恶补算法与数据结构（一）——排列问题

        上次朋友的一个问题，让我重新翻开了那本尘封已久的《数据结构、算法与应用》。仅仅重读了第一章，我不得不再次为专注数据结构与算法研究的科学家们佩服得五体投地。
        让我佩服的问题其实很简单：生成一个list中的元素的全排列，也就是说input为：[a, b, c]，output则是[abc, acb, bac, bca, cab, cba]，当然list中的元素个数是不定的。是不是很简单的问题呢？不过比较愚钝的我，却没有办法想出问题的答案，尽管我知道应该使用递归来实现。
        想不出来就只好看书上是怎么实现的了。基于递归的算法，通常都需要一个递归等式(recursive component，递归部分)和一个递归终结的条件(base，基本部分)。那么对于以上的问题，递归部分和基本部分都是什么呢？假设递归函数为Perm(E)，E为元素的集合，那么基本部分是比较容易想到的，就是当集合E中只有一个元素的时候，Perm(E) = e，e为集合E中唯一的元素；接下来的就是递归部分了，当集合E中的元素个数大于1的时候，那么：Perm(E) = e₁.Perm(E₁)+e₂.Perm(E₂)+e₃.Perm(E₃)...+e_n.Perm(E_n)，E = e₁ + E₁= e₂ + E₂ = e₃ + E₃= e_n+ E_n。也就是说，e_n.Perm(E_n)表示从集合E中取出一个元素e_n，然后将剩下的元素进行排列，两者再相连就得到了以e_n元素作为前缀的所有排列了，那么将集合E中的所有元素遍历一次，得到以每一个元素作为前缀的排列，最后就可以得到所有的排列方式了。至此，递归函数所需要的两个必要部分都清楚了，那么代码该如何实现呢？以下是书上给出的代码：

template <class T>
void Perm(T list[], int k, int m)  //m为list数组index的最大值，而k则表示
                                      position，初始值为0
{
    int i;
    if (k == m)
    {
    for (i = 0; i <= m; i++)            
           cout << list[i];
        cout << endl;
    }
    else
        for (i = k; i <= m; i++)
        {
        Swap(list[k], list[i]); //通过交换，使得每个元素都能够成为前缀
        Perm(list, k+1, m);     //递归调用，得到作为后缀的元素的所有排列
        Swap(list[k], list[i]);
    }
}

Swap是一个自定义的inline函数，用作交换两个元素。尽管这样的代码很简洁，但是总觉得不是太爽了，毕竟有那么多的参数，而且似乎与算法中描述的不太像。大家再看一下python的实现：

def permute(seq):
    l = len(seq)
    if l == 1:
       return [seq]
    else:
       res = []
       for i in range(len(seq)):
          rest = seq[:i] + seq[i+1:]
          for x in permute(rest):             
             res.append(seq[i:i+1] + x)
       return res

是不是会更为简洁，更容易理解，而且更符合算法的描述呢？在以上代码中，rest变量对应着取出元素i剩下的集合，for x in permute(rest)遍历集合rest产生的所有的排列，然后通过seq[i:i+1] + x 就可以得到以元素i作为前缀的排列了。当然这样的算法有明显的一个问题是，占用了较大的空间。因为当len(seq)>1的时候，每次函数的调用，都必须为res开辟新的空间，一旦递归嵌套的层次比较多，则需要比较大的空间了。
        排列的问题解决了，接着就是组合问题(外延则是集合的子集问题)了。或许太长时间没有去思考算法与数据结构的问题了，这个问题仍然让我无从下手。对算法与数据结构有心得的朋友多多指教了。//Bow