背包问题之硬币找零问题

设有6 种不同面值的硬币，各硬币的面值分别为5 分，1 角，2 角，5 角，1 元，2元。现要用这些面值的硬币来购物和找钱。购物时可以使用的各种面值的硬币个数存于数组Coins[1:6]中，商店里各面值的硬币有足够多。在1次购物中希望使用最少硬币个数。例如，1 次购物需要付款0.55 元，没有5 角的硬币，只好用2*20+10+5 共4 枚硬币来付款。如果付出1 元，找回4 角5 分，同样需要4 枚硬币。但是如果付出1.05 元（1 枚1元和1 枚5分），找回5 角，只需要3 枚硬币。这个方案用的硬币个数最少。

对于给定的各种面值的硬币个数和付款金额，计算使用硬币个数最少的交易方案。

Input：输入数据有若干组，每一行有6 个整数和1 个有2 位小数的实数。分别表示可以使用的各种面值的硬币个数和付款金额。文件以6 个0 结束。

Output：将计算出的最少硬币个数输出。结果应分行输出，每行一个数据。如果不可能完成交易，则输出"impossible"。

Sample Input：

view sourceprint?1 2 4 2 2 1 0 0.95 

2 2 4 2 0 1 0 0.55 

3 0 0 0 0 0 0

Sample Output：

view sourceprint?1 2 

2 3

解题思路：01背包，完全背包。

change[i]表示商店支付面值为i需要的最少硬币个数；

dp[i]表示顾客现有的硬币数支付面值为i需要的最少硬币数；

w为当前要支付的实际面值，若顾客支付面值为k的钱（k>=w），商家找钱k-w,该条件下最少需要的硬币数为dp[k]+change[k-w]，由此推得，最少硬币数为所有符合条件k>=w下最小的dp[k]+change[k-w];

即： ans = min(dp[k]+change[k-w])(k>=w)。

对于change[i],商店里各面值的硬币有足够多，故可用完全背包实现。

对于dp[i],可用混合背包计算，这里我直接拆成01背包来实现（比较暴力，O(∩_∩)O~）。

PS:为减少空间开销，最终化为以5分为单位计算。

view sourceprint?001 #include<stdio.h> 

002 #include<string.h> 

003   

004 const int N = 20000; 

005 int change[N];//change[i]为面值为i的钱至少需要的硬币个数 

006 int dp[N];//dp[i]为当前拥有的硬币数量条件下表示面值为i的最少硬币个数 

007 int value[6] = {1,2,4,10,20,40};//每种硬币对应面值，依次为1，2,4,10,20,40个五分，即5,10,20,50,100,200； 

008 int number[6];//对应于当前拥有的每种硬币个数 

009   

010 void init()//计算change[i] 

011 { 

012    int i,j; 

013    for(i=0;i<N;i++)change[i]=-1; 

014    change[0]=0; 

015    for(i=0;i<6;i++) 

016    { 

017       for(j=value[i];j<N;j++)//这里使用完全背包，不能理解的话可参考背包九讲 

018       { 

019        if(change[j-value[i]]!=-1) 

020        { 

021          int temp=change[j-value[i]]+1; 

022          if(change[j]==-1||temp<change[j])change[j]=temp; 

023        } 

024       } 

025    } 

026 } 

027 int main() 

028 { 

029    //freopen("change.in","r",stdin); 

030      

031     init(); //计算出change[i] 

032    

033     while(scanf("%d%d%d%d%d%d",&number[0],&number[1],&number[2],&number[3],&number[4],&number[5])!=EOF) 

034     { 

035       int sum = 0; 

036       int kk; 

037       for(kk=0;kk<6;kk++)sum+=number[kk]; 

038       if(sum==0)break; 

039       double weight; 

040       scanf("%lf",&weight); 

041       weight=weight*100; 

042      // printf("weight = %lf\n",weight); 

043       int w = int(weight+0.0000001);//处理精度问题 

044       //printf("%d\n",w); 

045   

046       if(w%5!=0)//若不能整除，则无法表示 

047       { 

048          printf("impossible\n"); 

049          continue; 

050       } 

051       else

052           w = w/5; 

053        

054       int i,j; 

055       memset(dp,-1,sizeof(dp)); 

056       dp[0]=0; 

057       int bigger = 0; 

058       for(i=0;i<6;i++)//计算顾客支付面值i需要的最少硬币数dp[i] 

059       { 

060         while(number[i]--) //将混合背包拆成01背包做，写水了点。。。 

061         { 

062          bigger = bigger+value[i]; 

063          for(j=bigger;j>=value[i];j--) 

064          { 

065           if(dp[j-value[i]]!=-1) 

066           { 

067             int temp=dp[j-value[i]]+1; 

068             if(dp[j]==-1||temp<dp[j]) 

069             { 

070               dp[j]=temp; 

071             } 

072           } 

073          } 

074         } 

075       } 

076    

077     int ans =-1; 

078     for(i=w;i<=bigger;i++)//寻找最少硬币组合 

079     { 

080      if(dp[i]!=-1) 

081      { 

082       int need = i-w; 

083       if(change[need]!=-1) 

084       { 

085        int temp = dp[i]+change[need]; 

086        if(ans==-1||ans>temp)ans=temp; 

087       } 

088      } 

089     } 

090   

091    // for(i=0;i<N;i++) 

092   //   if(dp[i]!=-1) 

093    //  printf("dp[%d]=%d\n",i,dp[i]); 

094   

095     if(ans!=-1) 

096     printf("%d\n",ans); 

097     else

098      printf("impossible\n"); 

099    } 

100    return 0; 

101 }