数据库原理之关系模式的范式

1 第一范式

1NF：第一范式—— 即关系模式中的属性的值域中每一个值都是不可再分解的值。
如果某个数据库模式都是第一范式的，则称该数据库模式是属于第一范式的数据库模式。
比如有一个关系 study={学号，课程}，若有这样几行记录：

这时的第三条记录就表示本关系模式不是1NF的，因为课程中的值域还是可以分解的，它包括了两门课程。
如果改为下列形式，则是1NF



2 第二范式
如果关系模式R为第一范式，并且R中每一个非主属性完全函数依赖于R的某个候选键， 则称为第二范式模式。

首先温习、理解“非主属性”、“完全函数依赖”、“候选键”这三个名词的含义。
（1）候选键：可以唯一决定关系模式R中某元组值且不含有多余属性的属性集。
（2）非主属性：即非键属性，指关系模式R中不包含在任何建中的属性。
（3）完全函数依赖：设有函数依赖W→A，若存在XW，有X→A成立，那么称W→A是局部依赖，否则就称W→A是完全函数依赖。

    在分析是否为第2范式时，应首先确定候选键，然后把关系模式中的非主属性与键的依赖关系进行考察， 是否都为完全函数依赖，如是，则此关系模式为2NF。
　　如果数据库模式中每个关系模式都是2NF的，则此数据库模式属于2NF的数据库模式。

比如有一个关系 study={学号，学生姓名，课程,成绩}

其中，（学号，课程）为候选键；“成绩”对键的函数依赖为完全函数依赖，而“姓名”只依赖于“学号”， 对键的依赖为部分函数依赖。所以，该关系模式不符合2NF。如果将该 模式分解为以下两个关系：
　　　　　student={学号，姓名｝
　　　　　study={学号，课程，成绩}
则分解后的两个关系模式均为2NF


3 第三范式
如果关系模式R是第二范式，且每个非主属性都不传递依赖于R的候选键，则称R为第三范式模式。
传递依赖的含义： 在关系模式中，如果Y→X，X→A，且XY(X不决定Y)和AX(A不属于X)，那么Y→A是传递依赖。 Notice:要求非主属性都不传递依赖于候选键。
上一小节例子中student={学号，姓名｝，study={学号，课程，成绩}都是3NF


4 BCNF
这个范式和第三范式有联系，它是3NF的改进形式。
　　若关系模式R是第一范式，且每个属性都不传递依赖于R的候选键。这种关系模式就是BCNF模式。

四种范式，可以发现它们之间存在如下关系：



5 分解成BCNF模式集的算法
对于任一关系模式，
(1)可找到一个分解达到3NF，且具有无损联接和保持函数依赖性。
(2)对于BCNF分解，则可以保证无损联接但不一定能保证保持函数依赖集。

无损联接分解成BCNF模式集的算法：
(1)置初值ρ={R};
(2)如果ρ中所有关系模式都是BCNF，则转(4);
(3)如果ρ中有一个关系模式S不是BCNF，则S中必能找到一个函数依赖集X→A有X不是S的键，且A不属于X，设S1=XA，S2=S-A，用分解S1,S2代替S，转(2)；
(4)分解结束。输出ρ。
Notice:重点在于(3)步，判断哪个关系不是BCNF，并找到X和A。
例：关系模式R<U,F>，其中：U={A,B,C,D,E}，F={A→C,C→D,B→C,DE→C,CE→A}，将其分解成BCNF并保持无损连接。
      解：
      ① 令ρ={R(U,F)}。
      ② ρ中不是所有的模式都是BCNF，转入下一步。
      ③ 分解R：R上的候选关键字为BE（因为所有函数依赖的右边没有BE）。考虑A→C函数依赖不满足BCNF条件（因A不包含候选键BE），将其分解成R1(AC)、R2(ABDE)。
计算R1和R2的最小函数依赖集分别为：F1={A→C}，F2={B→D,DE→D,BE→A}。其中B→D是由于R2中没有属性C且B→C,C→D；DE→D是由于R2中没有属性C且DE→C,C→D；BE→A是由于R2中没有属性C且B→C,CE→A。又由于DE→D是蕴含关系，可以去掉，故F2={B→D,BE→A}。

      分解R2：R2上的候选关键字为BE。考虑B→D函数依赖不满足BCNF条件，将其分解成R21(BD)、R22(ABE)。计算R21和R22的最小函数依赖集分别为：F21={B→D}，F22={BE→A}。

      由于R22上的候选关键字为BE，而F22中的所有函数依赖满足BCNF条件。故R可以分解为无损连接性的BCNF如：ρ={R1(AC),R21(BD),R22(ABE)}


6 分解成3NF模式集
(1)如果R中的某些属性在F的所有依赖的左边和右边都不出现，那么这些属性可以从R中分出去，单独构成一个关系模式。
(2)如果F中有一个依赖X→A有XA=R，则ρ={R}，转(4)
(3)对于F中每一个X→A，构成一个关系模式XA，如果F有有X→A1，X→A2...X→An,则可以用模式XA1A2...An代替n个模式XA1,XA2...XAn;
(4)w分解结束，输入ρ。

例1：关系模式R<U,F>，其中U={C,T,H,R,S,G}，
F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}，将其分解成3NF并保持函数依赖。
解：根据算法进行求解     
(一)计算F的最小函数依赖集
      ① 利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖。由于F的所有函数依赖的右边都是单个属性，故不用分解。

      ② 去掉F中多余的函数依赖

      A．设CS→G为冗余的函数依赖，则去掉CS→G，得：

      F1={C→T,TH→R,HR→C,HS→R}

      计算(CS)F1+：

      设X(0)=CS

      计算X(1)：扫描F1中各个函数依赖，找到左部为CS或CS子集的函数依赖，找到一个C→T函数依赖。故有X(1)=X(0)∪T=CST。

      计算X(2)：扫描F1中的各个函数依赖，找到左部为CST或CST子集的函数依赖，没有找到任何函数依赖。故有X(2)=X(1)。算法终止。

      (CS)F1+= CST不包含G，故CS→G不是冗余的函数依赖，不能从F1中去掉。

      B．设C→T为冗余的函数依赖，则去掉C→T，得：

      F2={CS→G,TH→R,HR→C,HS→R}

      计算(C)F2+：

      设X(0)=C

      计算X(1)：扫描F2中的各个函数依赖，没有找到左部为C的函数依赖。故有X(1)=X(0)。算法终止。故C→T不是冗余的函数依赖，不能从F2中去掉。

      C．设TH→R为冗余的函数依赖，则去掉TH→R，得：

      F3={CS→G,C→T,HR→C,HS→R}

      计算(TH)F3+：

      设X(0)=TH

      计算X(1)：扫描F3中的各个函数依赖，没有找到左部为TH或TH子集的函数依赖。故有X(1)=X(0)。算法终止。故TH→R不是冗余的函数依赖，不能从F3中去掉。

      D．设HR→C为冗余的函数依赖，则去掉HR→C，得：

      F4={CS→G,C→T,TH→R,HS→R}

      计算(HR)F4+：

      设X(0)=HR

      计算X(1)：扫描F4中的各个函数依赖，没有找到左部为HR或HR子集的函数依赖。故有X(1)=X(0)。算法终止。故HR→C不是冗余的函数依赖，不能从F4中去掉。

      E．设HS→R为冗余的函数依赖，则去掉HS→R，得：

      F5={CS→G,C→T,TH→R,HR→C}

      计算(HS)F5+：

      设X(0)=HS

      计算X(1)：扫描F5中的各个函数依赖，没有找到左部为HS或HS子集的函数依赖。故有X(1)=X(0)。算法终止。故HS→R不是冗余的函数依赖，不能从F5中去掉。即：F5={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}

      ③ 去掉F5中各函数依赖左边多余的属性（只检查左部不是单个属性的函数依赖）,没有发现左边有多余属性的函数依赖。

故最小函数依赖集为：F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}

(二)由于R中的所有属性均在F中都出现，所以转下一步。     

(三)对F按具有相同左部的原则分为：

R1=CSG，R2=CT，R3=THR，R4=HRC，R5=HSR。
所以ρ={R1(CSG),R2(CT),R3(THR),R4(HRC),R5(HSR)}。


转换成3NF的保持无损连接和函数依赖的分解
例2：关系模式R<U,F>，其中：U={C,T,H,R,S,G}，
F={CS→G,C→T,TH→R,HR→C,HS→R}，分解成3NF并保持无损连接和函数依赖。

解：(1) 根据上例例1，得到3NF并保持函数依赖的分解如下：
      σ={ R1(CSG),R2(CT),R3(THR),R4(HRC),R5(HSR) }。

(2) 而HS是原模式的关键字，所以τ={CT，CSG，CHR，HSR，HRT，HS}。由于HS是模式HSR的一个子集，所以消去HS后的分解{CT，CSG，CHR，HSR，HRT}就是具有无损联接性和保持函数依赖性的分解，且其中每一个模式均为3NF。





7 模式设计方法的原则
关系模式R相对于函数依赖集F分解成数据库模式ρ={R1,R2...Rk}，一般具有下面四项特性：
  (1)ρ中每个关系模式Ri上应具有某种范式性质(3NF或BCNF)
  (2)无损联接性。
  (3)保持函数依赖集。
  (4)最小性，即ρ中模式个数应最少且模式中属性总数应最少。

一个好的模式设计方法应符合下列三条原则：
  (1)表达性
  (2)分离性
  (3)最小冗余性

8 多值依赖
函数依赖有效地表达了属性值之间多对一的联系，是最重要的一种数据依赖；而多值依赖是为了刻划属性值之间一对多的联系.

9 第四范式
设R是一个关系模式，D是R上的多值依赖集合。如果D中成立非平凡多值依赖X→→Y时，X必是R的超键， 那么称R是第四范式（4NF）。
（定理) 一个关系模式若属于4NF，则必然属于BCNF。