动态规划 入门 二

第二节 动态规划分类讨论

这里用状态维数对动态规划进行了分类：

1.状态是一维的

1．1下降/非降子序列问题：

问题描述：  {挖掘题目的本质，一但抽象成这样的描述就可以用这个方法解}

在一个无序的序列a1,a2,a3,a4…an里，找到一个最长的序列满足：ai<=aj<=ak…<=am,且i<j<k…<m.（最长非降子序列）或ai>aj>ak…>am,且i>j>k…>m.（最长下降子序列）。

问题分析：

如果前i-1个数中用到ak (ak>ai或ak<=ai)构成了一个的最长的序列加上第I个数ai就是前i个数中用到i的最长的序列了。那么求用到ak构成的最长的序列有要求前k-1个数中……

从上面的分析可以看出这样划分问题满足最优子结构，那满足无后效性么？显然对于第i个数时只考虑前i-1个数,显然满足无后效性，可以用动态规划解。

分析到这里动态规划的三要素就不难得出了：如果按照序列编号划分阶段，设计一个状态opt[i] 表示前i个数中用到第i个数所构成的最优解。那么决策就是在前i-1个状态中找到最大的opt[j]使得aj>ai(或aj<=ai)，opt[j]+1就是opt[i]的值；用方程表示为：{我习惯了这种写法，但不是状态转移方程的标准写法 }

opt[i]=max(opt[j])+1   (0<=j<i 且aj<=ai)       {最长上升序列}

opt[i]=max(opt[j])+1   (0<=j<i 且aj>ai)        {最长下降序列}

实现求解的部分代码：

      opt[0]:=maxsize；{maxsize 为maxlongint或-maxlongint}

for  i:=1 to n do

for j:=0 to i-1 do

if ( a[j]>a[i]) and (opt[j]+1>opt[i]) then    

  opt[i]:=opt[j]+1;

ans:=-maxlongint;

for i:=1 to n do

if opt[i]>ans then ans:=opt[i];                {ans 为最终解}

复杂度：从上面的实现不难看出时间复杂度为O（N2），空间复杂度O（N）；



例题1







拦截导弹

(missile.pas/c/cpp)

来源：NOIP1999(提高组) 第一题

【问题描述】

    某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

   输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

【输入文件】missile.in

  单独一行列出导弹依次飞来的高度。

【输出文件】missile.out

  两行，分别是最多能拦截的导弹数，要拦截所有导弹最少要配备的系统数

【输入样例】

389 207 155 300 299 170 158 65

【输出样例】

6

2

【问题分析】

有经验的选手不难看出这是一个求最长下降序列问题，显然标准算法是动态规划。

以导弹依次飞来的顺序为阶段，设计状态opt[i]表示前i个导弹中拦截了导弹i可以拦截最多能拦截到的导弹的个数。

状态转移方程：

opt[i]=max(opt[j])+1  (h[i]>=h[j],0=<j<i)   {h[i]存，第i个导弹的高度}

最大的opt[i]就是最终的解。

这只解决了第一问，对于第二问最直观的方法就是求完一次opt[i]后把刚才要打的导弹去掉，在求一次opt[i]直到打完所有的导弹，但这样做就错了。

不难举出反例： 6 1 7 3 2     

错解： 6 3 2/1/7   正解：6 1/7 3 2

其实认真分析一下题就回发现：每一个导弹最终的结果都是要被打的，如果它后面有一个比它高的导弹，那打它的这个装置无论如何也不能打那个导弹了，经过这么一分析，这个问题便抽象成在已知序列里找最长上升序列的问题。

求最长上升序列和上面说的求最长非升序列是一样的，这里就不多说了。

复杂度：时间复杂度为O（N2），空间复杂度为O（N）。
 

C++代码

#include<iostream>   
using namespace std;   
int shu[5001];   
int fj[5001];   
int fup[5001];   
int n;   
int main()   
{   
    n=0;   
    int maxa=-564;int maxb=-21321;   
    for(int i=1;i<=5000;i++)   
    {   
            fj[i]=1;   
            fup[i]=1;   
            }   
       
    cin>>n;   
    for(int i=1;i<=n;i++)   
    cin>>shu[i];   
       
      
    for(int i=2;i<=n;i++)   
    {   
       for(int j=i-1;j>=1;j--)   
       {   
        if(shu[i]<=shu[j])   
        {        
         if( fj[i]<fj[j]+1)                                                    
        fj[i]=fj[j]+1;   
        }                                                
               }   
        if(fj[i]>maxa)   
        maxa=fj[i];   
    }   
    for(int i=2;i<=n;i++)   
    {   
       for(int j=i-1;j>=1;j--)   
       {   
        if(shu[i]>=shu[j])   
        {        
         if(fup[i]<fup[j]+1)                                                    
        fup[i]=fup[j]+1;   
        }                                                
               }   
        if(fup[i]>maxb)   
        maxb=fup[i];   
    }   
    cout<<maxa<<" "<<maxb;   
       
       
    return 0;   
    }   
 

转自：http://stumble41.com/article.asp?id=60