约瑟夫环非递归算法和递归算法分析与实现（ZZ）

【Joseph问题描述】
n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。


【求解思路】
1.非递归算法
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x' =(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

int main()
{
    int n, m, i, s=0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (i=2; i <=n; i++)
        s=(s+m)%i;
    printf ("The winner is %d/n", s+1);
}

2.递归算法

当n个人时，退出的一定是报到m%n-1的人（有%是因为m可能大于n，经过循环才能报到m），由于所有人是一个环，可以认为是从任何地方开始编号的，所以在m%n-1这个人之后的人可以认为编码都大于他，那么整个环的编号就是m%n-1到m%n-1+n-1（也就是m%n-1到m%n-2，实际上一个编号是m还是m+n或者m+2n都无所谓，只要最终算出来的编号对n取模就是正确的编号了。）
那此人退出后他的下一位，也就是原来报m%n这位的编号将更新为0。相应的后面的编码都会减少m%n，所以得出公式:
f[n] - m%n = f[n-1]
变形一下公式也就是:
f[n] = (f[n-1] + m) % n
由此公式得到递归算法（注，要是跟非递归保持一致的话，可以将最后返回值+1）

int f(int n, int m)
{
    if (n > 1)
        return (m + f(n - 1, m)) % n;
    else
        return 0;
}