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一元多项式乘法算法

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一元多项式乘法算法

 

       一般的,一元多项式相乘有两种算法:

Ai)(0<=i<n)、Bj(0<=j<m)表示多项式AB所对应的第ij项元素,Cij)表示A(i)*B(j)的结果。则有:

 

算法一:结果用链表存储

此算法用Ai)去乘Bj(0<=j<m),逐项把每个结果插入结果链表ResultNode中。此算法下,每次相乘所得结果即Cij)要正确的插入ResultNode中,则要遍历链表以便合并同类项或生成新节点(若ResultNode有序,遍历量会相对减少)。

       算法二:结果用大型数组存储

此算法会预先开辟一个很大的空间,如float result10000】,数组长度会根据实际情况进行调整。操作时同样用多项式A中的每一项去乘多项式B中的每一项,每次相乘得到的结果Cij)都将加入下标与Cij)指数相同的数组元素。

 

算法一和算法二充分体现了时间与空间的矛盾:前者空间开销较小而时间开销较大,后者则恰恰相反。当然也有基于以上两种算法的变种算法,但其实质相同,并无较大改进。

 

下面,我们尝试一种空间与时间均较优的算法。

算法二造成空间浪费的主要原因在于无法预知最终多项式的项数,倘若可以预知结果多项式的项数,我们可以开辟较优的空间:若结果多项式的项数为num,我们可开辟空间

index1num】和index2num】,在index1中按序存放相乘中先出现的多项式指数,而与index2中相同下标数组元素则存放该指数相对应的系数,每计算出一个新结果时只需遍历数组index1即可,该法较上两法优,而在实现上,要确定最终多项式的项数,则必须先进行一次两个多项式相乘,随后再重复一次多项式相乘操作。显然,两次多项式相乘操作会使效率大打折扣。那可以仅进行一次多项式相乘便可以得到结果吗?可以!完全可以!

 

       注意到多项式相乘时,关键因素是多项式指数确定问题,故为了简便明了,这里我们暂不考虑系数因素。而多项式相乘时,对结果指数而言,等效于将AB多项式的任意两个指数相加,故我们可建立等效该数学模型:已知两集合AhBh,定义集合Ah+Bh=Ch,这里

+”操作是AhBh两多项式的任意两元素相加所得到的集合。

为了更好的理解该算法原理,令Ah={125}Bh={125},求Ch

                                      编号: 0      1       2

                                                                      Bh 1          2            5

                                        Ah 1          2            5

如右图所示:

1)  因为Ah0+Bh(0) = 1 + 1 = 2 < Ah(1)+Bh(0)=2 + 1 = 32是尚未计算和结果中最小的一个。

2)  因为Ah0+Bh(1) = 1 + 2 = 3 ==Ah(1)+Bh(0)=2 + 1 = 3Ah2+Bh(0) = 5+1= 6

所以3是尚未计算和结果中最小的一个。

3)  Ah0+Bh(3) = 1 + 5 = 6 < Ah(1)+Bh(2)=2 + 5 = 7, Ah2+Bh(0) = 5+1= 6

所以6是尚未计算和结果中最小的一个。

4)  Ah(1)+Bh(2)=2 + 5 = 7 ==  Ah2+Bh(1) = 5+2= 7

所以7是尚未计算和结果中最小的一个。

5) Ah2+Bh(2) = 5+5= 10

所以10是尚未计算和结果中最小的一个。

 

以上实例,并未模拟完全遍历AhBh集合,但成功的求出了Ch。基于引例,我们可以得到其计算原则:

1)集合AB均为升序,这是该算法的前提。

2)设立变量i=0,数组dataAhLength】用存放Ah中每个元素所对应的Bh中尚未进行计    算且计算结果不为最小和的元素的下标。

3)计算data1=Ahi+Bhdatai】】,寻找满足Ahj+Bhdataj】】<= data1j>ij是否存在,若不存在,则data1尚未计算和结果中最小的一个。否则,把j看做变量i,继续该操作,直到找到最大的j使其和最小。

4)若当前i多对应的datai<BhLength-1,datai++,否则i++

   data[AhLength-1] =BhLength,则所有加法和已找到,否则继续操作2

 

其算法描述如下:

Int main(){

   int anum,bnum;                               //定义Ah,Bh多项式项数
   int i =0,j =0,k=0,tp = 0;
   int data1 = 0,data2=0,temp = 0;                    //
存放所得指数和的变量
   
  input
anum;                                //输入Ah多项式项数

input(aanum);                             //输入Ah多项式

initdataanum;                          //初始化data【】数组

inputbnum;                               //输入Bh多项式项数

inputbbnum】);                            //输入Bh多项式

 

//Ah,Bh按升序排列,如果有必要

sorta;

sortb;

//依次得到最小的指数和
   while(data[anum-1]<bnum){
      data1 =  a[i]+b[data[i]];
      j = data[i] -1 ;
      k = i + 1;
      temp = data1;
      while(j>=0&&k<anum){
           data2=a[k] + b[data[k]];
           if(data2>temp){
                 if((k+1)==anum||data2<a[k+1]+b[data[k+1]])
                       break;
                 else{
                       data2 = a[k+1]+b[data[k+1]];
                       k ++;
                       j--;
                 }      
         }
       if(data2==temp){
            data[k]++;
            k++;
       }
      else{
            temp = data2;
            tp = k;
            k++;
            j--;
      }

}//内层while
   if(temp>=data1)
        data[i]++;
    else{
        data1 = temp;
        data[tp]++;
     }

 if(data[i]>bnum-1)
       i++;

//处理结果最小指数和data1,可以保存亦可直接输出,这里省略。

}

}

 

指数问题一旦解决了,那么计算系数时,只要加上计算对应系数乘积和便可。

附:附件中有其简单的基本实现程序。

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