从自然常数谈数学和数字

引言：笔者是数学系毕业的，以前对于数学也算有所偏好，尤其数学数字。

 

 

数学四大普适常数：圆周率π、黄金分割数Ω、自然常数e和混沌常数δ

 

自然常数：这里特指数学中的e；并非物理学等涉及到的很多自然常数！

 

 

上图是来自baidu的关于自然常数e的无理性与超越性的推导证明过程。

 

说到自然常数e，自然会联系到数学中的自然律和数字美学等内容，因为e实在是一个特殊的数，虽然它在一般人的知名度还赶不上圆周率pi。

 

 

以下是转载过来的一些观点和内容：

 

 

数，美吗？ 

1、数之美 

人们很早就对数的美有深刻的认识。其中，公元前六世纪盛行于古希腊的毕达哥斯学派见解较为深刻。他们首先从数学和声学的观点去研究音乐节奏的和谐，发现声音的质的差别（如长短、高低、轻重等）都是由发音体数量方面的差别决定的。例如发音体（如琴弦）长，声音就长；振动速度快，声音就高；振动速度慢，声音就低。因此，音乐的基本原则在于数量关系。 

毕达哥斯学派把音乐中的和谐原理推广到建筑、雕刻等其它艺术，探求什么样的比例才会产生美的效果，得出了一些经验性的规范。例如，在欧洲有长久影响的“黄金律”据说是他们发现的（有人说，是蔡泌于一八五四年提出了所谓的“黄金分割律”。所谓黄金分割律“就是取一根线分为两部分，使长的那部分的平方等于短的那部分乘全线段。”“如果某物的长与宽是按照这个比例所组成的，那么它就比由其它比例所组成的长方形‘要美’。”）。 

这派学者还把数学与和谐的原则应用于天文学的研究，因而形成所谓“诸天音乐”或“宇宙和谐”的概念，认为天上诸星体在遵照一定的轨道运动中，也产生一种和谐的音乐。他们还认为，人体的机能也是和谐的，就象一个“小宇宙”。人体之所以美，是由于它各部分——头、手、脚、五官等比例适当，动作协调；宇宙之所以美，是由于各个物质单位以及各个星体之间运行的速度、距离、周转时间等等配合协调。这些都是数的和谐。 

中国古代思想家们也有类似的观点。道家的老子和周易《系辞传》，都曾尝试以数学解释宇宙生成，后来又衍为周易象数派。《周易》中贲卦的表示朴素之美，离卦的表示华丽之美，以及所谓“极其数，遂定天下之象”，都是类似数学推理的结论。儒家的荀卿也说过：“万物同宇宙而异体。无宜而有用为人，数也。”庄子把“小我”与“大我”一视同仁，“小年”与“大年”等量齐观，也略同于毕达哥拉斯学派之把“小宇宙”和“大宇宙”互相印证。所谓“得之于手而应用于心，口不能言，有数存在焉与其间”。这种从数的和谐看出美的思想，深深地影响了后世的中国美学。 

2、黄金律之美 

黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。我们知道，黄金律不仅是构图原则，也是自然事物的最佳状态。中世纪意大利数学家费勃奈舍发现，许多植物叶片、花瓣以及松果壳瓣，从小到大的序列是以0.618：1的近似值排列的，这即是著名的“费勃奈舍数列”：1、2、3、5、8、13、21、34……动物身上的色彩图案也大体符合黄金比。舞蹈教练、体操专家选择人材制定的比列尺寸，例如肩宽和腰的比例、腰部以上与腰部以下的比列也都大体符合黄金比。 

现代科学家还发现，当大脑呈现的“倍塔”脑电波的高频与低频之比是1：0.618的近似值(12.9赫兹与8赫兹之比)时，人的心身最具快感。甚至，当大自然的气温（23摄氏度）与人的体温37摄氏度之比为0.618:1时,最适宜于人的身心健康,最使人感到舒适。另外，数学家们为工农业生产制度的优选法，所提出的配料最佳比例、组织结构的最佳比例等等，也都大体符合黄金律。 

然而，这并不意味着黄金律比“自然律”更具有美学意义。我们可以证明，当对数螺线： 

φkρ=αe 

的等比取黄金律，即k=0.0765872，等比P1/P2=0.618时，则螺线中同一半径线上相邻极半径之比都有黄金分割关系。事实上，当函数f（X）等于e的X次方时，取X为0.4812,那么，f（X）=0.618…… 

因此，黄金律被“自然律”逻辑所蕴含。换言之，“自然律”囊括了黄金律。 

黄金律表现了事物的相对静止状态，而“自然律”则表现了事物运动发展的普遍状态。因此，从某种意义上说，黄金律是凝固的“自然律”，“自然律”是运动着的黄金律。 

3、“自然律”之美 

“自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数： 

1（1+——） 

X的X次方，当X趋近无穷时的极限。 

人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究 

1（1+——） 

X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。 

现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。 

生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。 

“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。 

如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。 

e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。 

英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？ 

我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。 

古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。 

有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！ 

有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。 

“自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》） 

写道

自然常数漫谈

　　【英国《新科学家》周刊９月７日一期文章】题：变化之谜（作者　约翰·巴罗）
　　我们为什么存在？至少从某个角度来说，这只是宇宙的一个偶然。我们存在，只是因为各种自然常数值的某些特定巧合允许它成为可能。例如，光速、重力强度和电子电量都恰好带来一个不可多得的机会，让原子得以形成和结合。如果它们的数值有微小偏差，恒星、银河，当然还有生命，都不会存在。
　　然而没有人知道，自然的基本常数数值为什么是这个样子。我们可以通过极为精确的实验确定这些数值，但对其起源却一无所知。这些常数反映了人类对宇宙最精确的实验认识，同时也体现了人类最重大的无知。
　　我们甚至不能确定它们到底是不是常数。有迹象表明，我们倾向于认为自然常数的数值可能正在改变。如果这是真的，它们可能最终滑出生命存在所需的范围 ————当然，宇宙没有理由一定要维持我们永远存在下去。如果说人类从科学发展这个定向随机游动中学到了什么的话，那就是我们不是宇宙的中心。宇宙不需要我们，当然也不是为了服务于我们而存在。
　　我们为了从科学中摈除人类中心的偏见，已经付出了那么多努力，因此有理由连同单位一起摈除。诸如光速ｃ、牛顿的重力常数Ｇ和普朗克的量子常数ｈ等常量，都可以用单纯的无因次数来定义。
　　以精细结构常数α为例。这是描述电磁力强度的常数，它决定着原子和分子的性质。这一常数是由电子电量ｅ，普朗克常量ｈ（一般除以２π），以及光速ｃ共同决定的。它被冠名以希腊字母α，定义公式为２πｅ２／ｈｃ，目前被确定约等于１／１３７·０３５９９９７６……
　　这是一个至关重要的数字。如果数值太大，原子和分子将不能存在；α的值影响电子和质子的相互作用，并决定它们的约束能，而且恒星也不能形成，因为它们的中心温度将过低，难以引发自身的核反应。简而言之，如果α值过大，人类永远无法知道，因为我们不会存在了。
　　但是没有人知道α为什么是现在这个值。而更加神秘的是，我们已经发现了这个值可能改变的迹象。在过去两年里，我一直是悉尼新南威尔士大学约翰·韦伯领导的研究小组中的一员。这个小组运用新的理论技术对遥远的类星体发出的光中途被星尘吸收的情况进行分析。我们观察不同化学元素的吸收谱线间隔，这种间隔取决于发生吸收时红移中α值的任何微小变化（红移————一个天体的光谱向长波端即红端的位移）。
　　光线是在５０亿到１１０亿年前离开这些星尘的，因此把观察到的谱线间隔同现在实验室中测量到的谱线间隔相比较，就可以检验α值在过去１１０亿年中有没有改变。
　　我们在两年里对１４７个类星体进行了观测，其结果不仅大大出乎人们的意料，而且可能意义深远。如果１１０亿年前精细结构常数α的值比现在小一百万分之七左右，才和复杂的谱线“指纹”的偏移相吻合。
　　彻底解释这些常数是物理学家面临的最大挑战。它们可能都是分别由某种未知的“万物至理”所完全决定的。或者只有部分常数以这种方式决定：宇宙常数可能与宇宙的起始条件密切相关，而α、Ｇ等其它常数的值则是在宇宙早期历史过程中随机形成的。
　　种种迹象表明，只有世界的空间维度远远多于我们所见的三维，才有可能存在解释所有这些常数的“万物至理”。这些“额外”维度的性质一定是大不相同的。这些维度在哪里？也许它们小到难以察觉，或者其影响只有在重力作用下才能体现出来。如果它们确实存在，那么真正的、恒定的自然常数只能从适用于所有维度、并能够解释所有维度性质的理论中导出。我们在三维世界里称之为自然常数的东西，在多维世界可能不是基本常数，甚至根本不是恒定不变的。

 

 

自然常数来源

　　旋涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开 的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……

　　螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： 　　φkρ=αe 　　其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过 一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e. 　　e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰?纳皮尔引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学 中最重要的常数之一。 　　它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 　　第一次提到常数e，是约翰?纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这 常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各?伯努利(Jacob Bernoulli). 　　已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。 1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但 e较常用，终于成为标准。 　　用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另 一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他 是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。 　　很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以 常数）。e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证为超越数，而非故意构造的 （比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。

自然常数e数学意义

　　超越数主要只有自然常数和圆周率。自然常数的知名度比圆周率低很多，原因是圆周率更容易在 实际生活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。 　　自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底。为什么会这样，主要取决于它的来历。 　　自然常数的来法比圆周率简单多了。它就是函数y=f(x)=(1+1/x)^x，当x趋向无穷 大时y的极限。 　　同时，它也等于1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……。同时说 明，0!也等于1。 　　自然常数经常在公式中做对数的底。比如，对指数函数和对数函数求导时，就要使用自然常数。函数 y=f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*ln(a)。函数y=f(x)=loga(x)的导数为f'(x)=loga(e)/x。 　　自然常数也和质数分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有a/ln(a)个。在a较 小时，结果不太正确。但是随着a的增大，则个定理会越来越精确。这个定理叫素数定理，由高斯发现。 　　此外自然常数还有别的用处。比如解题。请把100分成若干份，使每份的乘积尽可能大。把这个题 意分析一下，就是求两个数a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。（说明，a可以为任意有理数，b必须为整数。）此时，便要用到自然常数。这需要 使a尽量接近e。则b应为100/e≈36.788份，但由于份数要为整数，所以取近似值37份。这样，每份为100/37，所以a的b次方的最大值约为 9474061716781832.652。 　　e是极为常用的超越数之一，它通常用作自然对数的底数。 　　（1）数列或函数f(n)=(1+1/n)^n即(1+1/n)的n次方的极限值 　　数列：1+1，（1+0.5）的平方，（1+0.33…）的立 方，1.25^4，1.2^5，… 　　函数：实际上，这里n的绝对值(即“模”)需要并只需要趋向无穷大。 　　（2）sum(1/n!)，n取0至无穷大自然数。即1+1/1！+1/2！+1/3！+… 　　（3）几个初级的相关公 式：e^ix=cosx+i(sinx)，e^x=coshx+sinhx===sum[(1/n!)x^n]，由此可以结合三角函数或双曲函数的简单性 质推算出相对复杂的公式，如和角差角公式，等等，希望对朋友们学习和灵活应用它们有些帮助。 　　（4）用Windows自带的计算器计算：菜单“查看／科学型“，再依次点击 1 hyp sin + ( 1 hyp cos 1 ) 或用键盘输入1hs+(1ho)=或(1hs+(1ho))也可以从这里用ctrl+C复制，再切换到计算器，按ctrl+V（菜单“编辑/粘贴”）， 得到它的 32 位数值： 　　e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 6（第31位小数四舍五入为7）

自然常数e小数点后2000位

　　这是小数点后面两千位： 　　e=:2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224 74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868 76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246 65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409 75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251 64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743 70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622 64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828 93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959 30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298 49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812 88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169 84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177 88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327 61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109 62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310 05958 41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275 36450 98889 03136 02057 24817 65851 18063 03644 28123 14965 50704 75102 54465 01172 72115 55194 86685 08003 68532 28183 15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610 85263 98139

 

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