
05 if(n < 0)
06 return n;
07 float mid,last;
08 float low,up;
09 low=0,up=n;
10 mid=(low+up)/2;
11 do
12 {
13 if(mid*mid>n)
14 up=mid;
15 else
16 low=mid;
17 last=mid;
18 mid=(up+low)/2;
19 }
20 //精度控制
21 while(abs(mid-last) > eps);
22 return mid;
23 }
然后看看和系统函数性能和精度的差别(其中时间单位不是秒也不是毫秒,而是CPU Tick,不管单位是什么,统一了就有可比性)。二分法和系统的方法结果上完全相同,但是性能上整整差了几百倍。为什么会有这么大的区别呢?难道系统有什么更好的办法?难道。。。。哦,对了,回忆下我们曾经的高数课,曾经老师教过我们“牛顿迭代法快速寻找平方根”,或者这种方法可以帮助我们,具体步骤如下。
求出根号a的近似值:首先随便猜一个近似值x,然后不断令x等于x和a/x的平均数,迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。例如,我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4,虽然错的离谱,但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了:
view sourceprint?1 ( 4 + 2/4 ) / 2 = 2.25
2 ( 2.25 + 2/2.25 ) / 2 = 1.56944..
3 ( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
4 ( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
5 ....
这种算法的原理很简单,我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根,这个函数的导数是2x。也就是说,函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么,x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x),也就是(x+a/x)/2。
相关的代码如下:
view sourceprint?01 float SqrtByNewton(float x)
02 {
03 // 最终
04 float val = x;
05 // 保存上一个计算的值
06 float last;
07 do
08 {
09 last = val;
10 val =(val + x/val) / 2;
11 }
12 while(abs(val-last) > eps);
13 return val;
14 }
牛顿迭代法性能提高了很多,可是和系统函数相比,还是有这么大差距,这是为什么呀?想啊想啊,想了很久仍然百思不得其解。突然有一天,我在网上看到一个神奇的方法,于是就有了今天的这篇文章,废话不多说,看代码先:
view sourceprint?01 float InvSqrt(float x)
02 {
03 float xhalf = 0.5f*x;
04 int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
05 i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
06 x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
07 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
08 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
09 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
10
11 return 1/x;
12 }
这次真的是质变了,结果竟然比系统的还要好。到现在你是不是还不明白那个“鬼函数”,到底为什么速度那么快吗?不急,先看看下面的故事吧:
Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错,而且即使计算机配置低,也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克(John Carmack)。事实上早在90年代初DOS时代,只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候,John Carmack就推出了石破天惊的Castle Wolfstein, 然后再接再励,doom, doomII, Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效,几乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见,修改了不少API。
最近,QUAKE的开发商ID SOFTWARE 遵守GPL协议,公开了QUAKE-III的原代码,让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。这是QUAKE-III原代码的下载地址: http://www.fileshack.com/file.x?fid=7547。我们知道,越底层的函数,调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。那么找到最底层的数学运算函数(在game/code/q_math.c), 必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数,很多都令人惊奇,估计我们几年时间都学不完。在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒,经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍:
view sourceprint?01 float Q_rsqrt( float number )
02 {
03 long i;
04 float x2, y;
05 const float threehalfs = 1.5F;
06
07 x2 = number * 0.5F;
08 y = number;
09 i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
10 i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
11 y = * ( float * ) &i;
12 y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
13 // y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
14
15 #ifndef Q3_VM
16 #ifdef __linux__
17 assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
18 #endif
19 #endif
20 return y;
21 }
函数返回1/sqrt(x),这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。注意到这个函数只用了一次叠代!(其实就是根本没用叠代,直接运算)。编译,实验,这个函数不仅工作的很好,而且比标准的sqrt()函数快4倍!要知道,编译器自带的函数,可是经过严格仔细的汇编优化的啊!
这个简洁的函数,最核心,也是最让人费解的,就是标注了“what the fuck?”的一句:i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
再加上y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
两句话就完成了开方运算!而且注意到,核心那句是定点移位运算,速度极快!特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上,这样做是极其高效的。
算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f(x)/f'(x)来不断的逼近f(x)=a的根。
没错,一般的求平方根都是这么循环迭代算的但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df 来计算那个猜测值,就是我们加注释的那一行,那一行算出的值非常接近1/sqrt(n),这样我们只需要2次牛顿迭代就可以达到我们所需要的精度。好吧如果这个还不算NB,接着看:
普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣,决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人,在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值,和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛,他是外星人吗?
传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意,于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛,看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。
最后Lomont怒了,采用暴力方法一个数字一个数字试过来,终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字,虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似,这个暴力得出的数字是0x5f375a86。
Lomont为此写下一篇论文,"Fast Inverse Square Root"。 论文下载地址:http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf ,http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf。
最后,给出最精简的1/sqrt()函数:
view sourceprint?1 float InvSqrt(float x)
2 {
3 float xhalf = 0.5f*x;
4 int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
5 i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
6 x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
7 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
8 return x;
9 }
大家可以尝试在PC机、51、AVR、430、ARM、上面编译并实验,惊讶一下它的工作效率。
前两天有一则新闻,大意是说 Ryszard Sommefeldt 很久以前看到这么样的一段 code (可能出自 Quake III 的 source code):
view sourceprint?1 float InvSqrt (float x)
2 {
3 float xhalf = 0.5f*x;
4 int i = *(int*)&x;
5 i = 0x5f3759df - (i>>1);
6 x = *(float*)&i;
7 x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
8 return x;
9 }
他一看之下惊为天人,想要拜见这位前辈高人,但是一路追寻下去却一直找不到人;同时间也有其他人在找,虽然也没找到出处,但是 Chris Lomont 写了一篇论文 (in PDF) 解析这段 code 的算法 (用的是 Newton’s Method,牛顿法;比较重要的是后半段讲到怎么找出神奇的 0x5f3759df 的)。
PS. 这个 function 之所以重要,是因为求 开根号倒数 这个动作在 3D 运算 (向量运算的部份) 里面常常会用到,如果你用最原始的 sqrt() 然后再倒数的话,速度比上面的这个版本大概慢了四倍吧… XD
PS2. 在他们追寻的过程中,有人提到一份叫做 MIT HACKMEM 的文件,这是 1970 年代的 MIT 强者们做的一些笔记 (hack memo),大部份是 algorithm,有些 code 是 PDP-10 asm 写的,另外有少数是 C code (有人整理了一份列表)。
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- **开方**:可以使用`sqrt()`函数来计算平方根,它是数学库`<math.h>`的一部分。 - **复利计算**:通过循环和指数运算实现复利计算,常用于金融模型。 - **傅立叶变换**:用于信号处理和图像分析,C语言可实现...
例如,在Python的math库中,`sqrt()`函数用于计算平方根。 当涉及到大量数据或高精度计算时,可能会遇到精度问题。例如,浮点数运算在计算机内部是以二进制表示的,这可能导致不精确的结果。为了处理这个问题,一些...
在编程领域,C语言是一种广泛使用的高级编程语言,以其高效、灵活和接近底层特性而闻名。本主题聚焦于使用C语言来判断一个整数是否为素数。素数是大于1且仅能被1和其自身整除的自然数,如2、3、5、7等。下面我们将...
此外,了解库函数源代码还可以帮助你在遇到性能问题时进行优化,比如,如果你发现某个函数在处理大量数据时效率低下,可以通过查看源代码找出瓶颈并尝试改进。同时,学习源代码也可以培养良好的编程习惯,避免重复造...
在C语言中,通常使用标准库`<math.h>`来实现这些操作,如`sqrt()`(平方根)、`pow()`(指数运算)、`log()`(自然对数)等。 3. **算法实现**:算法是解决问题的步骤或过程,这里可能包含了排序算法(如冒泡排序、...
#### 九、底层文件输入输出函数 1. **特殊函数** - **`fopen`**:打开文件。 - **`fclose`**:关闭文件。 - **`fprintf`**:格式化写入文件。 #### 十、字符串函数 1. **常用函数** - **`char`**:创建字符...
4. `<math.h>`:提供了各种数学运算函数,如平方根`sqrt`,指数函数`exp`,对数函数`log`,三角函数`sin`、`cos`和`tan`,以及其他数学常量,如圆周率`M_PI`。 5. `<assert.h>`:用于断言检查,帮助在调试阶段检测...
MATLAB提供了大量的内置数学函数,如`abs()`计算绝对值,`angle()`获取复数的相位角,`sqrt()`求平方根,`real()`返回复数的实部,`imag()`返回复数的虚部,`conj()`获取复数的共轭。此外,还有`round()`、`fix()`、...
4. **数学库 (math.h)**: 提供了各种数学运算函数,如平方根`sqrt`,指数`pow`,三角函数`sin`, `cos`, `tan`,以及取整`ceil`, `floor`, `round`等。 5. **位操作库 (bitwise.h)**: 在C++中,位操作常用于底层编程...
例如,`sqrt()`用于求平方根,`pow()`用于求幂,`sin()`、`cos()`和`tan()`是三角函数,`log()`和`exp()`则是对数和指数函数。 5. 其他头文件如`<time.h>`(时间处理)、`<assert.h>`(断言)和`<ctype.h>`(字符...